極槽接近表貼式永磁同步電機(jī)齒磁密解析計(jì)算

周 羽，李槐樹(shù)，周 石，曹 晴

(海軍工程大學(xué)，武漢430033)

0 引 言

與傳統(tǒng)電機(jī)相比，永磁同步電機(jī)具有高功質(zhì)比、高轉(zhuǎn)矩體積比、高效率和振動(dòng)噪聲小等優(yōu)點(diǎn)，它已經(jīng)廣泛用于商業(yè)、工業(yè)和軍工等產(chǎn)品［1-3］。永磁同步電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的準(zhǔn)確計(jì)算是電機(jī)各種性能分析的基礎(chǔ)，例如:繞組電感［4］、反電動(dòng)勢(shì)［5］、損耗［6］、徑向力［7-8］、齒槽力矩［9］、不平衡力［10］、振動(dòng)與噪聲［11］等。目前，在不簡(jiǎn)化電機(jī)結(jié)構(gòu)并考慮磁性材料飽和的前提下，磁場(chǎng)計(jì)算的有限元數(shù)值方法能得到提供精確的永磁電機(jī)磁場(chǎng)計(jì)算結(jié)果。但是這種數(shù)值方法非常費(fèi)時(shí)，不利于電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，一般只用于驗(yàn)證電機(jī)解析優(yōu)化設(shè)計(jì)的最終結(jié)果。而且網(wǎng)格剖分對(duì)有限元數(shù)值計(jì)算的結(jié)果影響有時(shí)較大，特別是在計(jì)算齒槽力和不平衡電磁力時(shí)［12-13］。事實(shí)上，通過(guò)合理的假設(shè)，磁場(chǎng)解析計(jì)算方法能夠更快速靈活準(zhǔn)確地計(jì)算并分析電機(jī)的各種性能［14］。

極槽接近永磁同步電機(jī)是一種特殊結(jié)構(gòu)，具有低速大轉(zhuǎn)矩和超高功率密度的優(yōu)點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)的特殊性，在考慮定子鐵心磁性材料飽和的前提下，計(jì)算反電動(dòng)勢(shì)、電感等參數(shù)必須以單個(gè)齒部的磁密為基礎(chǔ)。但是目前極槽接近永磁同步電機(jī)定子齒磁密的相關(guān)研究比較少。

本文利用面電流等效法，在不開(kāi)槽時(shí)推導(dǎo)了氣隙磁密的解析計(jì)算公式，在此基礎(chǔ)上，提出了截取加三次函數(shù)擬合法計(jì)算考慮飽和時(shí)的電機(jī)定子齒部最大磁密。用有限元法對(duì)定子齒部最大磁密進(jìn)行了計(jì)算，驗(yàn)證了截取加三次函數(shù)擬合法具有較高的精度。最后根據(jù)時(shí)步有限元法，得到極槽接近永磁同步電機(jī)的齒部磁密具有正弦周期性。

1 無(wú)槽磁場(chǎng)計(jì)算

1.1 一對(duì)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)

電機(jī)中二維空間平面場(chǎng)域上的電磁場(chǎng)可以在極坐標(biāo)系中進(jìn)行分析計(jì)算，且其矢量磁位滿足泊松方程［15］:

式中:μ0為磁導(dǎo)率，且μ0=1/ν，ν 為磁阻率;Ht為磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量;Az為z 軸方向的矢量磁位;J(x，y)為源電流密度;S1為第一類邊界條件;S2為第二類邊界條件。

假設(shè)定、轉(zhuǎn)子鐵心的導(dǎo)磁率μFe=∞，如圖1 所示，導(dǎo)線A 和B 的位置為r =b，θ = ±α 處。一對(duì)通電線圈由兩根通電導(dǎo)線組成，把每根帶電流導(dǎo)線產(chǎn)生的矢量磁位疊加，可得到一對(duì)通電線圈在氣隙中產(chǎn)生的矢量磁位［16］。

圖1 氣隙中一對(duì)載流線圈

電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子之間氣隙的磁場(chǎng)邊界條件:

(1)電機(jī)轉(zhuǎn)子外表面，磁通密度切向分量為零，即:r=Rr時(shí)，Bθ=0

定子和轉(zhuǎn)子之間的氣隙屬于通電線圈以外的區(qū)域，在這些區(qū)域內(nèi)的電流密度J(r，θ)=0。根據(jù)邊界條件(1)和邊界條件(2)以及分離變量法求解泊松方程，得到一對(duì)通電線圈在氣隙中P 點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位:

于是一對(duì)通電線圈在半徑為Rs位置的徑向氣隙磁密(本文后面求得的磁密均為半徑為Rs位置處的徑向磁密:

式中:KPm=sin(mα)為m 次諧波的節(jié)距因數(shù)。

1.2 平行充磁永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密

在表面式永磁電機(jī)中，瓦片形磁極有平行充磁和徑向充磁二種。其中，同圓心不同半徑瓦片形磁極的永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖2 所示，其中p 為永磁電機(jī)極對(duì)數(shù)，hm為永磁體厚度，2η 為永磁體的張角，Rr為電機(jī)轉(zhuǎn)子外半徑，Rs為電機(jī)定子內(nèi)半徑。

圖2 瓦片形永磁體尺寸

由于充磁工藝的限制，標(biāo)準(zhǔn)徑向充磁的瓦片形永磁體很難得到，而平行充磁的瓦片形永磁體的充磁工藝簡(jiǎn)單且容易得到，分析并計(jì)算平行充磁瓦片形永磁體在電機(jī)氣隙中產(chǎn)生的磁場(chǎng)更有實(shí)用價(jià)值。

圖3 平行充磁時(shí)的面電流

平行充磁的瓦片形永磁體的磁化方向和各邊等效面電流方向如圖3 所示。根據(jù)永磁體的面電流等效法，圖中永磁體AB 和CD 的等效面電流大小相等且方向相反，其電流密度的大小可以表示:

式中:Hcb為永磁體矯頑力。

沿BC 和AD 邊變化的面電流密度的大小:

一個(gè)平行充磁同心瓦片形永磁體AB 和CD 段的等效面電流在電機(jī)氣隙中產(chǎn)生的磁密:

BC 段面電流產(chǎn)生的磁密:

在Cm中，b=Rr+hm。

AD 段面電流產(chǎn)生的磁密:

一個(gè)平行充磁的永磁體在定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密B1( )θ 為AB，CD，BC 和AD 各段的疊加，即:

式中:A，Cm，Kpm和式(6)相同。

式中:A，Cm和式(7)相同。

式中:A，Cm和式(8)相同。

于是多極平行充磁同心瓦片形永磁體在永磁電機(jī)的定子內(nèi)表面產(chǎn)生的磁密:

上述公式都是在定子和轉(zhuǎn)子表面光滑時(shí)推導(dǎo)得到的。

2 齒部最大磁密計(jì)算

極槽接近永磁同步電機(jī)結(jié)構(gòu)特殊，一個(gè)永磁極的磁力線基本通過(guò)一個(gè)齒達(dá)到另一個(gè)磁極，并構(gòu)成閉合磁路。為了充分利用磁路結(jié)構(gòu)，使電機(jī)磁路和電路的利用率達(dá)到最大，提高永磁電機(jī)的功率密度，設(shè)計(jì)極槽接近永磁同步電機(jī)時(shí)，齒部磁密通常會(huì)達(dá)到較大的飽和。絕大多數(shù)文獻(xiàn)對(duì)電機(jī)磁場(chǎng)計(jì)算時(shí)都假設(shè)定子和轉(zhuǎn)子鐵心的導(dǎo)磁率為無(wú)窮大，忽略電機(jī)定子齒部的磁密飽和等非線性因素的影響。在這種假設(shè)前提下，當(dāng)齒中心線和極中心線正對(duì)時(shí)，由磁極進(jìn)入齒面的磁力線將全部通過(guò)定子齒部和定子軛部，但是定子齒部鐵心在飽和影響下，電機(jī)槽口和槽肩的漏磁將會(huì)比較大，這是不容忽視的。非極槽接近永磁同步電機(jī)一般以定子內(nèi)表面的磁通為有效磁通計(jì)算反電動(dòng)勢(shì)，而在計(jì)算極槽接近的永磁同步電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)時(shí)，有效磁通是每個(gè)齒的磁通。

如圖4 所示，N 極中心線和齒中心線正對(duì)時(shí)，齒部的磁密最大，極槽接近永磁同步電機(jī)的極面寬度和齒面寬度不相等且相差較小，圖中tm為齒面的寬度。計(jì)算進(jìn)入齒面的有效磁通時(shí)，本文采用磁通截取法:根據(jù)式(13)計(jì)算得到定子無(wú)槽時(shí)電機(jī)定子內(nèi)表面的徑向磁密如圖5 所示;在圖4 中，截取N 極與齒面正對(duì)的磁通作為開(kāi)槽時(shí)由氣隙進(jìn)入齒面的磁通，此磁通即為計(jì)算齒部磁密的截取磁通φjq。由于槽口影響，沒(méi)有被截取的磁通將作為氣隙漏磁直接和鄰近的永磁體構(gòu)成氣隙漏磁路。

表1 是兩種極槽接近的永磁同步電機(jī)的基本尺寸，表2 是以表1 的電機(jī)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，改變極對(duì)數(shù)p、槽數(shù)Ns、永磁體厚度hm、氣隙厚度δ 和齒寬ts時(shí)，8 個(gè)樣機(jī)的齒部最大磁密、截取磁通以及相對(duì)磁導(dǎo)率的對(duì)比表。表2 中，齒部最大磁密為有限元計(jì)算結(jié)果，其余均為解析計(jì)算結(jié)果。本文中，考慮飽和的硅鋼片選為50DW350。

表1 樣機(jī)參數(shù)

根據(jù)齒部磁密的有限元結(jié)果，查表得到表2 中齒部的磁感應(yīng)強(qiáng)度H，并計(jì)算得到齒部的相對(duì)磁導(dǎo)率μr。由表2 中的相對(duì)磁導(dǎo)率計(jì)算結(jié)果可以看出，極槽接近的永磁同步電機(jī)中鐵心的磁導(dǎo)率不能假設(shè)為線性或是無(wú)窮大，必須考慮飽和影響。

圖4 電機(jī)主磁路

圖5 不開(kāi)槽時(shí)定子內(nèi)表面徑向磁密

表2 最大齒磁密計(jì)算結(jié)果

齒部磁通計(jì)算公式:

Bcmax為齒部最大磁密，ts為齒寬，leff為電機(jī)軸向長(zhǎng)度，本文中設(shè)定為單位長(zhǎng)度，不影響計(jì)算結(jié)果。

齒寬、齒部磁通和齒部磁密存在式(14)的關(guān)系，由于受到磁路飽和等非線性因素的影響，齒部磁通很難得到，因此本文以齒寬和齒面磁通作為變量，采用有限元和解析計(jì)算相結(jié)合的方法尋找規(guī)律，得到計(jì)算極槽接近永磁電機(jī)的齒部最大磁密公式。

定性分析可知，ts增大Bcmax減小，φjq增大Bcmax增大，可以方便地把ts和φjq兩個(gè)變量簡(jiǎn)化為φjq/ts一個(gè)變量，采用截取法加三次函數(shù)擬合的方法。取表2 中樣機(jī)編號(hào)為2，4，6，7 的φjq/ts結(jié)果進(jìn)行三次函數(shù)擬合，得:

3 有限元驗(yàn)證

表2 中1，3，5，8 號(hào)樣機(jī)用于驗(yàn)證擬合方法的正確性，這種方法是針對(duì)定子鐵心材料B -H 曲線非線性部分的局部擬合法。在設(shè)計(jì)高功率密度的極槽接近永磁同步電機(jī)時(shí)，齒部磁密的最大值通常在本文擬合范圍之內(nèi)。表3 以有限元結(jié)果為基準(zhǔn)，列出了截取法和截取加擬合法的誤差結(jié)果，易知在考慮飽和情況下，截取加三次函數(shù)擬合法較高的精度，非常適用于電機(jī)工程設(shè)計(jì)。

表3 齒部最大磁密誤差比較

截取法和截取加三次函數(shù)擬合法的齒部最大磁密對(duì)比結(jié)果如圖6 所示。當(dāng)擬合函數(shù)曲線的橫坐標(biāo)小于交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)時(shí)，由于定子齒面邊端的聚磁效應(yīng)占主導(dǎo)，槽漏磁較小，進(jìn)入齒面的磁通大于截取法得到的磁通，擬合法得到的齒部磁密大于截取法得到的齒部磁密;當(dāng)擬合函數(shù)曲線上橫坐標(biāo)大于交點(diǎn)處的橫坐標(biāo)時(shí)，槽漏磁占主導(dǎo)，聚磁效應(yīng)相對(duì)較小，隨著實(shí)際齒部磁密的增大，槽漏磁增大，擬合法得到的齒部磁密小于截取法得到的齒部磁密。

圖6 三種方法計(jì)算結(jié)果

對(duì)平行充磁同心瓦片型永磁同步電機(jī)，對(duì)表2中5 號(hào)和8 號(hào)極槽接近的永磁同步電機(jī)進(jìn)行Ansys建模，利用時(shí)步有限元法計(jì)算得到一個(gè)電角度周期內(nèi)的齒部磁密波形如圖7 和圖8 所示。電機(jī)定子齒寬相等，齒部磁密保持均勻分布。由圖7(b)和8(b)可知，齒部磁密的諧波較小，實(shí)際波形接近正弦，定子開(kāi)槽設(shè)計(jì)使定子磁路飽和并產(chǎn)生較大的槽漏磁。因此，用解析法計(jì)算齒部磁密時(shí)，只需要計(jì)算齒部磁密的最大值，然后根據(jù)齒部磁密的正弦周期性得到不同位置時(shí)的齒部磁密。

圖7 5 號(hào)電機(jī)一個(gè)電周期內(nèi)的齒磁密

圖8 8 號(hào)電機(jī)一個(gè)電周期內(nèi)的齒磁密

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用面電流等效法，在不開(kāi)槽時(shí)推導(dǎo)了氣隙磁密的解析計(jì)算公式，提出了截取加三次函數(shù)擬合法計(jì)算考慮飽和時(shí)的電機(jī)定子齒部最大磁密。用有限元法驗(yàn)證了截取加三次函數(shù)擬合法，定子齒部最大磁密的解析計(jì)算結(jié)果誤差在1%以內(nèi)。最后根據(jù)時(shí)步有限元法證實(shí)，極槽接近永磁同步電機(jī)的齒部磁密具有正弦的周期性。在考慮定子鐵心飽和的前提下，本文所提的方法非常適合極槽接近的永磁電機(jī)齒磁密計(jì)算，對(duì)此類型永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)和性能分析有很大的幫助。

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