空間紅外遙感相機制冷機微振動對MTF影響分析

王躍 王博 劉世平 李世其 熊琦

（1 北京空間機電研究所，北京 100094）

（2 華中科技大學機械學院，武漢 430074）

0 引言

空間遙感相機光學系統(tǒng)中的光學元件在微振動載荷的作用下會產生剛體位移和表面變形，光學元件剛體位移會導致光學系統(tǒng)產生慧差、像散和離焦，表面變形將影響光學系統(tǒng)的波前差。光軸偏轉會導致像移引起成像模糊，這些都會影響相機的成像品質[1]。

空間紅外遙感相機內部主要擾動源是為紅外焦面探測器提供低溫保障的制冷機。對于工作在紅外波段的遙感相機，紅外焦面需要在低溫環(huán)境下工作，以降低焦面探測器的熱噪聲，提高靈敏度。目前國內外通常采用低溫制冷機冷卻紅外焦平面，以保證其在低溫范圍內正常工作。制冷機工作時由于活塞等運動部件動量不平衡、高壓氣體壓力波動等產生干擾力，影響光學系統(tǒng)的分辨率和指向精度等。

理想的鏡面是光滑的，而有限元方法得到的是離散的數(shù)據，將離散數(shù)據擬合成光滑連續(xù)曲面需要采用合適的擬合方法。Zernike多項式作為曲面擬合的常用方法，以其特有的優(yōu)點使其成為結構分析和光學分析之間的橋梁[2]。

相機在正常工作條件下，受到來自相機內部以及衛(wèi)星平臺活動部件微振動載荷的擾動。由于主鏡、次鏡尺寸較大，結構剛性相對較小，產生的剛體位移和面形變化會對相機的成像品質起主要影響，而分色片及透鏡口徑小、剛度高，穩(wěn)定性好，微振動對鏡片的剛體位移和面形影響很小。本文主要以主、次鏡為對象來分析微振動對成像品質的影響。

1 相機有限元模型建立

空間遙感相機在軌工作時，影響光學元件精度的因素主要有以下方面：1）光學元件在加工過程中產生的面形誤差和鏡頭裝調誤差；2）光學元件在振動源的擾動下發(fā)生偏移產生剛體位移；3）光學元件在振動源的擾動下發(fā)生面形的變化。本文只分析振動源擾動引起的光學元件剛體位移和面形變化。根據制冷機微振動測試分析結果，制冷機在工作時產生頻率約為0～500Hz的擾動力（圖1是制冷機測點測試信號在X軸方向的擾動力頻譜，項目測試要求采樣頻率不低于2 000Hz），幅值范圍0～1.5N。

圖1 制冷機測試擾動力頻譜Fig.1 Disturbance force’s frequency spectrogram of cryocooler test

由制冷機擾動力頻譜分析可知，擾動力是以 50Hz為基頻的一系列諧波信號，可以用式（1）來描述[3]

式中 fk為制冷機測試信號；P0為制冷機工作頻率幅值；ω為制冷機驅動頻率；t為時間；fl表示第 l階諧波幅值；Nh為擾動諧波數(shù)；φ為相位角。

借助有限元方法，將連續(xù)的振動系統(tǒng)劃分成n個自由度系統(tǒng)，空間遙感相機的動力學模型可以表示為

式中 m為n階對稱質量矩陣，c為n階對稱阻尼矩陣，k為n階對稱剛度矩陣；n×1維列向量?x?（t），x?（t），x（t）分別代表系統(tǒng)的廣義加速度、速度和位移；F（t）為表示系統(tǒng)激勵的n×1維列向量。通過測得的系統(tǒng)激勵對式（2）進行求解，得出光學鏡片節(jié)點的位移矩陣并進行面形分析計算。

某空間遙感相機光學系統(tǒng)構型如圖2所示，光線由主鏡、次鏡反射，經由分色片、透鏡組到達成像焦面。運用 hypermesh軟件建立有限元模型，加載制冷機振源載荷，獲得相機主次鏡的整體變形如圖 3所示，可以看出主鏡次鏡除了產生剛性位移偏離了理想安裝位置（包括平移和傾斜），面形也發(fā)生變化，光軸也發(fā)生了偏轉。選取主鏡響應最大時間點的節(jié)點坐標作為曲面擬合與分析的有限元數(shù)據，表1為主鏡節(jié)點坐標和變形量。

圖2 某空間遙感相機光學系統(tǒng)構型Fig.2 A space remote sensing camera’s optical system configuration

圖3 相機主次鏡的整體變形云圖Fig.3 Overall deformation of primary and second mirror in camera

表1 主鏡有限元節(jié)點坐標及變形Tab.1 Primary mirror’s finite element node coordinates and displacements mm

2 鏡面擬合與分析

要將有限元方法計算得到的離散數(shù)據擬合成光滑連續(xù)曲面需要采用合適的擬合方法。主次鏡的整體變形對應的是波前像差的變化，主要包含平移、傾斜、離焦、像散等，其中平移和傾斜是剛性位移，離焦、像散等主要是面形的變化?？梢酝ㄟ^Zernike多項式擬合的方式分離剛性位移和面形變化[4]。

有限元計算輸出文件包括節(jié)點變形前坐標（x,y,z）和變形量（Δ x ,Δ y ,Δ z ），見表 1。將有限元計算文件數(shù)據帶入n項Zernike多項式可得線性方程組（3），

寫成矩陣形式：

式中 Z=（Zij）為m×n矩陣，其中i為節(jié)點數(shù)，Zj（xi,yi）為Zernike多項式的第j項；表示經多項式擬合后的結果數(shù)據；為n項Zernike多項式系數(shù)。

選取Zernike多項式的前37項作為一組基擬合波面，將鏡面變形后的節(jié)點數(shù)據代入擬合公式（3），鏡面有限元劃分節(jié)點數(shù)遠遠大于未知數(shù)的數(shù)目，得到的線性方程為矛盾方程，矛盾方程不存在通常意義下的解，一般通過最小二乘法來獲得的最小二乘解。通過MATLAB計算獲得Zernike多項式前37項系數(shù)，如表2所示。

表2 主鏡次鏡Zernike多項式擬合系數(shù)Tab.2 Zernike polynomials fitting coefficient of primary and second mirror

Zernike多項式的前三項分別對應著剛性位移、X軸傾斜及Y軸傾斜。由表2中的Zernike系數(shù)可以看出前三項系數(shù)要遠遠大于后面的系數(shù)，表明擾動力對主次鏡的剛性位移影響較大，對鏡面面形影響較小。

通過Zernike擬合得到變形后的主鏡面形，如圖4所示，變形量約為為100nm。圖5是去除剛性位移后的主鏡面形變化，變形量約為3nm。顯而易見，微振動導致的主鏡剛性位移是影響波前像差的主要因素。

擬合得到變形后的次鏡面形如圖6所示，變形量約為10nm。圖7是去除剛性位移后的次鏡面形變化，變形量約為1.0×10–2nm。由此可知，微振動導致的次鏡面形變化可以忽略。

圖4 變形后的主鏡面形Fig.4 Primary mirror surface after deformation

圖5 去除剛性位移后主鏡面形Fig.5 Primary mirror surface without rigid-body motion

圖6 變形后的次鏡面形Fig.6 Second mirror surface after deformation

圖7 去除剛性位移后次鏡面形Fig.7 Second mirror surface without rigid-body motion

光學元件面形誤差通常采用鏡面表面最大峰谷（PV）值和鏡面表面形貌的均方根誤差（RMS）值來表示。PV值計算公式為

RMS體現(xiàn)了波面的變化緩慢，計算公式為

式中 di為節(jié)點i到擬合波面的法向距離；為節(jié)點到擬合波面的平均法向距離；N為波面擬合計算節(jié)點數(shù)目。

主次鏡PV和RMS計算結果見表3。主次鏡的面形變化很小，微振動擾動對主次鏡的影響主要體現(xiàn)在剛性位移。

通過主次鏡面形的分析可知，對于空間遙感相機在軌振動，光學元件的剛性位移遠遠大于面形的變化。主鏡、次鏡的固有頻率分別在1 200、3 000Hz以上，對于頻率范圍0～500Hz的擾動力激勵，主次鏡自身的變形量（即鏡面變形）很小。因此，剛性位移的變化是需要著重考慮的因素。

表3 主次鏡PV和RMSTab.3 Primary and second mirror’s PV and RMS nm

3 振動對相機調制傳遞函數(shù)的影響

調制傳遞函數(shù)（MTF）能反映成像系統(tǒng)對目標不同空間頻率的傳遞特性[5]，是常用的光學系統(tǒng)成像品質評價工具[6]。光學元件偏離理想安裝位置會影響相機光學傳函的變化，將空間相機光學元件在制冷機微振動作用下的曲面擬合結果代入Zemax軟件計算MTF的結果，如圖8及表4所示（圖8中T表示切向，S表示弧矢方向）。由表4的數(shù)據可以看出，光學元件偏離理想安裝位置對MTF的影響非常小，對應歸一化空間頻率56線對/mm處MTF下降了0.001 5%。

圖8 偏離理想安裝位置前后的MTF曲線Fig.8 MTF curve of ideal position and changed position

表4 偏離理想安裝位置前后的MTF值Tab.4 MTF value of ideal position and changed position

微振動造成相機光學元件發(fā)生剛性位移，光學元件的剛性位移會導致相機光軸發(fā)生偏角變化[7]。相機光軸繞X軸的偏角變化如圖9所示，由于制冷機的工作頻率為50Hz，相機為受迫振蕩，可以看出光軸的振蕩頻率也為50Hz。

光軸空間偏角隨時間的變化曲線如圖10所示，偏角最大值為0.0371″。按式（7）計算由相機光軸變化引起的像移量，相機歸一化空間頻率對應的MTF計算由式（8）給出[8-10]。

式中 α為主光軸偏角；f為相機焦距；δ為像移量；fs為歸一化空間頻率。

圖9 相機光軸繞X軸的偏角變化Fig.9 Camera optical axial angle rotating about X-axis

圖10 光軸偏角隨時間的變化Fig.10 Optical axial angle vs time

將α=0.037 1″，fs=56線對/mm，代入式（7）、（8）中，計算得到MTF下降量為0.41%。因此可知，光軸的偏角變化對相機的成像影響大于偏離安裝位置對相機成像品質的影響。由于光軸偏角是隨時間變化的，對 MTF的影響也是隨時間變化的，當微振動載荷引起的偏角對相機MTF影響最大時，MTF下降量不超過0.41%，在工程可接受的范圍內。

相機擾動力是以50Hz為基頻的一系列諧波信號，單獨提取出每個頻率的幅值代入有限元模型計算，獲得不同頻率下的光軸偏角，如圖11所示。由于相機的一階固有基頻為45 Hz，和制冷機基頻接近，頻率為50Hz的諧波信號對光軸的偏角影響最大，隨著頻率的提高，對光軸影響逐漸變小，頻率大于250 Hz的諧波信號主要對應相機的某些局部模態(tài)，對相機的光軸偏角影響極小，由此引起的MTF下降量可忽略不計。

圖11 不同頻率激勵下的光軸偏角Fig.11 Optic axial angle of different frequency

4 結束語

本文主要從相機微振動源分析入手，通過有限元方法對光學元件曲面擬合，面形、光軸分析，最后結合光學成像分析了空間紅外遙感相機微振動對成像品質的影響。通過對微振動載荷激勵下的鏡面擬合分析可知，微振動對相機光學元件自身面形的影響很小，主要表現(xiàn)為光學元件剛性位移和光軸偏轉。光學元件之間偏離理想位置的剛性位移造成MTF下降了0.001 5%，影響極其有限。相機微振動激勵源主要為制冷機，其工作頻率為50Hz，此頻率下的的諧波信號對相機光軸偏角影響最大，引起的MTF下降量也最大，為 0.41%，經分析，MTF下降量在工程可接受的范圍內。

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