對數(shù)周期天線陣波束形成的最優(yōu)激勵研究

尹 凡， 孫玉發(fā)

（安徽大學 電子信息工程學院，安徽 合肥 230601）

盡管由于衛(wèi)星通信的出現(xiàn)及迅速發(fā)展，短波通信曾一度停滯不前，但近年來短波通信又重新引起了關注，它是海上通信、極地通信的重要手段，也是軍事通信的重要戰(zhàn)略備份。目前短波通信技術已經(jīng)取得了重大進展，廣泛地采用擴頻、跳頻和實時信道估值（RTCE）等新技術，這使得短波通信成為遠程通信的重要手段。為了實現(xiàn)遠程的點對移動點的通信，就需要根據(jù)移動點的運動以及電離層的變化，改變發(fā)射天線波束的方位和仰角。因此，這就要求天線部分是短波相控陣系統(tǒng)。

為獲得理想的通信效果，提高天線陣的效率和方向性是提高系統(tǒng)靈敏度的有效途徑。為了提高整個天線陣的增益，單元天線就希望選擇高增益定向天線。短波寬帶天線一般有2種較成熟的天線形式：一種是菱形天線，另一種是對數(shù)周期天線。對數(shù)周期天線工作頻帶寬，由于其特有的結構，其輻射特性與駐波天線相似，其效率可達80%以上，增益一般可達7～10dB［1－2］，占地面積小。因此，對數(shù)周期天線是一較好的選擇。對數(shù)周期天線近年來也獲得進一步的開發(fā)和應用，文獻［3］提出一種Koch陣子的對數(shù)周期天線，進一步縮小天線的尺寸；文獻［4］考慮到對數(shù)周期天線輻射脈沖失真問題，從傳遞函數(shù)開始進行設計，滿足脈沖UWB的應用；文獻［5］將目前熱門的超材料應用于對數(shù)周期天線設計，實現(xiàn)正負相移，進一步提高了UWB脈沖輻射的保真度。

對數(shù)周期天線陣由于存在陣子之間、單元天線之間的耦合，要獲得需要的波束指向、最大增益，激勵信號的確定成為一個關鍵問題。本文利用矩量法對特殊要求的對數(shù)周期天線陣進行全波分析，對天線陣單元天線之間的互阻抗、駐波比以及最優(yōu)激勵等進行了嚴格的計算和分析。其結果表明該天線陣具有非常好的性能，其得到的結果對天線陣的設計和分析具有參考價值。

1 單元天線和天線陣的結構

對數(shù)周期偶極子天線（LPDA）的結構示意圖如圖1所示［6］。

圖1 偶極子對數(shù)周期天線原理結構示意圖

單元對數(shù)周期天線由N個平行排列的對稱振子構成，其結構特點是各振子的尺寸、位置與振子的序號有關，即按照結構周期τ組成。令

其中，n為振子的序號，n＝1，…，N；dn為兩相鄰陣子的間距；Ln為振子的長度；Dn為天線的幾何頂點到振子的垂直距離。所有振子采用一對傳輸線進行饋電，源接在短振子的一端，兩相鄰振子交叉饋電。天線的整體結構決定于τ和α，α為振子的末端連線夾角。在實際設計天線時，為了方便，引入一個參量σ，σ＝dn／（2Ln），稱為間隔因子。σ、α、τ之間的關系如下

在確定天線設計參數(shù)時，只要知道σ、α、τ中的任意2個，則天線的幾何結構及其相應的電特性也就確定了。為了達到天線陣的工作頻率范圍為4～12MHz，本文的單元天線參數(shù)為τ＝0.88，α＝370，N＝12，σ＝0.09。天線陣采用八單元的對數(shù)周期天線，結構布局如圖2所示，其中β1＝75°，β2＝55°。天線陣采用水平極化，為了防止地面鏡象對寬帶工作的影響，每一單元天線對地面有一傾角γ＝31°，天線的架高最高處為30m，這樣高頻輻射區(qū)離地面近，低頻輻射區(qū)離地面遠，可以確保各陣子相對地面的電長度一致。采用這種斜架和扇形布局方式，天線陣的天波工作頻帶可達3～5倍頻程。

圖2 對數(shù)周期天線陣列位置的俯視圖

2 對數(shù)周期天線陣的矩量法分析

2.1 基本原理

電磁場的反應積分方程［7］為：

其中，Em、Hm為檢驗源產(chǎn)生的場；Js＝n×H，Ms＝－n×E為由等效原理得到的天線振子表面的等效電流和等效磁流；Ji、Mi為天線陣饋入的電流和磁流。假設天線的振子由理想導體構成，則Ms＝0；饋源采用磁流環(huán)模型，則Ji＝0；這樣（3）式可簡化為：

（4）式即是所要求解的算子方程。本文采用分域正弦基的Galerkin算法。

2.2 單元天線激勵的處理

單元對數(shù)周期天線具有多個交叉饋電的振子，而激勵信號只有1個，因此一般采用將矩量法和等效傳輸矩陣網(wǎng)絡相結合的方法［2，8］來處理。如圖3所示，把對數(shù)周期天線分成天線陣網(wǎng)絡和集合線網(wǎng)絡，分別把這兩部分看作N端口無源網(wǎng)絡。采用矩量法求解天線陣網(wǎng)絡的各端口的互阻抗矩陣，利用兩端口網(wǎng)絡方程計算集合線網(wǎng)絡阻抗或導納矩陣。運用集合線網(wǎng)絡、天線陣網(wǎng)絡和矩量法分段電流的內在聯(lián)系，把天線陣網(wǎng)絡和集合線網(wǎng)絡有機結合起來，由天線激勵電流直接給出簡潔的天線電流分布表達式。

圖3 LPDA的2個等效網(wǎng)絡

為了求解LPDA上的電流分布必須先求出激勵每個振子的電壓UA。令YA和ZA分別代表天線陣網(wǎng)絡的導納矩陣和阻抗矩陣，則電壓、電流之間的關系為：

其中，UAi、IAi分別為第i個振子的輸入端電壓和電流；ZAii、ZAij分別為輸入端的自阻抗和互阻抗（i，j＝1，2，…，N）。

用矩陣表示為：

令YL表示傳輸線網(wǎng)絡的導納矩陣，IL、UL表示具有N端的網(wǎng)絡每個輸入端上的電流和電壓矢量。利用網(wǎng)絡理論，集合線各端子處電壓UL、電流IL之間的關系為：

傳輸線網(wǎng)絡的導納矩陣可表示為：

其中，Y0為傳輸線的特性導納；k為傳輸線的傳輸常數(shù)；di為振子之間的距離。由圖3可知，UA＝UL。因此，2個并聯(lián)網(wǎng)絡總的電流表達式為：

其中，Is為激勵電流向量，它只有最后一個元素有值，其他元素為0。在具體的分析過程中，將對數(shù)周期天線的所有振子進行剖分，總共得到NN段（其中每一個振子上的分段數(shù)應保證為偶數(shù)，模為奇數(shù)），則由矩量法，天線上各個分段的電流、電壓可以歸結為如下方程：

其中，UM、IM分別為NN維的電壓列向量和電流列向量；ZM為NN階的阻抗矩陣?，F(xiàn)在的主要任務是求出YA的分布，利用YA得到電流分布，求得其他的各種電參數(shù)。因為天線陣的每個振子都是中心饋電，顯然，UM只在每一個振子的中心點所對應的元素組成的向量就是UA。為了求解出天線上的電流，定義一個擴展矩陣P，P為NN×N矩陣，每一行都有且僅有一個非零元素1，依次位于饋電點對應模的列，則有：

綜合以上各式，可得：

PTZ－1MP即相當于天線陣饋電端的導納矩陣，這樣就可以求出YA。再由（8）式、（10）式，可得天線上的電流分布：

以上是對單元對數(shù)周期天線的分析過程，ZM是利用矩量法分析對數(shù)周期天線時得到的阻抗矩陣，可以求解，如果是分析對數(shù)周期天線陣列，則在計算阻抗矩陣ZM時，必須考慮非共面振子之間的互阻抗的計算。

2.3 天線陣互阻抗矩陣的計算

從圖2可以看出，要計算對數(shù)周期天線陣的各振子上的電流分布，需要對圖3所示的2個網(wǎng)絡的合成，其中天線部分的網(wǎng)絡是存在相互耦合的，因此，不是簡單的組合。由于不同對數(shù)周期天線的振子之間是非共面的，這樣計算互阻抗矩陣不同于單元對數(shù)周期天線。下面給出非共面模之間的互阻抗的計算［9］?？臻g任意2個振子間的位置關系如圖4所示。

假設振子1的兩臂長為2d1，沿著Z軸放置，饋電點位于坐標原點，若I1（0）為其輸入端電流，則沿線電流分布的表達式為：

振子2的臂長為2d2，振子中心位于（x0，y0，z0），若I2（0）為其輸入端電流，則

振子2的電流I2的方向矢量為：

l＝lxex＋lyey＋lzez。

圖4 空間任意2個振子間的位置關系

根據(jù)反應積分方程，振子1、2之間歸一化于輸入電流的互阻抗為：

其中，E21（s）為振子1在2上產(chǎn)生的電場，在柱坐標系中，E21（r）＝E21ρeρ＋E21ez，其中

將（17）式轉換成直角坐標系代入（16）式，并運用數(shù)值積分就可以得到任意兩模之間互阻抗。

從圖2可以看出，在計算互阻抗矩陣時，除了可以利用互阻抗矩陣的對稱性，節(jié)約1／2的計算量外，還可以利用天線陣布局本身的對稱性。在陣列中1、4，2、3，5、8，6、7單元天線分別關于Y軸對稱。因此，稍加分析可以發(fā)現(xiàn)，只要計算出1單元和2單元天線與其他單元天線的互阻抗，就可以計算出整個互阻抗矩陣。

3 對數(shù)周期天線陣的最優(yōu)激勵

在天線設計中，如何確定使天線獲得最佳性能時所對應的激勵，是一個很基本的問題。目前很多關于陣列問題的求解中，一般忽略了陣列中各單元之間的互耦。而這里將要討論的是考慮了陣元間互耦后，陣列獲得最佳性能時的激勵。任意天線陣及其遠區(qū)檢驗天線如圖5所示。

圖5 任意天線陣及其遠區(qū)檢驗天線

圖5a所示為假設一任意的N端口天線陣以及位于遠區(qū)的一個接收天線，假設接收天線可以接收正交極化分量。天線陣加上接收天線構成了一個N＋2端口網(wǎng)絡，Vt1代表接收的水平極化分量，Vt2代表接收的垂直極化分量。利用開路阻抗矩陣，可以得到：

其中，Vt、It為接收天線的端口電壓和電流；Va、Ia為陣列各端口的電壓、電流向量；Ztt為接收天線的輸入阻抗，由于接收正交分量之間不耦合，所以它是1個2×2的對角陣；Zaa為天線陣的阻抗矩陣，它可以通過前面求得的天線陣的模式互阻抗矩陣，提取對應激勵單元的行與列得到；Zat、Zta為接收天線和天線陣之間的互阻抗矩陣，假設接收天線是一理想的無方向性天線，由于接收天線與天線陣距離很遠，因此Zat（1，i）的大小與天線陣的第i陣元在接收點水平場強大小成正比，Zat（2，i）的大小與天線陣的第i陣元在接收點垂直場強大小成正比，這樣就可以通過前面計算的天線陣的模式互阻抗矩陣，計算出第i陣元激勵時，整個天線陣上的電流分布，根據(jù)電流分布計算出接收方向的場強，從而得到Zat或Zta。

假定陣列所加的激勵電流源為I1，I2，…，IN，接收天線開路，如圖5所示，此時的復輸入功率可以表示為：

所以加在陣列上的輸入功率是（19）式的實部。

而接收天線端口電壓模的平方正比于入射場的功率密度。由（18）式，令It＝0，則接收天線方向的天線陣發(fā)射的功率密度可以表示為：

其中，K為取決于接收天線自身的常數(shù)。比較（20）式與（21）式，可以得到陣列在接收方向的增益［10］為：

從（22）式可看出G具有厄密特二次式，所以令：

可以得到一個特征值方程：其中，G／K為特征值，由阻抗矩陣的性質，［Zaa＋］為正定陣，為半正定陣，即所有的特征值大于等于0。因此，最大的特征值對應的特征向量即是獲得最大功率增益所需要的激勵電流。

這種激勵是以最大增益為優(yōu)化目標求得的最優(yōu)激勵電流，不僅相位不同，而且幅度也不同。實際的天線陣系統(tǒng)的各單元的激勵電流輸出能力一致，這樣不等幅激勵會產(chǎn)生資源的閑置，因此，另一種優(yōu)化目標就是使得接收方向獲得最大的接收強度。由（21）式，就是使Pt獲得最大。根據(jù)上面的分析只有2個非零的特征值。由矩陣的特征分解：

由（25）式可見，在各激勵單元幅度受到約束，Ia的相位矢量與的相位矢量一致的情況下，獲得最大的輸出功率。

4 計算結果與分析

通過以上的理論分析，利用Matlab編程開發(fā)了上述矩量法分析計算程序，對本文開始給出的天線陣結構進行了計算。由于天線架設較高，地面近似按理想導體鏡象來處理，由于單元天線的各振子離地面不是等高的，因此不能簡單地乘以天線陣鏡象因子，而是利用各個子域模的電流鏡象來完成。實際計算時將每個單元對數(shù)周期天線剖分成122子模，共計976模。采用最大輸出功率作為優(yōu)化目標。此時得到的所有端口所加的激勵是等幅不同相的，且以第8單元的相位為參考，令其為0。

表1、表2分別列出了天線陣設計的2端頻率點4、12MHz，波束指向不同方向時激勵信號的相位、各單元天線的駐波比和天線陣的增益。從計算結果可以看出，除個別點駐波比超過2外，基本上都控制在2以內，增益都達到23～26dB。這是一般短波不可能做到的。

另外，圖6a所示為f＝6MHz、θ＝40°，即仰角為500時，天線陣在方位上掃描±300方向圖，圖6a表明陣列的主波束在方位上方向是精確可控的。圖6b所示為f＝6MHz、φ＝270°，仰角為70°、50°、30°（即θ為20°、40°、60°）波束掃描的方向圖，從圖6b中可以看出，仰角最大值與預設方向有很小的偏差，同時可以發(fā)現(xiàn)，仰角越高天線陣的增益越低，這都是因為地面鏡象的影響所致。

由上述計算結果可知，該天線陣可以滿足方位±150、仰角300～600的電掃描，增益可達23dB以上，天線陣的主波束在方位和仰角上方向都基本是精確可控的。

以電離層高度為300km計算，該天線陣的落地波束方位前后左右都能達到100km，通過相控掃描前后可達300～1 500km，左右可達±400km，因此該天線陣在遠洋通信中將有非常大的應用價值。

表1 4MHz時不同波束指向對應的陣列激勵相位、駐波比和增益

表2 12MHz時不同波束指向對應的陣列激勵相位、駐波比和增益

圖6 6MHz時方位角、仰角掃描的方向圖

5 結束語

本文利用矩量法結合微波網(wǎng)絡的全波理論對對數(shù)周期天線陣進行了嚴格的理論分析和數(shù)值計算，計算對數(shù)周期天線陣的工作狀態(tài)的輸入阻抗、駐波比電特性參數(shù)，同時計算分析了天線陣的波束寬度、波束指向和增益輻射特性參數(shù)，在此基礎上對天線陣的波束掃描在最大增益和最大功率2個優(yōu)化準則下的最優(yōu)激勵進行了理論分析和數(shù)值計算，證明了算法的有效性。本文方法對復雜線天線陣的分析具有一定的指導意義，同時在遠洋、極地等超視距通信中有應用價值。

［1］ 周朝棟，王元坤，周良明.線天線理論與工程［M］.西安：西安電子科技大學出版社，1988：294－320.

［2］ Peixeiro C.Design of logic－periodic dipole antennas ［J］.IEE Proceedings，1998，135（2）：98－102.

［3］ Anagnostou D E，Papapolymerou J，Tentzeris M M，et al.A printed log－periodic koch－Dipole array （LPKDA）［J］.IEEE Antenna and Wireless Propagation Letters，2008：7（1）：456－460

［4］ Merli F，Zürcher J F，F(xiàn)reni A，et al.Analysis，design and realization of a novel directive ultrawideband antenna［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，2009，57（11）：3458－3466.

［5］ Ziolkowski R W，Peng Jin.Metamaterial－based dispersion engineering to achieve high fidelity output pulses from a log－periodic dipole array ［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，2008，56（12）：3619－3629.

［6］ 斯塔茲曼，蒂爾.天線理論與設計［M］.朱守正，安同一，譯.第2版.北京：人民郵電出版社，2006：241－251.

［7］ 胡 慶，高 榮，肖 琴，等.高效偶極矩法分析金屬天線電磁輻射特性研究［J］.合肥工業(yè)大學：自然科學版，2012，35（5）：648－651.

［8］ 袁偉良，梁昌洪，史小衛(wèi).矩量法結合網(wǎng)絡理論分析對數(shù)偶極天線［J］.微波學報，2000，16（2）：106－110.

［9］ Richmond J H，Gerry N H.Mutual impedance of nonplannar－skew sinusoidal dipoles［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，1970，18（1）：412－414.

［10］ Harrington R F.Antenna excitation for maximum gain［J］.IEEE Transaction on Antennas and Propagation，1965，13（6）：896－903.