具有簡(jiǎn)單G2條件的類(lèi)Bézier曲線(xiàn)曲面

嚴(yán)蘭蘭， 韓旭里， 黃 濤

（1.東華理工大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌330013；2.中南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410083）

Bézier方法是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)中表示曲線(xiàn)曲面的重要方法之一，它具有很多優(yōu)點(diǎn)，但也存在不足，例如，給定控制頂點(diǎn)，Bézier曲線(xiàn)曲面的形狀便唯一確定，要想修改其形狀，必須調(diào)整控制頂點(diǎn)，重新計(jì)算曲線(xiàn)曲面方程。對(duì)于這個(gè)不足，有大量文獻(xiàn)提出了解決辦法［1－7］，這些文獻(xiàn)的共同思想是構(gòu)造含參數(shù)且具備Bernstein基函數(shù)基本性質(zhì)的新的基函數(shù)。很自然地，由新的基函數(shù)定義的曲線(xiàn)曲面具備Bézier曲線(xiàn)曲面的基本性質(zhì)之外，還具備了形狀可調(diào)性。此外，Bézier方法無(wú)法精確表示工程上常用的除拋物線(xiàn)以外的圓錐曲線(xiàn)曲面和超越曲線(xiàn)曲面。對(duì)于這個(gè)不足，也有很多文獻(xiàn)提出了解決辦法［8－16］，這些文獻(xiàn)的思想是在非多項(xiàng)式空間，如代數(shù)三角混合函數(shù)空間［8－12］、代數(shù)雙曲混合函數(shù)空間［13－16］上構(gòu)造具備Bernstein基函數(shù)基本性質(zhì)的新的基函數(shù)。由此定義的曲線(xiàn)曲面在具備Bézier曲線(xiàn)曲面基本性質(zhì)的同時(shí)，還能表示 橢 圓 （圓）［8－12］、心 臟 線(xiàn)［10］、擺 線(xiàn)［11］、心 形線(xiàn)［11］、雙曲線(xiàn)［13－16］、懸鏈線(xiàn)［15－16］等，而且有的還具備形狀可調(diào)性［9，11－16］。

注意到單一的Bézier曲線(xiàn)曲面無(wú)法表示復(fù)雜的形狀，所以在工程實(shí)際中，常需將多條Bézier曲線(xiàn)或多張Bézier曲面進(jìn)行組合，為保證組合曲線(xiàn)曲面的光滑性，相鄰Bézier曲線(xiàn)曲面的控制頂點(diǎn)間需滿(mǎn)足一定的光滑性條件，通常對(duì)光滑性的要求越高，條件越復(fù)雜。對(duì)于普通Bézier曲線(xiàn)和大多數(shù)擴(kuò)展Bézier曲線(xiàn)而言，當(dāng)前一條曲線(xiàn)的最后一個(gè)控制頂點(diǎn)和后一條曲線(xiàn)的第1個(gè)控制頂點(diǎn)重合（稱(chēng)為公共控制頂點(diǎn)）時(shí)，2條曲線(xiàn)位置（G0或C0）連續(xù)。在此基礎(chǔ)上，當(dāng)前一條曲線(xiàn)的倒數(shù)第2個(gè)控制頂點(diǎn)、2條曲線(xiàn)的公共控制頂點(diǎn)以及后一條曲線(xiàn)的第2個(gè)控制頂點(diǎn)3點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，2條曲線(xiàn)在公共點(diǎn)處達(dá)到一階幾何（G1）連續(xù)。因此一般情況下，2條曲線(xiàn)在拼接時(shí)的G0連續(xù)條件中涉及2個(gè)控制頂點(diǎn)，G1連續(xù)條件中涉及4個(gè)控制頂點(diǎn)，如此類(lèi)推，連續(xù)階越高，涉及的控制頂點(diǎn)數(shù)目越多。在工程實(shí)際中，二階幾何（G2）連續(xù)可以滿(mǎn)足大多數(shù)的要求，因此考慮能否使組合曲線(xiàn)在滿(mǎn)足G1連續(xù)性條件下達(dá)到G2連續(xù)。為實(shí)現(xiàn)該目標(biāo)，這里給出了n（n≥2）次Bézier曲線(xiàn)的擴(kuò)展曲線(xiàn)，新曲線(xiàn)不僅具備形狀可調(diào)性，而且還可以在相對(duì)簡(jiǎn)單的條件下實(shí)現(xiàn)G2光滑拼接。

1 基函數(shù)及其性質(zhì)

1.1 基函數(shù)的定義

定義1 設(shè)λ∈（－3，1］，對(duì)t∈［0，1］，稱(chēng)（1）式為帶形狀參數(shù)λ的2階類(lèi)Bernstein基函數(shù)。

記s＝sin（πt／2t），c＝cos（πt／2），對(duì)任意的整數(shù)n（n≥3），稱(chēng)由遞推公式（2）定義的函數(shù)bni（t）（i＝0，1，…，n）為帶形狀參數(shù)λ的n階類(lèi)Bernstein基函數(shù)。

規(guī)定當(dāng)l＜0或l＞k時(shí)，（2）式右端的bkl（t）等于0。

為了簡(jiǎn)潔，稱(chēng)上面定義的函數(shù)bni（t）（i＝0，1，…，n；n≥2）為n階λ－Bernstein基，在不至于引起混淆時(shí)，下文中將bni（t）簡(jiǎn)記為bni。

圖1所示為帶不同參數(shù)的2～5階λ－Bernstein基，圖中實(shí)線(xiàn)均為參數(shù)λ＝－2時(shí)的基函數(shù)，點(diǎn)線(xiàn)均為參數(shù)λ＝－0.5時(shí)的基函數(shù)，虛線(xiàn)均為參數(shù)λ＝1時(shí)的基函數(shù)。

圖1 2～5階λ－Bernstein基

1.2 基函數(shù)的性質(zhì)

λ－Bernstein基具有類(lèi)似于Bernstein基的一些良好性質(zhì)。

（1）非負(fù)性。當(dāng)λ∈（－3，1］時(shí)，n階λ－Bernstein基bni≥0（i＝0，1，…，n；n≥2）。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n＝2時(shí)，λ－Bernstein基可以寫(xiě)成：

其中，B4i（i＝0，1，…，4）為4次 Bernstein基函數(shù)。顯然，當(dāng)λ∈（－3，1］時(shí)，（1－λ）／4≥0，（3＋λ）／4＞0，又因4次Bernstein基函數(shù)非負(fù)，因此2階λ－Bernstein基也非負(fù)。假設(shè)r階λ－Bernstein基非負(fù)，當(dāng)n＝r＋1時(shí)，由（2）式有：

由歸納假設(shè)以及c2≥0、s2≥0的事實(shí)，可知r＋1階λ－Bernstein基也非負(fù)。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n＝2時(shí)，由（3）式有：

假設(shè)r階λ－Bernstein基滿(mǎn)足規(guī)范性，當(dāng)n＝r＋1時(shí)，由（2）式有：

這表明r＋1階λ－Bernstein基也滿(mǎn)足規(guī)范性。

（3）對(duì) 稱(chēng) 性。bni（t）＝bn，n－i（1－t），這 里i＝0，1，…，n，n≥2，t∈［0，1］。

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n＝2時(shí)，由（1）式或（3）式易知：

b2i（t）＝b2，2－i（1－t）， i＝0，1，2。

假設(shè)r階λ－Bernstein基滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)n＝r＋1時(shí)，由（2）式可得：

這表明r＋1階λ－Bernstein基也滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性。（4）端點(diǎn)性質(zhì)。對(duì)i＝0，1，…，n（n≥2），有

證明 采用數(shù)學(xué)歸納法證明（4）式正確。當(dāng)n＝2時(shí)，由（1）式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算易知（4）式中結(jié)論正確。假設(shè)當(dāng)n＝r時(shí)（4）式中結(jié)論正確，當(dāng)n＝r＋1時(shí)，由（2）式可得：

在（6）式中令t＝0可得：

故當(dāng)n＝r＋1時(shí)（4）式中結(jié)論也正確。另外，由bni（t）＝bn，n－i（1－t）可得：

bni′（t）＝－bn，n－′i（1－t），bni″（t）＝bn，n－i″（1－t）。

故

由（4）式、（7）式易知（5）式正確。

證明 充分性是顯然的，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明必要性。假設(shè)：

其中，ai∈R（i＝0，1，2）。將（3）式代入（8）式并整理得：

由4次Bernstein基函數(shù)的獨(dú)立性，可知：

易知此方程組的解為ai＝0（i＝0，1，2）。這表明2階λ－Bernstein基線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

假設(shè)r階λ－Bernstein基線(xiàn)性無(wú)關(guān)，接下來(lái)證明r＋1階λ－Bernstein基也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。假設(shè)：

其中，ai∈R（i＝0，1，…，r＋1），將（2）式代入（9）式可得：

由t的任意性知：由歸納假設(shè)和（10）式可知ai＝0（i＝0，1，…，r）。由歸納假設(shè)和（11）式可知ai＝0（i＝1，2，…，r＋1）。故對(duì)所有的i＝0，1，…，r＋1，有ai＝0，表明r＋1階λ－Bernstein基也線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

2 曲線(xiàn)及其性質(zhì)

2.1 曲線(xiàn)的定義與性質(zhì)

定義2 給定n＋1個(gè)控制頂點(diǎn)Vi∈Rd（d＝2，3；i＝0，1，…，n；n≥2）與參數(shù)λ∈（－3，1］，稱(chēng)（12）式為帶形狀參數(shù)λ的n階類(lèi)Bézier曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)n階λ－Bézier曲線(xiàn)。

圖2～圖5所示分別為帶不同參數(shù)的2～5階λ－Bézier曲線(xiàn)（實(shí)線(xiàn)，從上到下依次取參數(shù)λ＝1，－1，－2.9）與普通2～5次Bézier曲線(xiàn)（虛線(xiàn)）。從圖中可看出，在一定的參數(shù)取值范圍內(nèi)，λ－Bézier曲線(xiàn)對(duì)控制多邊形的逼近性?xún)?yōu)于Bézier曲線(xiàn)。

圖2 2階λ－Bézier曲線(xiàn)與2次Bézier曲線(xiàn)

圖3 3階λ－Bézier曲線(xiàn)與3次Bézier曲線(xiàn)

圖4 4階λ－Bézier曲線(xiàn)與4次Bézier曲線(xiàn)

圖5 5階λ－Bézier曲線(xiàn)與5次Bézier曲線(xiàn)

由λ－Bernstein基的性質(zhì)，易知λ－Bézier曲線(xiàn)具有類(lèi)似于Bézier曲線(xiàn)的一些性質(zhì)。

（1）凸包性。由λ－Bernstein基的非負(fù)性和規(guī)范性可知，λ－Bézier曲線(xiàn)位于其控制頂點(diǎn)形成的凸包內(nèi)。

（2）幾何不變性與仿射不變性。由λ－Bernstein基的規(guī)范性可知，一方面，λ－Bézier曲線(xiàn)的形狀僅依賴(lài)于控制頂點(diǎn)，幾何變換不改變曲線(xiàn)的形狀；另一方面，對(duì)控制多邊形進(jìn)行縮放或錯(cuò)切等仿射變換，所對(duì)應(yīng)的新曲線(xiàn)就是原曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)相同仿射變換后的曲線(xiàn)。

（3）對(duì)稱(chēng)性。由λ－Bernstein基的對(duì)稱(chēng)性可知，取相同的參數(shù)λ時(shí)，由控制多邊形V0V1…Vn和VnVn－1…V0所生成的曲線(xiàn)形狀是相同的，只是方向相反。

（4）端點(diǎn)性質(zhì)。由λ－Bernstein基的端點(diǎn)性質(zhì)和λ－Bézier曲線(xiàn)的表達(dá)式可知：

（5）形狀可調(diào)性。由于λ－Bernstein基中含有參數(shù)λ，選擇不同的λ值，可以得到不同的基函數(shù)，因此即使固定控制頂點(diǎn)，依然可以通過(guò)改變參數(shù)λ的值來(lái)調(diào)整λ－Bézier曲線(xiàn)的形狀。

2.2 組合曲線(xiàn)的連續(xù)性

為了方便，這一部分用bni（t；λ）表示帶參數(shù)λ的λ－Bernstein基。

定理1 設(shè)有m階λ－Bézier曲線(xiàn)b1（t）＝與n階λ－Bézier曲 線(xiàn)b2（t）＝，若有（14）式成立，則2條曲線(xiàn)G2連續(xù)。

證明 由（13）式可知：

在（14）式所給條件下，有

其中

故2條曲線(xiàn)G2連續(xù)［17］。

對(duì)于普通Bézier曲線(xiàn)和大多數(shù)文獻(xiàn)中給出的擴(kuò)展Bézier曲線(xiàn)而言，在（14）式所給條件下，相鄰曲線(xiàn)間只能達(dá)到G1連續(xù)，而這里給出的λ－Bézier曲線(xiàn)卻能達(dá)到G2連續(xù)。另外，由于（14）式與λ－Bézier曲線(xiàn)中的參數(shù)無(wú)關(guān)，所以在G2連續(xù)的組合λ－Bézier曲線(xiàn)中，各曲線(xiàn)段可以取不同的參數(shù)，因此曲線(xiàn)段中的參數(shù)可以說(shuō)是局部參數(shù)，可以用于局部地調(diào)整曲線(xiàn)的形狀而不至于破壞曲線(xiàn)的連續(xù)性。

圖6所示為由3階λ－Bézier曲線(xiàn)（取參數(shù)λ＝0）、2階λ－Bézier曲線(xiàn)（從上到下依次取參數(shù)λ＝－2.8，－0.9，1）、4階λ－Bézier曲線(xiàn)（取參數(shù)λ＝0）構(gòu)成的G2連續(xù)的組合曲線(xiàn)。

圖6 G2連續(xù)的組合λ－Bézier曲線(xiàn)

3 曲面及其性質(zhì)

定義3 給定（m＋1）×（n＋1）個(gè)呈拓?fù)渚匦侮嚵械目刂泣c(diǎn)Vij∈R3（i＝0，1，…，m；j＝0，1，…，n；m，n≥2），以及參數(shù)λu，λv∈（－3，1］，稱(chēng)（15）式為帶形狀參數(shù)λu、λv的m×n階類(lèi)Bézier曲面，簡(jiǎn)稱(chēng)m×n階λ－Bézier曲面。λ－Bézier曲面具有與λ－Bézier曲線(xiàn)類(lèi)似的性質(zhì)，如凸包性、幾何不變性、對(duì)稱(chēng)性、形狀可調(diào)性等。另外，關(guān)于組合λ－Bézier曲面的連續(xù)性，有下面的結(jié)論。

定理2 設(shè)有m×n1階λ－Bézier曲面與m×n2階λ－Bézier曲面：

若

其中，i＝0，1，…，m，則2張曲面G2連續(xù)。

證明 由（4）式、（5）式和（15）式可以得到：

在（17）式所給條件下，有

其中

故2張曲面G2連續(xù)。

圖7所示為在相同控制網(wǎng)格下，通過(guò)選擇不同的形狀參數(shù)得到的由3×3階λ－Bézier曲面構(gòu)成的2張G2連續(xù)的組合曲面。圖7a中λi＝0（i＝0，1，2），圖7b中λi＝－2.5（i＝0，1，2）。

圖7 G2連續(xù)的組合λ－Bézier曲面

4 結(jié)束語(yǔ)

本文給出的λ－Bézier曲線(xiàn)具有很多優(yōu)點(diǎn)：① 具備Bézier曲線(xiàn)的凸包性、幾何不變性、對(duì)稱(chēng)性等基本性質(zhì)；② 可以在不改變控制頂點(diǎn)的情況下，通過(guò)選擇合適的參數(shù)λ來(lái)得到滿(mǎn)意的形狀；③ 在構(gòu)造組合曲線(xiàn)時(shí)，只要相鄰曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)之間滿(mǎn)足普通Bézier曲線(xiàn)的G1光滑拼接條件，曲線(xiàn)間便可以達(dá)到G2光滑拼接。而λ－Bézier曲面在具備Bézier曲面的基本性質(zhì)之外，也具有形狀可調(diào)性，易于實(shí)現(xiàn)G2光滑拼接這2個(gè)良好的性質(zhì)。文中圖例說(shuō)明了本文方法的正確性與有效性，因此λ－Bézier曲線(xiàn)曲面可望在工程實(shí)際中發(fā)揮一定的作用。當(dāng)然λ－Bézier曲線(xiàn)曲面也有不足，現(xiàn)有文獻(xiàn)中一些以代數(shù)三角混合函數(shù)作為基函數(shù)的擴(kuò)展Bézier曲線(xiàn)曲面能精確表示橢圓、橢球面等，而λ－Bézier曲線(xiàn)曲面還不具備這一性質(zhì)。所以下一步將嘗試構(gòu)造新的代數(shù)三角混合基，使得由之定義的曲線(xiàn)曲面在具備λ－Bézier曲線(xiàn)曲面的所有性質(zhì)之外，還能精確表示一些圓錐曲線(xiàn)曲面或超越曲線(xiàn)曲面。

［1］ Wang Wentao，Wang Guozhao.Bézier curves with shape parameter［J］.Journal of Zhejiang University Science A，2005，6（6）：497－501.

［2］ Han Xi’an，Ma Yichen，Huang Xili.A novel generalization of Bézier curve and surface ［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2008，217（1）：180－193.

［3］ Yang Lianqiang，Zeng Xiaoming.Bézier curves and surfaces with shape parameters［J］.International Journal of Computer Mathematics，2009，86（7）：1253－1263.

［4］ Qin Xinqiang，Zhang Nianjuan，Hu Gang.A novel Bézier curve with multiple shape parameters［C］／／2010 3rd IEEE International Conference on Computer Science and Information Technology，2010，7：494－498.

［5］ Chen Jie，Wang Guojin.A new type of the generalized Bézier curves［J］.Applied Mathematics：A Journal of Chinese Universities，2011，26（1）：47－56.

［6］ Yan Lanlan，Liang Jiongfeng.An extension of the Bézier model［J］.Applied Mathematics and Computation，2011，218（6）：2863－2879.

［7］ 嚴(yán)蘭蘭，鄔國(guó)根.Bézier方法的新擴(kuò)展［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，36（5）：625－631.

［8］ Chen Qinyu，Wang Guozhao.A class of Bézier－like curves［J］.Computer Aided Geometric Design，2003，20（1）：29－39.

［9］ Han Xi’an，Ma Yichen，Huang Xili.The cubic trigonometric Bézier curve with two shape parameters［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22（2）：226－231.

［10］ 程 榮，潘永娟，周明華.一類(lèi)三角多項(xiàng)式曲線(xiàn)的性質(zhì)及應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2010，46（7）：39－43.

［11］ 師利紅，張貴倉(cāng).三次 TC－Bézier曲線(xiàn)的新擴(kuò)展［J］.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2011，47（4）：201－204.

［12］ Han Xuli，Zhu Yuanpeng.Curve construction based on five trigonometric blending functions ［J］.BIT Numerical Mathematics，2012，52（4）：953－979.

［13］ 蘇本躍，盛 敏.基于雙曲函數(shù)的Bézier型曲線(xiàn)曲面［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2006，27（3）：370－372.

［14］ 謝 進(jìn)，檀結(jié)慶.多形狀參數(shù)的二次雙曲多項(xiàng)式曲線(xiàn)［J］.中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào)，2009，14（6）：1206－1211.

［15］ Chen Sugen，Huang Youdu.Hyperbolic Bézier curves with multiple shape parameters ［J］.Journal of Engineering Graphics，2009，30（1）：75－79.

［16］ 張錦秀，檀結(jié)慶.代數(shù)雙曲Bézier曲線(xiàn)的擴(kuò)展［J］.工程圖學(xué)學(xué)報(bào)，2011，32（1）：31－38.