2014年全國新課標試題取值范圍特色

王承宣

2014年高考漸漸遠去，仔細翻閱試卷，發(fā)現(xiàn)2014年全國新課標試卷有關取值范圍的試題幾乎是以點的特征確定范圍，可謂特色明顯.類型如下，供教學參考.

1以極值點定范圍

此類試題是賦予極值點以一定的條件，通過對條件的數學表達而求得某字母的取值范圍.

例1（新課標Ⅱ理科）設函數f（x）=3sinπxm.若存在f（x）的極值點x0滿足x20+[f（x0）]2

A.（-∞，-6）∪（6，+∞）

B.（-∞，-4）∪（4，+∞）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

圖1分析如圖1，f（x）的周期為2m，試題提供的式子x20+f（x0）2的幾何模型可以是圖1中Rt△OAB（也可以在緊挨原點的其它象限）斜邊的平方，圖中清晰知道：OB=m24+3，OA=m2符合題意，故不等式可翻譯成m24+32，故選C.

抓住具有普遍性的圖像模型快速實施突破是此類試題的特點.

2以零點定范圍

此類試題將函數的零點與函數的單調性相聯(lián)，再結合函數極值的情況控制零點個數，從而確定某字母的取值范圍.

例2（新課標Ⅰ理科）已知函數f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）.

A.（2，+∞）B.（-∞，-2）

C.（1，+∞）D.（-∞，-1）

分析f′（x）=3ax2-6x=3ax（x-2a），選原點作為參照點討論如下.①當2a<0時，有a<0.若x∈（-∞，2a），則f′（x）<0；若x∈（2a，0），則f′（x）>0；若x∈（0，+∞），則f′（x）<0.從而f（x）在（-∞，2a）上單調遞減，在（2a，0）上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減，并且在x=2a取極小值，在x=0處取極大值，如圖2，若要存在唯一零點x0且x0>0，則必須f（2a）=-4a2+1>0，注意到a<0，解得a<-2.作為單選選擇題，此時已知答案為B.（-∞，-2），但作為對試題的深賾索隱，繼續(xù)分析如下.

圖2圖3②當2a>0時，有a>0.若x∈（-∞，0），則f′（x）>0；若x∈（0，2a），則f′（x）<0；若x∈（2a，+∞），則f′（x）>0；根據單調性和極值，示意圖3的曲線（1）和曲線（2）均不能滿足：唯一零點x0且x0>0的條件.結合圖像得啟示：變換有關零點的限制條件可以求取a的不同取值范圍.

以區(qū)間端點的變點與區(qū)間端點的定點進行比較，找到討論的突破點是解答此類試題的妙法.

3以范圍點確定范圍

此類試題以某范圍內的點的函數值設置限制條件，仍要借助函數的單調性解讀限制條件，最終求出某字母的取值范圍.

例3（新課標Ⅰ文科）設函數f（x）=alnx+1-a2x2-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0.（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）

分析（1）b=1.（2）f（x）=alnx+1-a2x2-x（a≠1），故f′（x）=1-ax（x-a1-a）（x-1），（a≠1）.這里有一個難點是討論區(qū)間的確定.經探索發(fā)現(xiàn)從1-a的正負入手，脈理清晰易懂，試看：（Ⅰ）若1-a>0，則a<1.（ⅰ）由a1-a≤1知a≤12.此時，當x∈（1，+∞）時，f′（x）>0，即f（x）在（1，+∞）上單調遞增.存在x0≥1使f（x0）1知a>12，又a<1，故120，在區(qū)間（1，a1-a）上，f′（x）<0，在區(qū)間（a1-a，+∞）上，f′（x）>0.從而在x1=1時取得極大值，在x2=a1-a取極小值.存在x0≥1使f（x0）aa-1，不合題意.（Ⅱ）若1-a<0，則a>1.（ⅰ）由a1-a≤1解得a≥12，此時在（1，+∞）上由f′（x）<0知f（x）單調遞減，且f（1）=-a-121解得a<12，這與a>1矛盾.

綜上所述，a的取值范圍是：（-2-1，2-1）∪（1，+∞）.

先確定含待求取值范圍字母的系數的符號，再對區(qū)間端點變動情況進行討論是解答此類試題的重要參考程序，思路自然流暢，不至于對試題的解答束手無策.

4以動點定范圍

以圖形上的動點設置限制條件，要求確定某字母的取值范圍.此類題目常常需要定出極端點或極限點，以窺見結果.

例4（新課標Ⅱ理科）設點M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是.

圖4分析如圖4，確定出滿足題設條件的幾個極端點M0、N0、M1使∠OM1N0=∠OM0N0=45°，仔細觀察M、N的位置變化知：只有x0∈[-1，1]時才有∠OMN=45°的可能.適當利用圖形使這道填空題輕松得解.