從近年的高考試題談數(shù)學(xué)選擇題考查動(dòng)向

劉瑞美

1近年考查動(dòng)向

從近幾年的數(shù)學(xué)高考題中可以看出，用直接法解答的試題比例不斷地增加，經(jīng)統(tǒng)計(jì)大約占70%～80%，另有20%左右的選擇題可以用畫圖、取特殊值、代入驗(yàn)證、估算、特征分析、反面排除等特殊方法來巧妙解答.充分利用題干和選擇支所提供的信息作出判斷，是解答選擇題的基本策略，并且要注意以下幾點(diǎn)：

（1）全面審題，不但要審清題干給出的條件，還要考查4個(gè)選項(xiàng)所提供的信息；

（2）通過審題對可能存在的各種解法進(jìn)行比較，包括其思維的難易度、運(yùn)算量的大小等，初步確定解題的切入點(diǎn)；

（3）要對解題所用時(shí)間進(jìn)行監(jiān)控，善于根據(jù)題目情況對解題方法進(jìn)行調(diào)整.

從近幾年的高考數(shù)學(xué)試題來看，選擇題基本穩(wěn)定在10～12道，分值大約為50～60分左右，占總分的30%～40%，對數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性；對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重與數(shù)學(xué)知識(shí)考查相結(jié)合；對數(shù)學(xué)能力的考查，注重創(chuàng)新意識(shí)，主要采用設(shè)計(jì)比較新穎的問題，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題來實(shí)現(xiàn).

分散“壓軸”已經(jīng)成為好多省、市接受并采納的高考數(shù)學(xué)命題策略，因此選擇題中的最后1～2道題往往難度較大.在這個(gè)位置的題目往往注重多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的小型綜合，滲透多種數(shù)學(xué)思想和方法.因此，考生能否在選擇題上獲得高分，對高考成績有著舉足輕重的影響.

2典例剖析

2.1直接求解策略

這是選擇題最基本、最常用的方法.但必須注意的是：（1）切忌一拿到題目，不分條件和要求，一味埋頭演算；（2）注重等價(jià)轉(zhuǎn)化，靈活運(yùn)用技巧；（3）在考試時(shí)，要優(yōu)先考慮用特殊方法求解，然后再考慮用直接法求解.

例1（江西理5題）設(shè)函數(shù)f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為（）.

A.4B.-14C.2D-12.

分析本題的關(guān)鍵是要理解函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解題.

解因?yàn)榍€y=g（x）在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，所以g′（1）=2，而f′（x）=g′（x）+2x，所以f′（1）=g′（1）+2=4，因而曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的斜率為4.故選A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生對復(fù)合函數(shù)知識(shí)的理解，考查學(xué)生的整體意識(shí)和等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí).解答本題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義.考生的難點(diǎn)是：不能靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，從而不能正確地求導(dǎo)轉(zhuǎn)化.因而，在教學(xué)中要重視對數(shù)學(xué)定義的過程教學(xué)，使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力.

例2（北京文14題）設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于k∈A，如果k-1A，那么k是A的一個(gè)“孤立元”.給定S={1，2，3，4，5，6，7，8，}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個(gè).

分析本題主要考查考生運(yùn)用集合知識(shí)解決問題的能力以及閱讀理解能力，首先應(yīng)弄清楚什么是孤立元，這是解決問題的關(guān)鍵.依題意可知，孤立元必須是沒有與k相鄰的元素，因而無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素.因此，符合題意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6個(gè).故應(yīng)填6.

點(diǎn)評(píng)這是一道關(guān)于信息遷移的創(chuàng)新型試題，意在考查集合的運(yùn)算以及對新穎題的理解能力，這類試題的難度不大，但要求考生有較強(qiáng)的閱讀理解能力和信息遷移能力等.解答本題的關(guān)鍵是對新定義的閱讀理解，并借助于集合來解題.學(xué)生解題的困惑源自于對新定義的閱讀理解不夠準(zhǔn)確.主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查考生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.

2.2逆推驗(yàn)證策略

適用于題干提供的信息較少或結(jié)論是一些具體數(shù)字的題型，可以從選擇支的特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置等入手，逐一驗(yàn)證是否與題干要求相容.但必須注意：（1）這類問題大多能用直接法得到正確答案，但求解過程比較繁瑣；（2）用逆推驗(yàn)證法解選擇題，應(yīng)與排除法相結(jié)合，值得注意的是“排除法”只能否定“錯(cuò)”，不能肯定“對”.

圖1例3（福建文5題）如圖1，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為12.則該幾何體的俯視圖可以是（）.

分析1由題意可知當(dāng)俯視圖是A時(shí)，即每個(gè)視圖是邊長為1的正方形，那么此幾何體是立方體，顯然體積是1，注意到題目體積是12.，知其是立方體的一半，可知選C.

分析2當(dāng)俯視圖是A時(shí)，正方體的體積是1；當(dāng)俯視圖是B時(shí)，該幾何體是圓柱，底面積是π4S=π×（12）2=π4，高為1，則體積是π4；當(dāng)俯視是C時(shí)，該幾何是直三棱柱，故體積是V=12×1×1=12，當(dāng)俯視圖是D時(shí)，該幾何是圓柱切割而成，其體積是V=14π×12×1=π4.故選C.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查考生幾何體三視圖的有關(guān)知識(shí)，通過將三視圖還原成空間幾何體，考查學(xué)生的幾何直觀能力，將三視圖與體積相結(jié)合，又考查考生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力和空間想象能力.

例4（安徽理7題）若不等式組x≥0，

x+3y≥4，

3x+y≤4，所表示的平面區(qū)域被直線y=kx+43分為面積相等的兩部分，則k的值是（）.

A.73B.37C.43D.34

圖2分析由條件易知平面區(qū)域?yàn)槿鐖D2所示△ABC，其中A（1，1），B（0，4），C（0，43），要使直線y=kx+43平分該區(qū)域，由平面幾何知識(shí)可以知道直線y=kx+43必為△ABC一邊上的中線且過點(diǎn)C，即當(dāng)直線經(jīng)過AB中點(diǎn)D（12，52）時(shí)，把三角形區(qū)域分成面積相等的兩部分，將四組值分別代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)A符合條件，故選A.

點(diǎn)評(píng)本題主要考查線性規(guī)劃、線段中點(diǎn)坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的意識(shí)，學(xué)生的困惑是計(jì)算比較復(fù)雜，容易出錯(cuò)，費(fèi)時(shí)且速度慢，而采用逆推驗(yàn)證法，根據(jù)題中數(shù)值的特殊性，確定代入順序，提高解題速度.

2.3特例驗(yàn)證策略

特例驗(yàn)證法適用于求不等式的解集、不等式的真假的判斷、參數(shù)的范圍、函數(shù)的解析式、數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的圖像和方程的曲線、動(dòng)點(diǎn)的軌跡、定點(diǎn)、定值與最值等問題.

例5（全國理11題）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數(shù)，則（）.

A.f（x）是偶函數(shù)B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函數(shù)

分析本題是一道與抽象函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性問題，而結(jié)論又是確定的.因而，可以取特例驗(yàn)證.為此我們?nèi)√厥夂瘮?shù)f（x）=sin2πx，則f（x±1）=sin2πx都是奇函數(shù)，故排除A，C；再取f（x）=cosπ2x，則f（x±1）=sinπ2x都是奇函數(shù)，故又可排除B，故選D.

點(diǎn)評(píng)本題是一道關(guān)于函數(shù)奇偶性的問題，主要考查函數(shù)奇偶性概念的應(yīng)用，用直接法需要有很強(qiáng)的推理運(yùn)算能力.本題考慮到函數(shù)的特殊性，采用特例驗(yàn)證法，清晰、快捷地得到正確答案.這里采用“特殊函數(shù)法”求解，運(yùn)算簡便，干凈利落，直達(dá)目標(biāo)，一氣呵成，顯得簡捷明快，清新自如，令人賞心悅目.一般情況下，若遇到陌生試題或難題，往往要用特殊函數(shù)、特殊位置、特殊值和特殊圖形來幫助解決，會(huì)起到事半功倍的奇效.

例6（四川理12題）已知函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），則f（f（52））的值是（）.

A.0B.12C.1D.52

分析本題是一道與抽象函數(shù)的函數(shù)值有關(guān)的問題.主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性，而結(jié)論都是確定的，因而，可取特例驗(yàn)證.為此我們由條件得：當(dāng)x≠0，x≠-1時(shí)，f（x+1）x+1=f（x）x，不妨設(shè)f（x）x=g（x），則g（x+1）=g（x），因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以g（x）為奇函數(shù)，也是周期為1的周期函數(shù)，故可構(gòu)造一個(gè)特例，令g（x）=sin2πx，從而f（x）=xsin2πx（x∈R）就是符合題目條件的一個(gè)函數(shù)，從而f（f（52））=f（0）=0，故選A.

點(diǎn)評(píng)若采用直接求法要先求出f（0），再求出f（12），從而求出f（52）與f（f（52）），運(yùn)算起來將非常麻煩，但由于該題是一道選擇題，故可構(gòu)造符合題目條件的一個(gè)特例，從而快速求出答案.用特例驗(yàn)證法進(jìn)行探求，是解答本類選擇題的最佳策略，近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例解答的約占30%.

2.4篩選策略

篩選法適用于定性型或不易直接求解的選擇題.

例7（福建文11題）若函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，則f（x）可以是（）.

A.f（x）=4x-1B.f（x）=（x-1）2

C.f（x）=ex-1D.f（x）=lnx-12

分析本題可分別求出四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的零點(diǎn)，再估算出函數(shù)g（x）零點(diǎn)存在的范圍，結(jié)合條件確定符合條件的選項(xiàng)，從而得出要選的結(jié)果.由題可知：f（x）=4x-1的零點(diǎn)為x=14，f（x）=（x-1）2的零點(diǎn)為x=1，f（x）=ex-1的零點(diǎn)為x=0，f（x）=lnx-12的零點(diǎn)為x=32.現(xiàn)在我們來估算g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)，因?yàn)間（0）=-1，g（12）=1，所以g（x）的零點(diǎn)x∈（0，12），又函數(shù)f（x）的零點(diǎn)與g（x）=4x+2x-2的零點(diǎn)之差的絕對值不超過0.25，利用篩選法，只有f（x）=4x-1的零點(diǎn)適合，故選A.

點(diǎn)評(píng)本題單刀直入，直接考查函數(shù)零點(diǎn)的概念以及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，已知條件簡潔明了，但題目的背景比較新穎，當(dāng)我們拿到題目時(shí)就一目了然，為考生創(chuàng)造了良好的環(huán)境，同時(shí)又給考生帶來愉快的心境.此題位居第十一小題，一改過去的在選擇題中的壓軸題的態(tài)勢，為考生正確解答后面的問題做了一個(gè)鋪墊，起到了一個(gè)承上啟下和穩(wěn)定考生情緒的作用，為考生獲取高分奠定了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)，同時(shí)也為我們以后的教學(xué)指明了方向.

2.5數(shù)形結(jié)合策略

數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，但必須注意的是要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見的代數(shù)特征，比如，（1）集合的運(yùn)算及韋恩圖；（2）常用函數(shù)及其圖像；（3）數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；（4）方程（指二元方程）及方程的曲線等.以形助數(shù)的方法有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖像；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形的方法有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)論.

例8（遼寧理12題）若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（）.

A.52B.3C.72D.4

圖3分析本題是考查兩方程根的問題，實(shí)際上方程的根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，因而將條件整理得2x+2x=5和2x+2log2（x-1）=5，可得2x-1=-x+52和log2（x-1）=-x+52，因此可以看出此題的幾何意義如圖3所示，直線y=-x+52與y=2x-1和y=log2（x-1）相交于A，B兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為x1，x2，并且由y=2x和y=log2x互為反函數(shù)易知，y=2x-1和y=log2（x-1）關(guān)于y=x-1對稱，又直線y=x-1和y=-x+52互相垂直，垂足為P，則A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x-1對稱，聯(lián)立y=x-1和y=-x+52，解得xP=x1+x22=74，故而x1+x2=72.故選C.

點(diǎn)評(píng)本解法將方程的解轉(zhuǎn)化成具有特殊關(guān)系函數(shù)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用反函數(shù)圖像性質(zhì)及圖像平移、對稱點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，把抽象的函數(shù)轉(zhuǎn)化成為直觀的形來處理，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合解題的魅力.

例9（安徽理10）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a，b，|a|=|b|=1，a·b=0，點(diǎn)Q滿足OQ=2（a+b），曲線C={P|OP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，區(qū)域Ω={P|0

A.1

C.r≤1

2.6估算策略

估算法主要適用于那些運(yùn)算起來十分繁瑣，而且也沒有必要進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算，只要經(jīng)過簡單的估算就可以得出正確答案的選擇題.

例10（安徽理6題）設(shè)a

分析本題涉及到函數(shù)圖像問題，若采用直接畫圖像的辦法來確定正確答案的話，將十分麻煩，因而我們可以采用估算的辦法來解題.實(shí)際上當(dāng)x→∞時(shí)，y→∞，排除選項(xiàng)A，B，在x

圖5例11（安徽理10題）函數(shù)f（x）=axm1-xn在區(qū)間0，1上的圖像如圖5所示，則m，n的值可能是（）.

A.m=1，n=1B.m=1，n=2

C.m=2，n=1D.m=3，n=1

分析若取n=1，則由圖可知，f（x）=xm1-x=[x（1-x）]xm-1≤14·xm-1<12，xm-1<2，由x∈[0，1]得m<1，排除A，C，D選項(xiàng).故選B.

點(diǎn)評(píng)以上兩例主要考查函數(shù)圖像及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問題和考查學(xué)生估算能力.利用估算，可以省去好多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的運(yùn)算和函數(shù)圖像的畫法.估算法應(yīng)用廣泛，它是人們發(fā)現(xiàn)、研究和解決問題的一種重要的運(yùn)算方法和手段，這種方法運(yùn)用得好壞，將直接影響到解題的速度和效率.

總之，解答選擇題既要意識(shí)到各類常規(guī)題的解題思路可以指導(dǎo)選擇題的解答，更應(yīng)充分挖掘題目的“個(gè)性”，充分利用選擇支的暗示作用，尋求簡便解法，這樣不但可以迅速、準(zhǔn)確地獲取正確答案，還可以提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省時(shí)間.值得一提的是，在很多情況下，解一道選擇題需要綜合運(yùn)用多種方法.