基于譜測度構造多元極值Copula

李泊寧，梁馮珍

(天津大學 數學系，天津 300072)

基于譜測度構造多元極值Copula

李泊寧，梁馮珍

(天津大學 數學系，天津 300072)

討論了極值Copula與有限離散譜測度之間的關系，通過低維Copula構造高維Copula；根據極值Copula與尾部相關函數之間的關系，構造高維極值Copula.

多元極值Copula；Dirac 測度；尾部相關函數

極值統(tǒng)計研究的對象是隨機現象的極端表現，或者是隨機變量取特別大或特別小的可能性.一元極值分布有標準的參數表達式，而多元極值分布并沒有統(tǒng)一的參數表達式，這給應用帶來了諸多不便.20世紀50年代末，Sklar提出了Copula函數的概念，Copula函數是用來描述變量之間的相關關系.因此，構造多元極值Copula成為構造多元極值分布的一種方法.

根據Sklar提出的理論，任意多元隨機變量的聯合分布可以用兩部分描述，一部分是邊際分布，另一部分是描述邊際分布之間的相關關系的函數——Copula函數，下面給出它的定義：

定義1 若函數C∶[0，1]d→[0,1]滿足：

醫(yī)學生要掌握醫(yī)學知識，必須從人體解剖學開始。學好人體解剖學首先要上好解剖學實驗課，而人體解剖學實驗課需要利用尸體標本進行教學指導，由此增加了教學尸體標本的消耗。近幾年，因學生數量劇增，加之尸源越來越局限，導致實驗教學存在教學標本不足狀況。為此，我們嘗試將動物器官補充到教學中，力圖提高教學質量。

(i)對任意u=(u1,u2,…,ud)∈[0,1]，若u1,u2,…,ud有一個為零，則C(u1,u2,…,ud)=0；

(ii) 對任意u=(u1,u2,…,ud)∈[0,1]，若u1,u2,…,ud中除ui外均為1，則C(1,…,1,ui,1,…,1)=ui；

(iii)對任意的u,v∈[0,1]d，u≤v有

記Ld為d維尾部相關函數的集合，相同維數的尾部相關函數的凸組合還是尾部相關函數[2]：

則稱函數C為Copula函數.

Copula刻畫了邊際分布之間的相關關系，在邊際分布已知的條件下，Copula函數與聯合分布函數F有如下一一對應關系：

引理1[1](Sklar定理) 設X=(X1,X2,…,Xd)是d維連續(xù)型隨機變量，聯合分布函數為F(x1,x2，…xd)，邊際分布函數分別為F1(x1)，F2(x2),…Fd(xd)則一定存在d維Copula函數C使得對所有的(x1,x2，…xd)∈Rd都有

F(x1，x2,…xd)=C(F1(x1),F2(x2),…Fd(xd))

(1)

反過來，若C是一個Copula函數，F1(x1),F2(x2),…Fd(xd),是分布函數，則由式(1)定義的F(x1,x2,…xd)是d聯合維分布函數，其邊緣分布分別為F1(x1),F2(x2),…Fd(xd).

CK(u1,u2,…,uk)=exp(-lK(-logu1,-logu2,…,-loguk)).

定義2[1]若Copula 滿足：對任意的(u1,u2,…，ud)∈[0,1]d,t>0 都有下式成立

設lKLK，K

極值Copula與極值分布有如下關系：

引理2[2]d維聯合分布函數F作為極值分布的充要條件是：F的一維邊緣分布都是一元極值分布，對應的Copula是極值Copula.

通過研究多元極值Copula研究多元極值分布，為極值分布的應用提供了很大的便利.1981年，Pickands應用尾部相關函數的概念，將極值Copula重新定義，通過尋找合適的尾部相關函數構造極值Copula.

引理 3[3]d維Copula是極值Copula當且僅當存在Δd-1上的有限波雷爾測度(borelmeasure)滿足H：

C(u1,u2,…,ud)=exp{-l(-logu1,-logu2,…-logud)},{u1,u2,…ud)∈(0,1]d

(2)

其中尾部相關函數l∶[0,∞)d→[0,∞)定義為

(3)

稱滿足引理3的波雷爾測度為譜測度.本文就是根據這種特殊的波雷爾測度構造極值Copula.波雷爾測度為譜測度的唯一要求是每個分量在單純形上的積分都等于1/d，即

(4)

很明顯有H(Δd-1)=1.

談起自動變速器油路故障的診斷，維修人員首先想到的往往會是閥體，也就是變速器的液壓控制模塊。很多沒有系統(tǒng)維修體系的小型修理廠遇到換擋問題會試圖通過更換閥體來解決，但是所更換的閥體又常常是二手的，并不能保證閥體的可靠性，因此維修一個變速器常需要更換多次閥體，有時問題依然會存在，且每次的癥狀會不盡相同，這樣就導致其維修時間長，成本高，而維修質量又參差不齊了。

魯迅先生的《故鄉(xiāng)》入選過多版本的中學語文教材，作為一篇傳統(tǒng)、經典篇目，教參和名師的解讀已經精彩紛呈，對文本的細讀已經小到一個標點，足以見證經典的生命力是永恒的。

尾部相關函數l具有以下性質[4]：

(i)齊次性：對任意的c∈(0,∞),l(cx1；cx2,…cxd)=cl(x1,x2,…cd);

小學生年齡小，對游戲具有天生的喜愛性，所以在教學過程中教師可以用游戲的方式刺激學生對色彩的感知。比如，教師可以設計“連一連”的游戲，將相同的玩具用不同的顏色表現出來，然后引導學生對這些進行辨識，之后將他們聯系到一起。通過這樣的教學方式，學生不僅能夠積極主動的參與到美術色彩教學中，還能夠刺激學生對色彩的認識，使學生從游戲中感受到色彩感知的樂趣。

(ii)l(ei)=1，其中ei是Rd中的第i個分量為1的單位向量；

(iv)l是凸函數.

反之，滿足性質(i)- (iv)的任意二元函數，都是尾部相關函數[7]，從而根據(2)式構造的函數就是極值Copula.但是對于三維或者更高維的函數卻沒有類似的結論，即使三維或者更高維的函數滿足性質(i)- (iv)，由其構造的函數也不一定是極值Copula，RadkoMesiar,VladimírJágr[4]詳細討論了這種情況.

近年來隨著對Copula函數的深入研究，提出了許多構造Copula的方法，下面先討論用低維極值Copula來構造高維極值Copula的方法.

1 離散譜測度

2008年，Liebscher[5]提出一種新的構造Copula的方法，根據已知n個d維Copula構造新的d維Copula.

(5)

是Copula.

(3)人防工程的管道應由墻體穿入為宜，盡量不由頂板穿入。凡進入防空地下室且其穿過圍護結構的管道，均應做防護密閉處理。

顯然，由式(5)，若C1,C2,…Cn是極值Copula，則C也是極值Copula.也就是說可以根據已知的n個d維極值Copula構造新的d維極值Copula.

定義3 給定集合X，x∈X，A∈σ(X)(σ(X)為X的生成域)，X上的測度定δx義為：

則稱δx為Dirac測度.

根據測度論的知識，有限空間上的測度都可以用Dirac測度的線性組合來表示.假設Δd-1上的譜測度只在有限個點上取值不為零，則譜測度也可以用Dirac測度的線性組合來表示.

生物可給性測定：將消化后的樣品離心處理4 000 r/min，30 min，沉淀上面的透明清液部分即為“膠束”，根據下述公式計算Nob在納米乳液中的生物可給性:

(6)

(7)

令

where xnis the hydraulic natural frequency of the EHA system.

(8)

顯然HV也是譜測度，對應的Copula 為

即

CV(u1,u2,u3,u4,u5)=CⅡ(u1,u2)·CⅢ(u3,u4,u5)

據臨床統(tǒng)計，我國乳腺腫塊發(fā)生率逐漸增加，且患者的發(fā)病年齡逐漸呈現年輕化趨勢，一定程度加重女性患者的心理負擔，影響患者身心健康，同時增加家庭以及社會負擔[2]。及早診斷患者病情，對于提高診治效果具有重要的臨床意義。

(9)

可以證明CV是極值Copula，更一般的結論如下：

定理1 設有p個維數分別為di(i=1,2,…,p)的CopulaCi∶[0,1]di→[0,1]，

lK(x1,x2，…，xK)=ld(x1,x2,……,xK,0,…,0)

(10)

是極值Copula.

在流體運動場中，選取六面體流體微元進行力學平衡分析，采用牛頓運動定律，獲得了慣性系黏性流體運動的動量方程。對于柱坐標系中，沿r軸的方程如下：

證明：根據VineCopula[6]相關知識，由Ci是Copula可知C是Copula，下證C是極值Copula.

i Mark PT-3502G酶標分析儀（美國Santa Cruz公司）；15K高速冷凍臺式離心機（美國Bio-Rad公司）。

因為對任意的實數t>0，

=Ct(u1,u2,…,ud)

所以C是極值Copula.

為了通過低維極值Copula構造高維極值Copula，首先介紹離散譜測度.

由此說明，最大Copula的乘積也是極值Copula.

2 尾部相關函數

對于依賴于有限離散點的譜測度，由低維極值Copula可以構造高維Copula，對于連續(xù)的譜測度也有類似的結論.

隨機變量的一個分布都可以視為一個特定的數學模型，都有它自己的直觀背景。例如我們熟悉的帕斯卡分布[2]（負二項分布）：就是數學家帕斯卡為了解決法國貴族De Mere提出的賭博中如何分賭注問題而引入的離散隨機變量的分布。所以我們在教學過程中注意用模型的觀點來解釋，會收到更好的效果。我們以離散型分布為例。二項分布，幾何分布，帕斯卡（Pascal）分布與超幾何分布時幾個非常常見的離散型分布，也是非常重要的分布，產生這幾個分布的直觀背景就是如下的摸球問題。

(11)

則稱Copula 為極值Copula .

由此，Sklar將多元分布函數與Copula聯系起來，下面介紹極值Copula.

經典統(tǒng)計學理論指出，對于低維分布函數，一定存在某個高維分布，使得低維分布可以作為高維分布的邊際分布.對于尾部相關函數也有類似的結論.

定理2 對任意的2≤K≤d，lK∈LK，一定存在Id∈Ld使得

他的感人事跡，鮮明體現了舍身忘我、服務人民的堅定信念，追求真理、嚴謹治學的科學精神，淡泊名利、獎掖后學的杰出品格。

(12)

證明：對于給定的K維尾部相關函數lK，根據引理3，一定存在極值CopulaCK，使得

孩子每年感冒1～3次較正常，其中90%以上可自愈。一些家長迫切希望孩子的感冒痊愈，甚至給他們用成人的感冒藥。孩子不是成人的簡單“縮影”，用藥區(qū)別不僅體現在用藥劑量不同的層面上。同樣的藥物，用在孩子和成人身上區(qū)別很大。建議為孩子選擇兒童專用感冒藥，如果孩子感冒過于頻繁，應及時就診。

CK(u1,u2,…,uK)=exp(-lK(-logu1,-logu2,…,-loguK)).

對于極值CopulaCd，由引理3，存在d維尾部相關函數ld使得

Cd(u1,u2,…,ud)=exp(-ld(-logu1,-logu2,…,-logud)).

因此

exp(-ld(-logu1,-logu2,…,-loguK,0,…,0))

令xi=-logui,i=1,2,…,K，則lK(x1,x2,…,xK)=ld(x1,x2，…，xK,0,…,0).

(13)

為d維尾部相關函數，即l∈Id.

證明：對任意的X=(x1,x2,…,xd)∈[0,∞)d,令XBi=(z1,z2，…,zd)其中

由定理2，對任意的i∈{1,2,……,p}，存在li∈Ld使得lKi(xBi1,xBi2,…,xBidi)=li(XBi)成立，

根據尾部相關函數與極值Copula一一對應的關系，有以下結論：

(14)

是極值Copula.

因此C也是極值Copula.

綜上，我們討論了構造極值Copula的兩種方法，一種是通過離散譜測度，由低維極值Copula 構造高維極值Copula；另一種是通過尾部相關函數構造高維極值Copula.

本文只研究了滿足一定條件的離散譜測度、尾部相關函數由低維構建高維的情況，其他情況還有待進一步研究.

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Construction of multivariate extreme-value Copulas based on spectral measure

LI Bo-ning, LIANG Feng-zhen

(Department of Mathematics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

In this paper, the relationship between extreme value Copula and finite discrete spectral measure was discussed. The high dimensional Copula was constructed through low ones. The high dimensional Copulas were constructed according to the relationship between the extreme copulas and tail correlation function.

multivariate extreme-value Copulas; dira measure; tail dependence measure

2014-06-19.

李泊寧(1989-)，女，碩士，研究方向：極值統(tǒng)計.

梁馮珍(1963-)， 女，博士，副教授，研究方向：極值統(tǒng)計，金融風險.

F224

A

1672-0946(2015)05-0625-04