雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下再裝期權(quán)定價模型

薛 紅，吳江增

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下再裝期權(quán)定價模型

薛 紅，吳江增

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安 710048)

在標(biāo)的資產(chǎn)服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)微分方程，借助雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動隨機(jī)分析理論，建立雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用保險精算方法，得到了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下再裝期權(quán)定價公式.

雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；再裝期權(quán)；保險精算

近幾年，由于金融市場的飛速發(fā)展，標(biāo)準(zhǔn)的期權(quán)已經(jīng)不能滿足金融市場的需要，于是各種新型期權(quán)逐漸進(jìn)入復(fù)雜的金融市場. 再裝期權(quán)就是一種新型的歐式看漲期權(quán).文獻(xiàn)[1]首次給出了布朗運(yùn)動下的再裝期權(quán)定價公式.文獻(xiàn)[2]運(yùn)用鞅方法給出了股票價格服從跳-擴(kuò)散過程的再裝期權(quán)的定價公式.文獻(xiàn)[3]運(yùn)用擬-鞅的方法給出了標(biāo)的資產(chǎn)價格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動下的再裝期權(quán)定價公式.文獻(xiàn)[4]首次提出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，指出雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動是比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的中心高斯過程. 本文在標(biāo)的資產(chǎn)價格服從雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的前提下，利用保險精算的方法導(dǎo)出了雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下再裝期權(quán)定價公式.

1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下金融市場模型

其中:H∈(0,1),K∈(0,2).

當(dāng)K=1時，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動即為參數(shù)為H∈(0,1)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動；特別地，當(dāng)K=1,H=1/2時，雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動即為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動. 關(guān)于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動相關(guān)性質(zhì)和隨機(jī)分析基本理論可見文獻(xiàn)[4].

假定金融市場中存在一種無風(fēng)險資產(chǎn)(債券)和一種風(fēng)險資產(chǎn)(股票)，其價格分別滿足方程

dMt=rMtdt,

(1)

(2)

引理1[5]隨機(jī)微分方程(2)的解為

定義2[6]價格過程{St,t≥0}在[0,t]時間段內(nèi)的期望收益率βu,u∈[0,t]定義為

引理2 {St,t≥0}在[t,T]上的期望收益率為βu=μ,u∈[0,t]

證明 由引理1知

且

則

從而可得結(jié)果.

2 再裝期權(quán)定價公式

假設(shè)在到期日T之前只考慮再裝一次情況下，則再裝期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)：在再裝日T1(0

當(dāng)T1→T時，再裝期權(quán)即為歐式看漲期權(quán).

定義3 再裝期權(quán)的保險精算價格定義為

C=E{[exp{-μT1}ST1-exp{-rT1}K]I{exp{-μT1}ST1>exp{-rT1}K}}=

+E{[exp{-μT}ST-exp{-rT}K]Iexp{-μT1}ST1exp{-rT}K}}

其中無風(fēng)險資產(chǎn)按無風(fēng)險利率r折現(xiàn)，風(fēng)險資產(chǎn)按其期望收益率β折現(xiàn).

定理1 雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下再裝期權(quán)保險精算價格

C=S0N(d2)-Kexp{-rT1}N(d1)

其中

d7=d1+ρ2σTHK,d8=d6+σTHK

證明 令

C1=E{[exp{-μT1}ST1-exp{-rT1}K]I{exp{-μT1}ST1>exp{-rT1}K}},

C3=E{[exp{-μT}ST-exp{-rT}K]Iexp{-μT1}ST1exp{-rT}K}}

1) 計算C1，由于

所以

C1=E{[exp{-μT1}ST1-exp{-rT1}K]=Iexp{-μT1}ST1>exp{-rT1}K}=

S0N(d2)-Kexp{-rT1}N(d1).

2) 計算C2，由于

則

令

則

3) 計算C3，由于

C3=E{[exp{-μT}ST-Kexp{-rT}]Iexp{-μT1}ST1exp{-rT}k}}}

令

x1=x-ρ2σTHK,z1=z-σTHK,

則

-Kexp{-rT}N(-d1,-d6,ρ2) 從而定理得證.

注1)當(dāng)K=1時，可得分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下再裝期權(quán)定價公式(見文獻(xiàn)[7])；

2)當(dāng)T1=T時，可得雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下歐式看漲期權(quán)定價公式

c=S0N(d2)-Kexp{-rT}N(d1)

其中

d2=d1+σTHK

[1] JOHNSON S A, TIAN Y S. The value and incentive effects of nontraditional executive stock option plans [J]. Journal of Financial Economics, 2000, 57: 3-34.

[2] 馮廣波, 劉再明, 候振挺. 服從跳-擴(kuò)散過程的再裝期權(quán)股票期權(quán)的定價[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報, 2003, 18(1): 91-93.

[3] 羅春玲, 王曉勤. 股票價格服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的再裝期權(quán)定價[J]. 價值工程, 2011(13): 143-144.

[4] RUSSO F, TUDOR C. On the bifractional Brownian motion [J]. Stochastic Processes and Applications, 2006, 116(5): 830-856.

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[8] 符 雙，薛 紅.分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散O-U過程下冪型期權(quán)定價[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，30(6)：758-762.

Reload option pricing model in bi-fractional Brownian motion environment

XUE Hong, WU Jiang-zeng

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Underlying asset process follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion. The financial market mathematical model is built by the stochastic analysis for bi-fractional Brownian motion. Using the actuarial approach, the pricingformula of reload option in bi-fractional Brownian motion environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; reload option; actuarial method

2015-03-10.

陜西省教育廳自然科學(xué)專項(xiàng)基金(12JK0862)

薛 紅(1964-)，男，博士，教授，研究方向：隨機(jī)分析與金融.

O211

A

1672-0946(2015)06-0765-04