一種組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及剛度分析

槐創(chuàng)鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江西南昌 330013)

一種組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及剛度分析

槐創(chuàng)鋒，陳華，劉平安，舒迎將

(華東交通大學(xué)機(jī)電學(xué)院，江西南昌 330013)

以一種新型的可實(shí)現(xiàn)3-PUU機(jī)構(gòu)和3-UPU機(jī)構(gòu)的組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)為對(duì)象，對(duì)該機(jī)構(gòu)在可實(shí)現(xiàn)兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)的情況下分別進(jìn)行機(jī)構(gòu)自由度分析、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得出機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)正逆解以及雅克比矩陣，根據(jù)所求出的雅克比矩陣進(jìn)一步對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行機(jī)構(gòu)剛度分析，并用MATLAB軟件求解剛度值，繪制出在給定的位姿時(shí)上下平臺(tái)的相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)整體剛度值的影響曲線圖，為此組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步分析提供了理論分析的依據(jù)，對(duì)組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有一定指導(dǎo)作用。

組合并聯(lián)機(jī)構(gòu);運(yùn)動(dòng)學(xué);雅可比矩陣;剛度分析

0 前言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作進(jìn)程中總會(huì)承受外力載荷，即其末端執(zhí)行器會(huì)對(duì)被作用的物體施加力或力矩的作用，如果并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度較小，就會(huì)發(fā)生較大變形，導(dǎo)致其無(wú)法進(jìn)行正常的工作，因而分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度對(duì)于機(jī)構(gòu)性能研究具有重要的理論價(jià)值和意義［1］。

至今已有不少學(xué)者對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度進(jìn)行過(guò)分析，其中韓書(shū)葵等［2］采用螺旋理論方法推導(dǎo)出了少自由度機(jī)構(gòu)剛度計(jì)算公式，分析了機(jī)構(gòu)條件數(shù)，給出了機(jī)構(gòu)最大剛度與最小剛度的計(jì)算方法，繪出了機(jī)構(gòu)最大剛度和最小剛度曲線;孟巧玲［3］采用基于新的守恒協(xié)調(diào)剛度矩陣推導(dǎo)出3-PRR平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)、6-SPS空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度映射公式，結(jié)合其工作空間對(duì)所研究的機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度特性分析;樂(lè)林林等［4］從動(dòng)平臺(tái)所受作用力和發(fā)生位移的關(guān)系角度，建立了剛度模型，并給出了機(jī)構(gòu)靜剛度的度量指標(biāo);胡波等人［5］在建立的剛度模型中考慮了約束反力對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響，能夠體現(xiàn)約束對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響?？梢钥闯?，關(guān)于機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)機(jī)構(gòu)剛度的影響還鮮有研究，本文作者從影響并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)入手，研究一種可實(shí)現(xiàn)3自由度宏觀運(yùn)動(dòng)和3自由度微動(dòng)調(diào)節(jié)的3PUPU的醫(yī)療并聯(lián)機(jī)構(gòu)［6］的剛度隨機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)變化情況。先分別對(duì)處于兩種結(jié)構(gòu)狀態(tài)時(shí)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，得出機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)正逆解，并計(jì)算出機(jī)構(gòu)的雅克比矩陣;其次，通過(guò)得出的雅克比矩陣分析機(jī)構(gòu)的整體剛度值隨上下平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化情況;最后，應(yīng)用MATLAB軟件對(duì)整體剛度值進(jìn)行運(yùn)算分析，并繪制出上下平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)整體剛度的影響曲面圖。根據(jù)影響曲面圖，得出機(jī)構(gòu)整體剛度是否受上下平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，如果有影響，可以對(duì)所設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，使之能夠獲得較高的剛度，進(jìn)而保證機(jī)構(gòu)能夠順利圓滿(mǎn)地完成每一個(gè)工作任務(wù)。

1 3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)

如圖1所示，該裝置利用3-UPU和3-PUU兩種3自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈運(yùn)動(dòng)副組成相近的特點(diǎn)，將兩種并聯(lián)機(jī)構(gòu)支鏈中的“PU”部分支鏈進(jìn)行共用，組成了一種能夠?qū)崿F(xiàn)3自由度宏觀運(yùn)動(dòng)和3自由度微動(dòng)調(diào)節(jié)的3PUPU的醫(yī)療并聯(lián)機(jī)器人。它是一種部分支鏈重合的組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過(guò)部分驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)副鎖死和放開(kāi)實(shí)現(xiàn)可用于醫(yī)療機(jī)器人的位置和姿態(tài)控制，能夠?qū)崿F(xiàn)宏觀運(yùn)動(dòng)和微動(dòng)調(diào)節(jié)兩種復(fù)合運(yùn)動(dòng)形式的場(chǎng)合。

圖1 3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)總裝配示意圖

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1 機(jī)構(gòu)作為3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)輸出

要實(shí)現(xiàn)三自由度3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出時(shí)，鎖死滑塊9、10、11，將機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化如圖2所示。其中動(dòng)靜平臺(tái)通過(guò)3條UPU支鏈連接在一起，P副作為驅(qū)動(dòng)副，U副為從動(dòng)副，而且分別與動(dòng)靜平臺(tái)相連的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線相互平行，并共同平行于動(dòng)靜平臺(tái)，P副兩端的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線也是相互平行的。在動(dòng)靜平臺(tái)上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標(biāo)系，初始位置時(shí)，Z軸和z軸均垂直于動(dòng)靜平臺(tái)，Y軸與$i1重合，y軸與$i5重合。

圖2 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

2.1.1 計(jì)算3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度

運(yùn)用螺旋理論，求出第i條分支的分支運(yùn)動(dòng)螺旋系如下:

利用分支運(yùn)動(dòng)螺旋和分支約束螺旋相逆的原理，由分支運(yùn)動(dòng)螺旋可以推導(dǎo)出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (1)可知，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的每個(gè)UPU分支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)都會(huì)施加1個(gè)平行于基座標(biāo)系Z軸方向的約束力偶，由于靜平臺(tái)基座標(biāo)系的X、Y軸分別與靜平臺(tái)相連的萬(wàn)向鉸兩個(gè)軸線平行，這個(gè)約束力偶一定會(huì)垂直于與靜平臺(tái)相連的萬(wàn)向鉸兩個(gè)軸線所在平面，而且靜平臺(tái)處相連的3個(gè)萬(wàn)向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個(gè)約束力偶也互不平行，因此，3個(gè)約束力偶將會(huì)約束動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，此3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)擁有3個(gè)移動(dòng)自由度。

2.1.2 作為3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)的位置逆解的計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解指已知輸出參數(shù)求輸入?yún)?shù)，如圖2所示，設(shè)動(dòng)靜平臺(tái)各個(gè)虎克鉸的中心點(diǎn)的連線分別為兩個(gè)相似的等邊三角形△abc和△ABC，其邊長(zhǎng)分別為d和D，且 Aa=L1，Bb=L2，Cc=L3，動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)o在靜平臺(tái)坐標(biāo)系OXYZ中的坐標(biāo)為Oo=(x y z)，可列出如下方程組:位形，兩種情況均有

2.2 機(jī)構(gòu)作為3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)輸出

如前文所述，要實(shí)現(xiàn)三自由度3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)輸出時(shí)，鎖死直線驅(qū)動(dòng)器16、17、18，滑塊1、滑塊2和滑塊3為該機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)裝置，3-PUU機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示，此時(shí)，動(dòng)靜平臺(tái)通過(guò)3條PUU支鏈連接在一起，P副作為驅(qū)動(dòng)副，U副為從動(dòng)副，而且分別與動(dòng)靜平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線對(duì)應(yīng)相互平行，并共同平行于動(dòng)靜平臺(tái)。在動(dòng)靜平臺(tái)上分別建立oxyz和OXYZ空間直角坐標(biāo)系，Y軸與$i3平行，X軸與$i2平行，且$i2與$i4平行，$i3與$i5平行。

由式 (8)可知，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在D=d時(shí)，即上下平臺(tái)為全等的等邊三角形時(shí)，處于奇異位形狀態(tài)，這時(shí)3條UPU支鏈相互平行，另外當(dāng)z=0時(shí)，此時(shí)動(dòng)靜平臺(tái)已經(jīng)相互重合為一個(gè)平面了，也是奇異

圖3 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)示意圖

2.2.1 計(jì)算3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度

運(yùn)用螺旋理論，求出第i條分支的分支運(yùn)動(dòng)螺旋系如下:

同理，利用分支運(yùn)動(dòng)螺旋和分支約束螺旋互逆的原理，由分支運(yùn)動(dòng)螺旋可以推導(dǎo)出第i條分支的分支約束螺旋系，如下:

由式 (9)可知，其是一個(gè)反螺旋力偶矢量，它表示的物理意義是3個(gè)分支同時(shí)約束了動(dòng)平臺(tái)繞著平行于 (0 0 1)的轉(zhuǎn)動(dòng)，與前面分析的3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)一致，此約束力偶方向與靜平臺(tái)上基座標(biāo)系的Z軸方向一致，而與靜平臺(tái)相連的萬(wàn)向鉸兩個(gè)軸線分別平行于靜平臺(tái)的X、Y軸，故此約束力偶方向與該萬(wàn)向鉸兩軸線所在平面垂直，而且靜平臺(tái)處相連的3個(gè)萬(wàn)向鉸軸線所在平面均不平行也不重合，故3個(gè)約束力偶也互不平行，因此，3個(gè)約束力偶必會(huì)約束動(dòng)平臺(tái)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，此3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)僅擁有3個(gè)移動(dòng)自由度。

2.2.2 作為3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)的位置逆解的計(jì)算

這里已知輸出參數(shù)x，y，z和機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，解3個(gè)一元二次方程可以比較容易的求出位置逆解 l1，l2，l3(li≥0，i=1，2，3)。

2.2.3 作為3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)的位置正解的計(jì)算

已知輸入?yún)?shù)l1，l2，l3和結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，θ，由式 (10)、(12)可以用MATLAB軟件很方便地計(jì)算出上面方程組的解x，y，z，且z必取大于零的值，x，y，z的值即為所求的3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解。

2.2.4 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣的求解

同理，將式 (10)、(12)方程組對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得雅可比矩陣:

2.2.5 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異位形的分析計(jì)算

并聯(lián)機(jī)構(gòu)均處于奇異位形，此時(shí)△abc和△DEF為全等的等邊三角形，三支鏈相互平行，或者當(dāng)z=0時(shí)，此時(shí)上下平臺(tái)會(huì)重合一部分，機(jī)構(gòu)也會(huì)處于奇異位形。

3 機(jī)構(gòu)的剛度分析

3.1 機(jī)構(gòu)作為3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)的剛度分析

C GOSSILIN在1990年提出:并聯(lián)機(jī)構(gòu)在其工作空間內(nèi)一點(diǎn)的剛度可以通過(guò)它的剛度矩陣來(lái)描述的，由此他給出了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣公式:

上述公式 (15)中的Kj為關(guān)節(jié)剛度矩陣，且為含有常量kii的對(duì)角矩陣 (i=1，2，3);J為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，這里取kii=k(i=1，2，3)，即3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的所有支鏈的剛度值為k，因此，公式 (15)可化簡(jiǎn)為如下公式:

其中k1，k2，k3依次分別為KC主對(duì)角線上的元素，雅可比矩陣J已經(jīng)求出，對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行賦值，取x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m，下面根據(jù)上述機(jī)構(gòu)參數(shù)的值應(yīng)用MATLAB軟件分析3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上下平臺(tái)邊長(zhǎng)D和d對(duì)機(jī)構(gòu)整體剛度K值的影響，如圖4、5所示。

圖4 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛度K隨D值變化曲線圖

圖5 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛 度K隨d值變化曲線圖

MATLAB繪圖結(jié)果表明:對(duì)于3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)末端動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O相對(duì)于靜平臺(tái)的位姿參數(shù)確定時(shí) (這里取一組數(shù)據(jù)值x=30 mm，y=40 mm，z=100 mm，k=20 N/m)，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度值為一個(gè)定值60 N/m，即針對(duì)3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，其整體剛度值K并不受上下平臺(tái)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)尺寸D和d值的影響，通過(guò)改變D和d是無(wú)法增大其整體的剛度值的，提升其剛度值還需從其他方面著手。

3.2 機(jī)構(gòu)作為3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)的剛度分析

同理，對(duì)3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行賦值，取已知輸出參數(shù)x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，和機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)R，r，L，l，k=20 N/m，下面根據(jù)上述機(jī)構(gòu)參數(shù)的值，應(yīng)用MATLAB軟件研究3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的上下三角形平臺(tái)外接圓半徑R和r對(duì)機(jī)構(gòu)整體剛度K值的影響。如圖6、7、8所示。

圖6 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛度K隨R和r值的變化曲線圖

圖7 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛度K隨r值變化曲線圖

圖8 3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)整體剛度K隨R值變化曲線圖

同理，根據(jù)圖6—8可以得出:對(duì)于3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)末端動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O相對(duì)于靜平臺(tái)的位姿參數(shù)確定時(shí) (這里取一組數(shù)據(jù)值k=20 N/m，L=240 mm，x=30 mm，y=40 mm，z=300 mm，l=80 mm)，3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的整體剛度值分別隨著R和r的增大逐漸增大，且當(dāng)R=r=110 mm時(shí)，K取得最大值2.161×104N/m，即對(duì)3-PUU并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)奶岣咂渖舷缕脚_(tái)半徑值，來(lái)達(dá)到增加整體剛度的目標(biāo)。

4 結(jié)論

(1)可實(shí)現(xiàn)3-PUU機(jī)構(gòu)和3-UPU機(jī)構(gòu)的組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)在兩種機(jī)構(gòu)構(gòu)型下均能實(shí)現(xiàn)3個(gè)移動(dòng)自由度，其整體剛度值與末端位姿參數(shù)相關(guān)。

(2)當(dāng)該組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于3-UPU機(jī)構(gòu)構(gòu)型時(shí)，機(jī)構(gòu)的整體剛度值不隨其上下平臺(tái)的邊長(zhǎng)的變化而變化，提升其剛度值還需從其他方面研究;當(dāng)該組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于3-PUU機(jī)構(gòu)構(gòu)型時(shí)，機(jī)構(gòu)的整體剛度值隨著上下平臺(tái)外接圓半徑R和r的增大而增大，即可以通過(guò)適當(dāng)?shù)奶岣呱舷缕脚_(tái)外接圓半徑的尺寸來(lái)提高此時(shí)機(jī)構(gòu)的整體剛度。

(3)當(dāng)機(jī)構(gòu)中滑塊9、10、11和直線驅(qū)動(dòng)器16、17、18均處于未鎖死狀態(tài)時(shí)，即機(jī)構(gòu)處于3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)時(shí)，其機(jī)構(gòu)的剛度仍有待于進(jìn)一步研究。

［1］艾青林，黃偉鋒，張洪濤，等.并聯(lián)機(jī)器人剛度與靜力學(xué)研究現(xiàn)狀與進(jìn)展.力學(xué)進(jìn)展［J］.2012，42(5):583 －592.

［2］韓書(shū)葵，方躍法，槐創(chuàng)鋒.4自由度并聯(lián)機(jī)器人剛度分析［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2006，42(增):31 －34.

［3］孟巧玲.并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度特性分析［D］.沈陽(yáng):東北大學(xué)，2008.

［4］樂(lè)林林，李開(kāi)明.3-(2SPS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)靜剛度分析［J］.現(xiàn)代設(shè)計(jì)與先進(jìn)制造技術(shù)，2010，39(13):39－43.

［5］胡波，路懿.求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度的新方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010，46(1):24 －29.

［6］槐創(chuàng)鋒，劉平安，程賢福.基于3UPU-3PUU型組合并聯(lián)機(jī)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)抑制控制［J］.機(jī)床與液壓，2013，41(9):21－24.

Kinematics and Stiffness Analysis of a Combined Parallel Mechanism

HUAIChuangfeng，CHEN Hua，LIU Pingan，SHU Yingjiang
(School of Mechatronics，East China Jiaotong University，Nanchang Jiangxi330013，China)

By taking a new realized type of combined parallel3-UPU and 3-PUUmechanism as the research object，the degree of freedom and kinematics of the combined mechanismare analyzed in the case of two realize parallelmechanism respectively，to get the forward displacement and inverse displacement analysis in kinematicsofmechanism.According to the Jacobian matrixgotten，stiffness analysis of themechanism was carried out further.Moreover，the stiffnesswas calculated by using the software ofMATLAB，under the given position，to obtain influence graphs of the overall stiffness value through related structural parameters of the up and down platform.It provides the basis of theoretical analysis for the further research of the combined mechanism，and has a certain guiding role in designing it.

Combined parallelmechanism;Kinematics;Jacobian matrix;Stiffness analysis

TP242

A

1001－3881(2015)21－008－5

10.3969/j.issn.1001 －3881.2015.21.002

2014－9－19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (51265011);江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (Gjj13347)

槐創(chuàng)鋒(1981—)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)構(gòu)學(xué)、機(jī)器人技術(shù)。E－mail:hcf811225@163.com。