衛(wèi)星導(dǎo)航弱信號的變維卡爾曼濾波跟蹤算法*

余小游，高亭亭，孫廣富，唐小妹，倪少杰

(1.湖南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410082;2.國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073)

森林、城市等惡劣環(huán)境下的衛(wèi)星導(dǎo)航信號受障礙物遮擋、多徑效應(yīng)等的影響，功率衰減嚴(yán)重，普通導(dǎo)航接收機(jī)在這種弱信號環(huán)境下極易失鎖，因此研究弱信號環(huán)境下的高性能的導(dǎo)航信號跟蹤技術(shù)更加具有實(shí)際意義［1］。

高性能跟蹤技術(shù)研究的目標(biāo)是提高跟蹤的適應(yīng)性，在低信噪比且高動態(tài)的條件下對衛(wèi)星信號載波進(jìn)行精確跟蹤［2-3］。高動態(tài)條件下信號的載波多普勒隨時間變化非常快，基于鎖相環(huán)的方法必須增大環(huán)路帶寬以保證穩(wěn)定的動態(tài)跟蹤能力［4］。然而環(huán)路帶寬越寬，引入的頻率和相位噪聲越大，環(huán)路的噪聲性能變差，在低信噪比情況下使得環(huán)路更易失鎖，導(dǎo)致其無法正常解調(diào)電文信息。弱信號環(huán)境下，傳統(tǒng)鎖相環(huán)通常采用增加預(yù)相干累加時間來增強(qiáng)環(huán)路靈敏度，然而數(shù)據(jù)位的翻轉(zhuǎn)限制了累加時間的增加，同時增加累加時間降低了接收機(jī)的動態(tài)性能［5］。

為解決上述問題，標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波(Conventional Kalman Filter，CKF)和擴(kuò)展卡爾曼濾波方法被廣泛應(yīng)用于跟蹤環(huán)路［6-10］。對于非機(jī)動載波，該方法具有較好的性能，但對于機(jī)動載波跟蹤效果較差。若接收機(jī)中采用目標(biāo)狀態(tài)變量維數(shù)較低的CKF算法則無法跟蹤具有一定動態(tài)的信號，若采用高階的CKF跟蹤環(huán)路則在目標(biāo)動態(tài)切換時易出現(xiàn)誤差突跳，且在低動態(tài)狀態(tài)下，仍采用高階CKF算法，會浪費(fèi)資源、增大數(shù)據(jù)運(yùn)算量、增加算法處理時間。目前很少有文獻(xiàn)報(bào)道數(shù)字導(dǎo)航接收機(jī)在弱信號、較高動態(tài)條件下載波動態(tài)切換對環(huán)路跟蹤性能的影響分析。機(jī)動目標(biāo)在惡劣環(huán)境下的穩(wěn)定跟蹤是弱信號接收機(jī)中需要解決的瓶頸問題。

1 變維卡爾曼濾波算法原理

卡爾曼濾波算法是根據(jù)前一時刻的狀態(tài)估計(jì)值和當(dāng)前時刻的觀測值獲得當(dāng)前時刻的濾波值，其系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程分別為

其中:X k為k時刻系統(tǒng)的狀態(tài)向量;U k-1代表系統(tǒng)k-1時刻的輸入向量;A，B分別為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、輸入關(guān)系矩陣;Z k為k時刻的觀測向量;H為系統(tǒng)狀態(tài)與觀測量之間的關(guān)系矩陣;過程噪聲矢量W、測量噪聲矢量V均為零均值的高斯白噪聲序列，其協(xié)方差矩陣分別為Q，R。

VD算法采用非機(jī)動、機(jī)動兩種模型。其基本原理是:引入機(jī)動檢測因子監(jiān)視目標(biāo)的機(jī)動情況，實(shí)時切換目標(biāo)模型達(dá)到自適應(yīng)跟蹤的效果，在整個目標(biāo)跟蹤過程中，目標(biāo)無機(jī)動時，采用低階的卡爾曼濾波，當(dāng)檢測因子檢測到機(jī)動時，增加模型中狀態(tài)變量維數(shù)，用高階的卡爾曼濾波機(jī)動模型跟蹤直至下一次判決而退回到非機(jī)動模型。此算法的關(guān)鍵是機(jī)動檢測器的設(shè)計(jì)及模型由低階向高階轉(zhuǎn)化時，濾波器的初始化問題［10］。

采用變維算法跟蹤目標(biāo)過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是機(jī)動實(shí)時檢測問題。濾波開始處于非機(jī)動模型，在每一個濾波周期內(nèi)，均可通過計(jì)算獲取輸出觀測量的新息殘差序列Γk及其協(xié)方差矩陣S k。

式中，衰減因子α滿足條件0〈α〈1，取l=(1-α)-1作為機(jī)動檢測的有效窗口長度，uk服從χ2分布且滿足

當(dāng)濾波穩(wěn)定時，uk的值主要集中在m/1-α附近，如果超出了一定范圍，就可以判定目標(biāo)發(fā)生了機(jī)動，因此機(jī)動檢測的方法為:如果滿足uk≥Th，則認(rèn)為目標(biāo)在k-l-1開始有一恒定的加速度加入，這時目標(biāo)模型應(yīng)由低階轉(zhuǎn)至高階(其中Th為m個自由度的χ2分布對應(yīng)于給定置信區(qū)間的置信度)。

狀態(tài)模型由高階機(jī)動模型退回至低階非機(jī)動模型的檢測方法是檢驗(yàn)加速度估計(jì)值是否有統(tǒng)計(jì)顯著性意義。令

2 基于變維卡爾曼濾波的載波跟蹤模型

鑒于變維卡爾曼濾波較高的機(jī)動跟蹤能力，將其引入載波跟蹤環(huán)路中改善環(huán)路在弱信號、高動態(tài)環(huán)境下的跟蹤性能。利用變維卡爾曼濾波算法進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，本地?cái)?shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)下一時刻的更新是根據(jù)變維卡爾曼的濾波輸出實(shí)時調(diào)整本振的頻率。

圖1 基于變維卡爾曼濾波器的跟蹤環(huán)路Fig.1 Tracking loop based on VD Kalman filter

卡爾曼濾波中，需要同時對載波的頻率和相位進(jìn)行估計(jì)。下面建立變維卡爾曼濾波對載波相位差、多普勒頻率及其各階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)模型。

2.1 載波跟蹤非機(jī)動模型

對于非機(jī)動模型，目標(biāo)做勻速運(yùn)動，僅需跟蹤載波的相位差和多普勒頻率，其狀態(tài)方程為

式中:T為積分時間;ωNCOk-1為本地NCO復(fù)現(xiàn)載波頻率;wθ，ww分別為過程噪聲的相位分量和頻率分量。

過程噪聲矢量的協(xié)方差矩陣為

式中，N1表示關(guān)于多普勒頻率的隨機(jī)抖動。

直接選取跟蹤環(huán)路的第k次相關(guān)積分值IP，k、QP，k作為觀測信息，則有

式中:Ak為k時刻的信號幅度值;Dk為k時刻的調(diào)制數(shù)據(jù);R(·)為擴(kuò)頻碼的自相關(guān)函數(shù);Δfk為k時刻多普勒頻移估計(jì)誤差;θe，k為k時刻相位誤差均值;vI，k和vQ，k是均值為零、單邊功率譜密度為N0的高斯白噪聲，兩者相互獨(dú)立。

穩(wěn)定跟蹤條件下，容易滿足關(guān)系式Δτk=0，Sa(πΔfk T)=1，對環(huán)路的即時支路相關(guān)積分進(jìn)行歸一化，可得簡化的系統(tǒng)的觀測方程為

其關(guān)系矩陣為

將h(X k)在預(yù)測值處展開并線性化，可得第k次觀測矩陣

2.2 載波跟蹤機(jī)動模型

對于機(jī)動模型，目標(biāo)以恒定的加速度運(yùn)動，需跟蹤載波的相位差、多普勒頻率及多普勒頻率的變化率，其狀態(tài)方程為

觀測方程與載波非機(jī)動模型相同，只是H矩陣維數(shù)不同，則載波機(jī)動模型的觀測方程為

如果濾波器是不穩(wěn)定的，則卡爾曼濾波是有偏估計(jì)，估計(jì)均方誤差也不是最小的。因此濾波器是否穩(wěn)定，是濾波器能否正常工作的前提。對于R〉0的離散系統(tǒng)，系統(tǒng)一致完全隨機(jī)可控和一致完全隨機(jī)可觀測判別條件分別如式(17)和式(18)所示。

其中，rank為矩陣求逆，n為系統(tǒng)維數(shù)。本模型實(shí)際仿真中，取T為0.01s，易驗(yàn)證知其滿足上述判別條件。由卡爾曼的濾波穩(wěn)定性判定定理4.2可知［11］，本文設(shè)計(jì)的卡爾曼濾波器是一致漸近穩(wěn)定的。

3 仿真結(jié)果與性能分析

跟蹤環(huán)路的仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。導(dǎo)航信號的動態(tài)模型初始加速度為0，10s后加速度變?yōu)?g，保持該加速度持續(xù)運(yùn)動60s后，加速度降為0，并保持恒定不變。在目標(biāo)跟蹤過程中的第8次采樣開始啟動監(jiān)測，通過兩點(diǎn)起始法確定濾波初值。

為分析和評價本文提出的算法的性能，分別對2維、3維CKF算法和變維卡爾曼濾波(Variable Dimension Kalman Filter，VDKF)算法進(jìn)行仿真，比較不同跟蹤方案的自適應(yīng)特性和收斂精度。

圖2對比了三種跟蹤算法的電文解調(diào)結(jié)果。

表1 仿真模型參數(shù)表Tab.1 The parameters of the simulation model

從圖2可知，基于VDKF的跟蹤環(huán)路I、Q支路保持較高的收斂精度持續(xù)穩(wěn)定跟蹤;2維CKF算法在載波動態(tài)突變期間的兩路相關(guān)值重疊，導(dǎo)航電文無法正常解調(diào);基于3維CKF的算法在整個過程中雖未失鎖，但在加速度作用時出現(xiàn)波動，不利于電文解調(diào)?？梢?，基于VDKF的算法更能適應(yīng)這種載波動態(tài)變化的情況。

圖2 不同跟蹤方案的電文解調(diào)結(jié)果的對比Fig.2 Comparision of the navigation data demodulation results from different tracking methods

圖3 載波相位跟蹤誤差Fig.3 Carrier phase tracking error

圖3、圖4、圖5分別給出了在載噪比、動態(tài)分別為30dBHz，3g時三種算法的載波相位、多普勒頻率及其變化率的跟蹤曲線。

圖4 多普勒頻率跟蹤誤差Fig.4 Doppler frequency tracking error

由圖3可知，2維CKF算法的載波相位跟蹤誤差在±0.08個載波周期之間而VDKF算法載波相位跟蹤精度與3維CKF算法相當(dāng)，波動在±0.05個載波周期，誤差約減小37.5%。

圖5 多普勒頻率變化率跟蹤誤差Fig.5 Doppler frequency rate tracking error

圖6 VDKF算法的多普勒頻率變化率跟蹤誤差局部放大圖Fig.6 Partial enlarged detail of the Doppler frequency rate tracking error based on VDKF algorithm

由圖4、圖5可看出，2維CKF方法無法跟蹤多普勒頻率變化率，導(dǎo)致在較大加速度階段多普勒頻率誤差高達(dá)6Hz;3維CKF算法雖可跟蹤較大加速度但在其階躍變化時出現(xiàn)劇烈的誤差突跳，引起多普勒跟蹤誤差突跳;而本文提出的VDKF算法在動態(tài)跳變處，因狀態(tài)估計(jì)誤差陣的加速度對應(yīng)項(xiàng)P(3，3)初值較大，使下一時刻的環(huán)路增益Kk+1較大，從而增大觀測值在濾波估計(jì)中的權(quán)重，進(jìn)而使其在動態(tài)突變處仍保持穩(wěn)定跟蹤，多普勒頻率及其變化率跟蹤誤差減小為0.8Hz和0.5Hz/s，相比標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼方法的頻率跟蹤誤差約降低77%。

根據(jù)圖6所示的多普勒頻率變化率的局部放大圖，可進(jìn)一步驗(yàn)證基于VDKF算法的跟蹤環(huán)路的性能。通過機(jī)動檢測因子監(jiān)視載波動態(tài)變化，加速度由低階躍變到高階處，僅在約1s的時間內(nèi)完成切換并快速收斂至新的載波動態(tài)模型。

圖7、圖8對比了不同載噪比和積分時間條件下，VDKF算法和CKF算法的濾波誤差。利用VDKF算法對弱信號的載波相位、多普勒頻率及其變化率進(jìn)行跟蹤可得到較低的估計(jì)誤差均方根(Root Mean Square，RMS)值，且濾波誤差在一定范圍內(nèi)隨積分時間的增加而降低。

圖7 不同載噪比條件下的載波相位誤差均方根值Fig.7 Phase error RMS value for different carrier noise ratio

圖8 不同載噪比條件下的多普勒頻率誤差均方根值Fig.8 Doppler frequency error RMS value for different carrier noise ratio

仿真過程中發(fā)現(xiàn)，利用VD機(jī)動算法進(jìn)行目標(biāo)跟蹤時，濾波效果與門限值的選取有很大關(guān)系，若在跟蹤的過程中自適應(yīng)地調(diào)節(jié)門限則可進(jìn)一步提高環(huán)路的跟蹤精度。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于變維卡爾曼濾波的載波跟蹤算法，并與標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法的跟蹤性能進(jìn)行了對比。仿真結(jié)果表明，在弱信號、較高動態(tài)的環(huán)境下基于變維卡爾曼濾波的跟蹤算法能迅速收斂達(dá)到穩(wěn)定跟蹤，而且解決了標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器在載波動態(tài)變化時濾波誤差突增的問題，其能夠自適應(yīng)地切換載波動態(tài)模型，其跟蹤精度和靈敏度優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波算法。

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