改進的遲延相位差多信號頻率估計應用*

余朋駿，阮懷林

(電子工程學院，安徽 合肥　230037)

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改進的遲延相位差多信號頻率估計應用*

余朋駿，阮懷林

(電子工程學院，安徽 合肥230037)

摘要：給出了一種多信號欠采樣頻率估計算法。該算法通過遲延相位差的允許誤差求出頻率大致取值區(qū)間，利用欠采樣頻譜結果求出多個信號的高精度頻率估計值，并重點解決了當不同信號因欠采樣出現(xiàn)譜峰重疊時測頻不準確的難題。仿真表明，該算法具有良好的抗噪性能，且估計精度高。

關鍵詞：欠采樣；解模糊；相位差；譜峰重疊

0引言

欠采樣頻率估計技術是當前信號處理的研究熱點，目前已有大量研究。文獻[1]提出了利用延時和非延時通道的相位差與入射信號頻率之間的關系對原信號進行頻率估計的欠采樣算法。但是該算法抗噪聲性能差，估計精度不高。文獻[2]對文獻[1]提出的算法加以改進，將遲延相位差與欠采樣頻譜結果相結合，提高了估計精度，并對多信號頻率估計的方法進行了簡要分析。但是該文獻對多信號頻率估計的分析不夠深入，并回避了當不同信號在欠采樣頻譜圖中出現(xiàn)譜峰重疊時測頻不準的情況。

本文給出一種新的遲延相位差結合快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)欠采樣測頻算法，重點分析了該算法對于多信號頻率估計的可行性，提出了譜峰重疊時測頻不準的解決方法。

1遲延相位差測頻解模糊原理

基于欠采樣延遲相位差測頻法[3]的結構如圖1所示。

圖1　延遲欠采樣接收機原理框圖Fig.1　Block diagram for delayed sub-sampling receiver

輸入信號分為2路進行欠采樣處理，其中一路不延遲，而另一路則在延遲時間τ后開始采樣，2路采樣頻率相同。此時得到的2路頻譜圖中譜峰位置相同，但是譜峰包含的相位信息卻不同，由此可求解出原信號頻率值。

信號頻率與相位差的關系可表示為

θ=θd-θu=2πfτ，

(1)

(2)

式中：θu為非延遲路徑信號的相位；θd為延遲路徑信號的相位。它們由欠采樣頻譜圖中譜峰位置km對應的頻譜實部與虛部求出：

(3)

(4)

式中：Xru(km)與Xiu(km)分別為非延遲路徑頻譜的實部和虛部；Xrd(km)與Xid(km)分別為延遲路徑的實部和虛部。

該方法計算過程與欠采樣頻率無關，僅由信號延遲前后的相位差求出原始頻率。但是，只有當相位差滿足θ=2πfτ<2π，即f<1/τ時，頻率f與θ才能一一對應，不會存在模糊。所以該方法的最大可測信號頻率為fmax=1/τ。理論上延遲時間越短，最大可測頻率就越大。但考慮到實際噪聲等因素，延遲時間越短，測量精度將越低。

2基于遲延相位差結合FFT的信號頻率參數(shù)估計

由于噪聲對頻譜的相位影響較大，該算法在低信噪比的條件下并不能得到理想的估計精度。因此可以將遲延相位差與FFT相結合對入射信號進行高精度頻率估計。

在欠采樣通道中，頻譜圖將發(fā)生頻率混疊的現(xiàn)象[4]，此時譜峰所對應頻率值為混疊頻率。

假設進入欠采樣通道的信號頻率為f，其取值范圍為[fmin,fmax]。假設經(jīng)過采樣頻率為fs的欠采樣后，頻譜圖中譜峰所對應的頻率值(即混疊頻率)為fm。則待估計頻率f與欠采樣頻率fs，混疊頻率fm的關系[5]可表示為

f=kfs+fm，

(5)

式中：k為在[(fmin-fm)/fs,(fmax-fm)/fs]范圍中的未知自然數(shù)。只有確定k值才能求得頻率估計值。

由于頻譜幅值對噪聲的敏感性比相位對噪聲的敏感性更弱[6]，混疊頻率的估計精度依然很高。因此，只需通過遲延相位差測頻法來確定待估計頻率f的大致取值區(qū)間[nfs,(n+1)fs]，從而確定k值，就可得到精度較高的頻率估計值。

該算法具體步驟如下：

(1) 信號s(t)=Aexp{j(2πft+φ)}+v(t)經(jīng)功分器分配得到2路信號。一路進入采樣頻率為fs的欠采樣通道，一路進入采樣頻率為fs，延遲時間為τ的延遲通道，得到

x1(n)=Aexp{j2πfn/fs+φ}+v(n)，

(6)

x2(n)=Aexp{j2πf(n/fs-τ)+φ}+v(n)

(7)

(2) 找到頻譜圖中的譜峰位置km，km對應的頻率值為混疊頻率fm。運用遲延相位差測頻原理，通過延遲前后譜峰對應的相位差θ求得信號頻率的大致估計值fg：

θ=2πfgτ，

(8)

(9)

(4) 令k1=n-1,k2=n,k3=n+1(若k1<0則舍棄k1)，則有

fi=kifs+fm,i=1,2,3,

(10)

將fi與fg相減，得到差值Ci：

(11)

式中：Ci中數(shù)值最小的所對應的fi即為最終頻率估計值。

在步驟(3)中，將待估計頻率的取值范圍設為[(n-1)fs,(n+2)fs]而不是[nfs,(n+1)fs]，其原因是因為在噪聲的干擾下，由遲延相位差測頻法得到的估計頻率大致值fg可能與實際值偏差較大，并非處于[kfs,(k+1)fs]的范圍，而是處于[(k-1)fs,kfs]或[(k+1)fs,(k+2)fs]的范圍里。因此需要將頻率的大致取值區(qū)間擴大為[(n-1)fs,(n+2)fs]，結合FFT混疊頻率求出原信號頻率的3個可能估計值，然后再與fg比較，最接近的即為最終估計結果。

3遲延相位差測頻多信號頻率參數(shù)估計應用

當欠采樣系統(tǒng)接收到多個不同頻率的正弦信號時，則需要同時對多個信號的頻率進行估計。本文中提到的遲延相位差測頻法可以同時對多個信號進行估計[7]。

當多個信號經(jīng)欠采樣后，由于頻譜混疊，本來頻率相差很大的2個信號可能會在頻譜圖中出現(xiàn)譜峰重疊的情況。即當2待估計頻率f1,f2滿足f1=k1fs+fm，且f2=k2fs+fm(其中fs為欠采樣頻率，fm為混疊頻率，k1,k2為不相等的2未知自然數(shù))時，在頻譜圖中僅會出現(xiàn)一個譜峰。此時對多信號的頻率估計將會更加困難。

本文以同時對2未知頻率的信號進行估計為例，分無譜峰重疊和有譜峰重疊2種情況說明遲延相位差測頻法在多信號頻率參數(shù)估計中的應用，并對同時多個信號(≥3個)發(fā)生譜峰重疊的情況進行簡單分析。

3.1頻譜圖中無譜峰重疊情況發(fā)生

當頻譜圖中沒有發(fā)生譜峰重疊時，頻譜圖中會同時出現(xiàn)2個譜峰。每個譜峰對應的頻率值即為混疊頻率fm1與fm2。

設2入射信號各為s1(t)=A1exp{j(2πf1t+φ1)}+v1(t)與s2(t)=A2exp{j(2πf2t+φ2)}+v2(t)。其中，vi(t)為隨機噪聲，Ai為幅度，φi為初始相位，fi為待估計頻率(其中i=1,2)。fi的取值范圍為[fmin,fmax]。信號經(jīng)采樣頻率為fs的欠采樣處理生成的頻譜圖中，設譜峰位置km1對應的頻率fm1為f1的混疊頻率，譜峰位置km2對應的頻率fm2為f2的混疊頻率。于是有

f1=k1fs+fm1，

(12)

f2=k2fs+fm2.

(13)

另一路經(jīng)延遲時間為τ的延遲處理后，頻譜圖中譜峰位置并未改變[8]，仍然為km1與km2，改變的僅僅是譜峰相位。因此可以根據(jù)遲延相位差測頻原理直接對信號進行頻率估計，求出2信號的大致頻率估計值。最后結合混疊頻率fm1與fm2可得出高精度的頻率估計值。所以只要多個信號欠采樣頻譜圖中的多個譜峰相隔足夠遠[9]，便可直接運用遲延相位差結合FFT的信頻率估計算法對多信號同時進行估計。

3.2頻譜圖中有譜峰重疊情況發(fā)生

當頻譜圖中發(fā)生譜峰重疊的情況時，頻譜圖中僅會出現(xiàn)一個譜峰，設譜峰位置為km3，對應的混疊頻率為fm3。于是對于待估計頻率f1,f2有

f1=k1fs+fm3，

(14)

f2=k2fs+fm3，

(15)

式中：k1,k2為不相等的2未知自然數(shù)。

若直接使用譜峰位置km3對應的相位差來進行測頻處理，仿真實驗發(fā)現(xiàn)，f1,f2的估計結果與f1,f2原始值相比有以下關系：

fg1=fg2=(f1+f2)/2.

(16)

此時估計結果同原信號頻率相比出現(xiàn)了太大偏差[10]，難以直接得到高精度還原的結果。但是，通過分析，選擇合適的延遲時間τ與采樣頻率fs，仍然可在譜峰重疊情況下求得f1,f2的值。

分析頻率估計值fg1,fg2與混疊頻率fm3的關系可知：

fg1+fg2=f1+f2=(k1fs+fm3)+(k2fs+fm3)=

(k1+k2)fs+2fm3.

(17)

由于fg1,fg2,fm3,fs均是已知或已求得的值，因此可以計算出kg=k1+k2的值：

kg=(fg1+fg2-2fm3)/fs,

(18)

k1,k2,kg為自然數(shù)，只要保證根據(jù)求得的kg可以無模糊地得到k1,k2值，就能完成頻率估計。

設f1

由待估計頻率f與欠采樣頻率fs，混疊頻率fm的關系式f=kfs+fm可知待估計頻率的范圍可由欠采樣頻率表示為：f∈[0,(kmax+1)fs]。又因為kmax不能大于2，于是該算法可順利進行多信號頻率估計的測頻范圍為[0,3fs]。因此在遲延相位差測頻時，延遲時間τ必須滿足1/τ≤3fs。

若發(fā)生譜峰重疊的信號數(shù)≥3，上述判斷方法依然適用。由于已經(jīng)將測頻范圍限定為[0,3fs]，因此頻率混疊區(qū)間只能分為[0,fs],[fs,2fs],[2fs,3fs] 3部分。顯然最多只能同時有3個信號在某一譜峰中發(fā)生重疊，則無需考慮信號數(shù)大于3的情況。此時頻率估計的求解方法更為簡單，無需過多的邏輯判斷，只要找到譜峰對應的混疊頻率fm，即可知發(fā)生譜峰重疊的3個信號頻率分別為fm3,fs+fm3,2fs+fm3。

在實際環(huán)境中，由于噪聲的干擾，當不同頻率的譜峰距離很近但又沒有發(fā)生重疊時，仍可能在頻率估計時出現(xiàn)譜峰重疊時的估計結果[11]。但譜峰重疊時的還原算法對于上述情況仍然適用。因此可以通過設置門限，當2譜峰距離小于門限時，使用譜峰重疊時的還原算法(但在沒有完全重疊時仍需求出2個混疊頻率fm1,fm2以提高估計準確度)；當2譜峰距離大于門限時，則可直接對不同信號的頻率進行估計。該門限的設置主要是由噪聲對頻譜相位的影響程度決定的，信噪比越低門限值就應越大[12]。仿真發(fā)現(xiàn)，當信噪比為-5 dB時譜峰距離小于2 MHz就易發(fā)生頻譜重疊時的估計情況。因此本文仿真實驗將譜峰距離門限設置為2 MHz。

4仿真實驗分析與誤差分析

仿真實驗1：

假定輸入信號s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)為高斯白噪聲，入射信號個數(shù)為3。設信號頻率為f1=705 MHz,f2=886 MHz,f3=1437 MHz,采樣頻率為550 MHz。對信號進行測頻范圍為[0,1 500 MHz]的遲延相位差結合FFT測頻處理(則延遲時間為τ=1/1 500=0.667 ns)。經(jīng)過500次蒙特卡羅實驗后，得到的隨信噪比增大的信號頻率估計值，如圖2a)所示；得到的隨信噪比增大的信號頻率估計值的均方根誤差如圖2b)所示。

圖2　仿真實驗一的多信號頻率估計效果Fig.2　Result of multi signal frequency　　　estimation in experiment 1

當信噪比等于-5 dB時，該仿真的頻譜圖如圖4a)所示。3個入射信號在該頻譜圖中的混疊頻率分別為155.03 MHz,336.08MHz,336.89MHz。頻譜圖中可以看到，頻率為f1的信號的譜峰距離其他兩信號的譜峰較遠，但頻率為f2,f3的兩信號譜峰相隔非常近，譜峰所包含的相位信息也因此受到干擾。僅運用未改進的遲延相位差測頻，求得3個頻率估計值分別為：678.77 MHz,1133.21 MHz,1172.54 MHz。對于信號1，可直接運用結合FFT測頻算法得到高精度的頻率估計值fg1：

155.03=705.03(MHz).

(19)

而對于信號2與信號3，由于其2譜峰距離小于門限2 MHz，則對其進行高精度測頻時更適宜采用譜峰重疊時的算法。由已知的數(shù)據(jù)得到

kg=[(1 133.21+1 172.54-336.08-336.89)/550]=3.

(20)

則又可通過kg=k2+k3算出信號2與信號3的頻率混疊區(qū)間為k2=1,k3=2。于是得到最終的頻率估計值：

fg2=1×550+336.08=886.08(MHz)，

(21)

fg3=2×550+336.89=1 436.89(MHz).

(22)

仿真估計效果曲線表明，該測頻算法在信噪比大于-5 dB后就可獲得非常準確的估計值。曲線圖中可以看到，信號2與信號3的均方根誤差曲線基本相同。這是因為該算法在譜峰重疊時，是在獲得初步估計結果后，通過數(shù)學計算與邏輯判斷來確定不同信號的混疊區(qū)間的。只要能通過遲延相位差測頻法得到不同信號的準確混疊區(qū)間，則不同信號的最終估計值的誤差僅由混疊頻率的誤差決定。兩信號混疊頻率之差非常小，僅在低信噪比條件時(-20 dB～-15 dB)會因為噪聲對譜峰幅度的干擾而使得實際測得的兩信號混疊頻率的差值增大。因此該兩信號估計誤差基本相同。而對于信號1，譜峰并沒有與其他信號的譜峰重疊，于是可以直接運用譜峰所包含的相位信息與混疊頻率進行測頻，計算過程簡單。

仿真實驗2：

假定輸入信號s(t)=exp{j(2πf1t+φ1)}+exp{j(2πf2t+φ2)}+exp{j(2πf3t+φ3)}+v(t)，v(t)為高斯白噪聲，入射信號個數(shù)為3。設信號頻率為f1=263 MHz,f2=813 MHz,f3=1 363 MHz,采樣頻率為550 MHz。對信號進行測頻范圍為[0,1 500 MHz]的遲延相位差結合FFT測頻處理(則延遲時間為τ=1/1 500=0.667 ns)。經(jīng)過500次蒙特卡羅實驗后，得到的隨信噪比增大的信號頻率估計值，如圖3a)所示；得到的隨信噪比增大的信號頻率估計值的均方根誤差如圖3b)所示。

圖3　仿真實驗2的多信號頻率估計效果Fig.3　Result of multi signal frequency estimation　　　 in experiment 2

當信噪比等于-5 dB時，該仿真的頻譜圖如圖4b)所示，圖中3個信號的譜峰完全重合，且譜峰的疊加導致譜峰的幅度明顯大于仿真實驗1頻譜圖中的譜峰幅度。由于只有1個譜峰，僅運用未改進的遲延相位差測頻，可求得3個頻率估計值均等于846.15 MHz。為準確求出3個信號的頻率估計值，可直接利用該譜峰對應的混疊頻率值263.03 MHz，求出最終的頻率估計值：

fg1=0×550+263.03=263.03 (MHz),

(21)

fg2=1×550+263.03=813.03 (MHz),

(22)

fg3=2×550+263.03=1 363.03 (MHz).

(23)

仿真表明，仿真實驗2在信噪比大于-7 dB后即可得到精度較高的頻率估計值。該估計效果明顯好于仿真實驗1的原因是,由于譜峰的重疊導致譜峰幅度的增加，從而在同等信噪比的條件下仿真實驗2能夠獲得更準確的混疊頻率。顯然從估計誤差曲線圖中可以看到，由于3個信號的混疊頻率是相同的，因此估計誤差則會完全相同。

圖4　2次仿真實驗的頻譜圖Fig.4　Frequency spectrogram of two experiments

5結束語

在欠采樣的情況下，本文利用信號延遲前后的相位差，并結合欠采樣FFT后得到的混疊頻率，實現(xiàn)了對多正弦信號的無模糊頻率估計。本文重點分析了當欠采樣FFT頻譜圖出現(xiàn)譜峰重疊時，難以直接運用遲延相位差測頻得到準確的多信號頻率估計值的情況，提出了運用邏輯判斷確定不同信號的取值區(qū)間，進而通過混疊頻率得到不同信號頻率的準確估計值的測頻算法。雖然該算法將欠采樣的測頻帶寬限制在3倍欠采樣頻率以內，但帶寬超過此范圍不多時仍有良好的估計效果。

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Application on the Improved Frequency Estimation of Multi Signal Based on Delayed Phase Difference

YU Peng-jun,RUAN Huai-lin

(Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037,China)

Abstract:A sub-sampling frequency estimation algorithm is proposed to aim at multi signals. By using the allowed error of delayed phase difference, the range of frequencies is roughly obtained. Then the high-accuracy frequency estimation values of multi signal are obtained based on the sub sampling frequency domain results. The problem that the wrong results are gained when the phenomenon of peak overlapping happens in sub-sampling spectrogram is solved. The results of simulation show that the algorithm has good anti-noise capability to get high-precision estimates.

Key words:sub-sampling；solving ambiguity；phase difference；peak overlapping

中圖分類號：TN911.72；O174.2

文獻標志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0114-06

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.019

通信地址：230037合肥市黃山路460號505教研室E-mail：cjlcdw1988@126.com

作者簡介：余朋駿(1988-)，男，四川自貢人。碩士生，研究方向為信號與信息處理。

收稿日期：2014-04-01；
修回日期：2014-05-13