步進(jìn)加速試驗中基于Gamma過程的可靠性建模方法*

徐廷學(xué),王浩偉,張鑫

(海軍航空工程學(xué)院 a. 兵器科學(xué)與技術(shù)系；b. 研究生管理大隊；山東 煙臺　264001)

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步進(jìn)加速試驗中基于Gamma過程的可靠性建模方法*

徐廷學(xué)a,王浩偉b,張鑫a

(海軍航空工程學(xué)院 a. 兵器科學(xué)與技術(shù)系；b. 研究生管理大隊；山東 煙臺264001)

摘要：某型導(dǎo)彈電連接器屬于高可靠性、長壽命產(chǎn)品，為了對其進(jìn)行可靠性評估，設(shè)計了步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗獲取性能退化數(shù)據(jù)，提出了加速應(yīng)力下基于Gamma過程的可靠性建模方法。以電連接器的接觸電阻作為性能參量，并根據(jù)實際使用環(huán)境選擇了溫度、濕度作為綜合加速應(yīng)力；利用Gamma過程對樣品退化規(guī)律進(jìn)行建模并對模型進(jìn)行了檢驗；使用廣義艾林模型描述了樣品退化率與溫度、濕度之間的關(guān)系。在以上基礎(chǔ)上建立可靠性模型，并采用極大似然法估計出模型參數(shù)，成功對該型電連接器在工作條件下可靠度值作出了預(yù)測。

關(guān)鍵詞：可靠性建模；Gamma過程；步進(jìn)應(yīng)力；廣義艾林模型

0引言

近些年，越來越多的長壽命、高可靠性產(chǎn)品出現(xiàn)在軍工、航空航天等領(lǐng)域，對這些產(chǎn)品準(zhǔn)確定壽是做好裝備預(yù)防性維修工作，提高裝備戰(zhàn)備完好率的重要前提。

廠家給出的是產(chǎn)品在標(biāo)準(zhǔn)工作或貯存條件下的壽命指標(biāo)，使用這類壽命指標(biāo)對處于不同工作條件下的產(chǎn)品進(jìn)行定壽并不合理，為此壽命試驗的方法被用于產(chǎn)品壽命預(yù)測。然而高可靠性產(chǎn)品即使在加速壽命試驗中也很難失效，傳統(tǒng)的基于失效數(shù)據(jù)的方法無法有效預(yù)測此類產(chǎn)品的壽命。但是一些高可靠性產(chǎn)品的某些性能指標(biāo)會隨著時間產(chǎn)生退化，對這些性能退化量進(jìn)行測量、分析，就可推測出產(chǎn)品的壽命信息。某型導(dǎo)彈電連接器的接觸電阻在使用過程中有變大的趨勢，當(dāng)接觸電阻退化量達(dá)到失效閾值時，可認(rèn)為電連接器發(fā)生失效。所以可通過性能退化分析的途徑研究產(chǎn)品性能退化與壽命之間的關(guān)系，通過退化數(shù)據(jù)對產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評估與壽命預(yù)測。

Gamma過程是一種隨機過程模型，具有非負(fù)、嚴(yán)格單調(diào)遞增等特性，適合對退化過程不可逆的產(chǎn)品進(jìn)行退化建模。Lawless和Crowder[1]研究了帶協(xié)變量和隨機影響的Gamma過程，利用其對金屬裂紋增長過程進(jìn)行建模。Park和Padgett[2]研究了多應(yīng)力加速情形下基于Gamma過程的退化建模方法。Tseng[3]等研究了基于Gamma過程的步進(jìn)應(yīng)力加速退化建模方法及最優(yōu)加速退化試驗設(shè)計，并利用該方法對碳膜電阻退化過程進(jìn)行了分析研究。Noortwijk[4]對Gamma過程在裝備故障診斷和健康管理中的應(yīng)用進(jìn)行了總結(jié)。孫中泉和趙建印[5]給出了Gamma過程退化失效可靠性模型及其仿真求解方法，并利用所得模型對強激光裝置所用的某型金屬化膜脈沖電容器進(jìn)行了可靠性評估。

為了評估某型導(dǎo)彈電連接器在特定工作條件下的可靠性，首先設(shè)計了溫濕度雙應(yīng)力加速退化試驗以獲取性能退化數(shù)據(jù)，然后使用Gamma模型對產(chǎn)品退化過程進(jìn)行建模，利用廣義艾林模型描述加速應(yīng)力與產(chǎn)品退化率之間的關(guān)系，最后推導(dǎo)出產(chǎn)品的可靠度模型，對該型導(dǎo)彈電連接器的可靠度值作出了預(yù)測。

1基于Gamma過程的可靠性建模

設(shè)X(t)表示樣品在時刻t的性能退化量，如果連續(xù)時間隨機過程X(t)滿足以下3條性質(zhì)，則為Gamma過程。

(1)X(0)=0，且X(t)在t=0處連續(xù)；

(2)X(t)具有獨立增量，即在任意不相交的時間段[t1,t2],[t3,t4]，增量X(t2)-X(t1)與X(t4)-X(t3)相互獨立；

(3) 對任意的τ>t，X(τ)-X(t)服從Gamma分布Ga(v(τ-t),u)。

Ga(v,u)是形狀參數(shù)為v，尺度參數(shù)為u的Gamma分布函數(shù)，其概率密度函數(shù)為

(1)

(2)

假設(shè)Gamma退化過程{X(t),t≥0}的初值為0，失效閾值l為常量，ξ表示退化量首次達(dá)到失效閾值的時間，即產(chǎn)品的偽壽命值。根據(jù)退化失效的定義，ξ=inf{t|X(t)≥l}。由于X(t)嚴(yán)格遞增，則有

P(ξ>t)=P(X(t)

(3)

因此，ξ的分布函數(shù)為

(4)

式(4)計算起來相當(dāng)復(fù)雜，在實際應(yīng)用時難以處理，通常采用BS (Birnbaum & Saunders)分布來逼近ξ的分布[6-7]

(5)

相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

(6)

2加速模型

產(chǎn)品在不同的應(yīng)力水平下，性能退化率以某種規(guī)律發(fā)生變化。加速模型正是對這種規(guī)律的數(shù)學(xué)建模，反映了產(chǎn)品性能退化率與應(yīng)力水平之間的關(guān)系。目前加速試驗中常用的加速應(yīng)力有溫度、濕度、電應(yīng)力、振動等，常用的加速模型有阿倫尼斯模型、逆冪率模型、艾林模型等。對于溫度、濕度雙應(yīng)力加速試驗，可用廣義艾林模型描述性能退化率與應(yīng)力之間的關(guān)系[8]。

(7)

式中：A,B,C為待定常數(shù)；T為溫度應(yīng)力；RH為相對濕度；E為激活能；k為玻爾茲曼常數(shù)。

如果溫度應(yīng)力和濕度應(yīng)力的交互影響不存在，則C=0。此時式(7)可簡化為

(8)

式中：a=A；b=E/k；c=B。

根據(jù)Gamma過程的性質(zhì)，形狀參數(shù)v描述應(yīng)力對產(chǎn)品性能的影響，尺度參數(shù)u描述隨機因素對產(chǎn)品性能的影響。所以一般假設(shè)形狀參數(shù)v應(yīng)該隨加速應(yīng)力變化而變化，而尺度參數(shù)u應(yīng)與加速應(yīng)力無關(guān)。然而這種分析與假設(shè)缺少相關(guān)證明，下面根據(jù)周源泉[9]推導(dǎo)失效分布函數(shù)與加速應(yīng)力之間關(guān)系的方法對Gamma過程與加速應(yīng)力之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)。

張春華[10]對周源泉的推導(dǎo)理論和方法進(jìn)行了研究，并根據(jù)Nelson假設(shè)給出了加速系數(shù)的另一種定義：

若Fi(ti),Fj(tj)分別表示產(chǎn)品在應(yīng)力Si和Sj作用下的累積失效概率，如Fi(ti)=Fj(tj)可將應(yīng)力Si相當(dāng)于應(yīng)力Sj的加速系數(shù)定義為滿足下式：

(9)

根據(jù)文獻(xiàn)[9-11]，產(chǎn)品在各加速應(yīng)力下的失效機理不變是保證Kij與可靠度無關(guān)的常數(shù)的必要條件，則恒有下式成立：

Fi(ti)=Fj(Kijti).

(10)

將式(4)代入式(10)，可得

(11)

為了保證式(11)恒成立，以下關(guān)系必須滿足

(12)

通過式(12)可得

ui=uj,Kij=vi/vj.

可知u值與加速應(yīng)力無關(guān)，v值與加速應(yīng)力有關(guān)，兩者之間的關(guān)系可用退化率函數(shù)描述。

(13)

3參數(shù)估計

Xijk為第j個樣品在第k個加速應(yīng)力下第i次的測量值，tijk為第j個樣品在第k個加速應(yīng)力下進(jìn)行第i次測量的時間點。ΔXijk=Xijk-X(i-1)jk為性能退化量的增量, Δtijk=tijk-t(i-1)jk為時間增量。根據(jù)Gamma過程的特性，可知

ΔXijk～Ga(vΔtijk,u).

(14)

由性能退化數(shù)據(jù)得到似然函數(shù)為

(15)

式中:n1,n2,n3分別為某個樣品的測量次數(shù)，某個組合應(yīng)力下的試驗樣品數(shù)，組合應(yīng)力的個數(shù)。

將式(13)代入式(15)可得似然函數(shù)為

L(a,b,c,u)=

(16)

將ΔXijk,Δtijk,Tk,RHk代入式(16)，可解得未知參數(shù)a,b,c,u的估計值，并可獲得在工作應(yīng)力水平下的v值。

4實例應(yīng)用

4.1試驗設(shè)計

某型導(dǎo)彈電連接器的失效模式主要有接觸電阻失效、機械失效和絕緣失效3種類型，其中接觸電阻失效是電連接器失效的主要原因[12-13]。在具體使用環(huán)境中，此型電連接器的壽命主要受溫度和濕度影響，溫度和濕度可促使插針表面氧化物加速生成，氧化物的堆積促使接觸電阻不斷增大最終導(dǎo)致電連接器失效，試驗中選取溫度、濕度作為綜合加速應(yīng)力。目前，應(yīng)用比較成熟的加速試驗方式有恒定應(yīng)力、步進(jìn)應(yīng)力、序進(jìn)應(yīng)力3種。綜合考慮到試驗的效率和可操作性，本試驗選用步進(jìn)應(yīng)力加速方式獲取產(chǎn)品的性能退化數(shù)據(jù)。

(1) 隨機抽取10個樣品，根據(jù)摸底試驗選擇3組綜合應(yīng)力S1(T1=75℃，RH1=75%)，S2(T2=100℃，RH2=85%)，S3(T3=125℃，RH3=95%)進(jìn)行步進(jìn)應(yīng)力加速退化試驗。S0(T0=40℃，RH0=65%)為產(chǎn)品的工作應(yīng)力水平。

(2) 首先在試驗開始前對10個樣品進(jìn)行測量得到初始退化量(y0k,t0k)，其中k=1,2,…,10，t0k=0。然后在每個加速應(yīng)力下對性能退化參數(shù)各進(jìn)行5次測量。在S1下的測量間隔為96 h；在S2下的測量間隔為48 h；在S3下的測量間隔為24 h。

(3)使用Agilent 3458a數(shù)字多用表對樣品的退化量進(jìn)行測量。根據(jù)該型電連接器的技術(shù)文件規(guī)定，確定接觸電阻的失效閾值為5 mΩ。

4.2性能退化數(shù)據(jù)分析

樣品在各個組合應(yīng)力下的性能退化數(shù)據(jù)如圖1所示。從圖中可見各樣品的退化軌跡大體呈線性變化，經(jīng)過計算可得各樣品的性能退化數(shù)據(jù)嚴(yán)格遞增，初步判斷可利用Gamma過程對性能退化數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。

圖1　樣品的性能退化數(shù)據(jù)Fig.1　Degradation data of samples

由于試驗中對樣品進(jìn)行等間隔測量，在每組應(yīng)力水平下Δti為一固定值。根據(jù)Gamma過程的特性ΔXi～Ga(vΔti,u)，對ΔXi進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗即可判斷其是否服從Gamma分布，從而確定每個樣品的退化過程是否服從Gamma過程。通過Anderson-Darling 統(tǒng)計量[14]進(jìn)行置信度為90%的假設(shè)檢驗，證明樣品的退化過程服從Gamma過程。

4.3壽命預(yù)測

(17)

樣品在S0下的可靠度曲線如圖2所示。

圖2　樣品在S0下的可靠度曲線Fig.2　Reliability curve of samples at S0

樣品壽命的期望值即為樣品的平均壽命，可根據(jù)概率密度函數(shù)式(6)求得，計算過程如式(18)：

(18)

將式(13)代入式(18)，可進(jìn)一步得到樣品的在各應(yīng)力水平下的平均壽命函數(shù)

(19)

根據(jù)式(19)可得樣品在不同溫度、濕度應(yīng)力水平下的平均壽命值，如圖3所示。

圖3　各溫度、濕度下的平均壽命值Fig.3　Mean lifetimes at different temperature　　　and humidity

5結(jié)論

基于性能退化分析的方法解決了一些高可靠性長壽命產(chǎn)品難以實現(xiàn)可靠性評估的問題，為產(chǎn)品可靠性評估與壽命預(yù)測提供了一種有效手段。對本文的研究結(jié)論歸納如下：

(1) Gamma過程適合描述嚴(yán)格單調(diào)遞增的退化過程，等間隔測量時可根據(jù)退化增量服從Gamma分布這一特點，對產(chǎn)品退化過程是否符合Gamma過程進(jìn)行假設(shè)檢驗。

(2) 溫度、濕度雙應(yīng)力試驗可更準(zhǔn)確模擬產(chǎn)品在特定工作環(huán)境下的真實退化過程；產(chǎn)品退化率與溫度、濕度之間的關(guān)系可通過廣義艾林模型進(jìn)行描述。

(3) 從圖3可知，溫度比濕度對此產(chǎn)品壽命的影響更大。由產(chǎn)品具體的使用環(huán)境條件，根據(jù)式(19)可推導(dǎo)相應(yīng)的平均壽命值。

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Reliability Modeling Method Based on Gamma Processes at Step-Stress Accelerated Tests

XU Ting-xuea，WANG Hao-weib，ZHANG Xina

(Naval Aeronautical and Astronautical University, a. Department of Ordnance Science and Technology;

b. Graduate Students’ Brigade， Shandong Yantai 264001,China)

Abstract:A certain type of missile electrical connector is a high-reliability and long-lifetime product. To assess its reliability, a step-stress accelerated degradation test is carried out to obtain accelerated degradation data and a reliability modeling method based on Gamma processes at accelerated stresses is proposed. Firstly, contact resistor is taken as performance index and temperature, humidity is chosen as accelerated stresses according to the normal use environments. Next, Gamma process is used to model the degradation path and the model is validated. Then, the generalized Eyring model is utilized to establish relationship between degrading rate and accelerated stresses. Lastly, with maximum likelihood estimation(MLE) method, the estimations of model parameters are obtained. Furthermore, the reliability values of electrical connector at normal use stress levels are successfully predicted.

Key words:reliability modeling; Gamma process; step-stress; generalized Eyring model

中圖分類號：E927；TB114.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1009-086X(2015)-01-0124-05

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.01.021

通信地址：264001山東省煙臺市二馬路188號2系E-mail：xtx-yt@163.com

作者簡介：徐廷學(xué)(1962-)，男，河南駐馬店人。教授，研究方向為裝備綜合保障工程。

基金項目：國家部委基金資助項目(40108)

收稿日期：2014-02-19；
修回日期：2014-04-04