基于干擾位置預(yù)測(cè)的穩(wěn)健波束形成方法

吳 夢(mèng) 劉宏偉 周生華 羅 濤 王 旭

（西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安710071）

引 言

自適應(yīng)波束形成［1］通過(guò)調(diào)整各陣元的加權(quán)值使方向圖的主瓣指向目標(biāo)，同時(shí)在干擾方向形成零陷，以達(dá)到抑制干擾提高目標(biāo)信號(hào)檢測(cè)性能的目的.在理想環(huán)境下傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成方法［2］可以獲得良好性能，但在高速平臺(tái)雷達(dá)的應(yīng)用中會(huì)受到一些實(shí)際因素的影響，其性能嚴(yán)重下降.對(duì)于高速平臺(tái)雷達(dá)，干擾相對(duì)陣列的入射方向可能快速變化，權(quán)值訓(xùn)練數(shù)據(jù)難以反映權(quán)值應(yīng)用時(shí)刻的干擾方向［1，3］，使得方向圖零點(diǎn)與干擾實(shí)際方向產(chǎn)生偏差，無(wú)法有效抑制干擾，導(dǎo)致陣列輸出信干噪比嚴(yán)重下降.當(dāng)輸入信噪比較高時(shí)，自適應(yīng)波束形成方法對(duì)指向誤差有很大的敏感度［4-8］，目標(biāo)信號(hào)會(huì)被當(dāng)作干擾抑制掉，進(jìn)一步加劇輸出信干噪比的損失.如何提高自適應(yīng)波束形成在高速平臺(tái)雷達(dá)應(yīng)用中對(duì)干擾方向快速變化和指向誤差的穩(wěn)健性，是一個(gè)值得研究的問題.

目前，針對(duì)指向誤差引起的目標(biāo)信號(hào)相消問題，已有一些較好的解決方法.干擾協(xié)方差矩陣重構(gòu)（Interference Covariance Matrix Reconstruction，ICMR）［9］法根據(jù)目標(biāo)方向的先驗(yàn)信息和主瓣寬度確定干擾所在角域，并在該角域?qū)臻g譜函數(shù)進(jìn)行積分以重構(gòu)干擾協(xié)方差矩陣，有效濾除了協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)分量；文獻(xiàn)［10］則通過(guò)對(duì)指向誤差的迭代估計(jì)修正了干擾所在角域，進(jìn)一步提高了ICMR算法的穩(wěn)健性.矩陣加權(quán)（Adaptive Matrix Approaches，AMA）［11］方法通過(guò)對(duì)陣列接收信號(hào)進(jìn)行矩陣加權(quán)來(lái)綜合方向圖，不但具有良好的主瓣保形能力，還能在抑制強(qiáng)干擾的同時(shí)獲得較低旁瓣；文獻(xiàn)［12］則是通過(guò)約束主瓣增益波動(dòng)范圍，提高了AMA算法對(duì)較大指向誤差的穩(wěn)健性.上述方法主要解決了目標(biāo)信號(hào)相消問題，但對(duì)方向快速變化的干擾無(wú)法有效抑制.為提高雷達(dá)對(duì)方向快速變化干擾的抑制能力，可通過(guò)加寬干擾零陷來(lái)實(shí)現(xiàn).常用的零陷加寬方法主要有協(xié)方差矩陣錐消（Covariance Matrix Taper，CMT）［13］法和導(dǎo)數(shù)約束法［14］.CMT算法是用協(xié)方差矩陣與空間擴(kuò)展矩陣的Hadamard乘積代替原始協(xié)方差矩陣求解自適應(yīng)權(quán)，無(wú)需知道干擾的方向，零陷寬度可以任意設(shè)置；導(dǎo)數(shù)約束法通過(guò)在已知的干擾方向施加導(dǎo)數(shù)約束以加寬零陷，其本質(zhì)是增加干擾鄰近方向的增益約束，屬于CMT算法的特例［15］.而在實(shí)際應(yīng)用中，若是自適應(yīng)權(quán)值更新速度相對(duì)太慢［1，3］，展寬范圍設(shè)置不當(dāng)，上述零陷加寬方法的干擾抑制性能仍會(huì)下降.為此我們可以根據(jù)干擾方位的變化規(guī)律來(lái)設(shè)置零陷，確保權(quán)值應(yīng)用期間干擾始終處于所設(shè)定的零陷范圍內(nèi).

該文以高速平臺(tái)雷達(dá)為應(yīng)用背景，提出了一種基于干擾位置預(yù)測(cè)的穩(wěn)健波束形成方法，該方法在干擾方向快速變化和指向誤差并存的情況下有效減少輸出信干噪比的損失.首先建立了干擾信號(hào)模型，定義了歸一化空間頻率并得出其隨時(shí)間的變化關(guān)系.然后利用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)干擾歸一化空間頻率及其變化率，繼而預(yù)測(cè)權(quán)值應(yīng)用時(shí)期內(nèi)干擾的歸一化空間頻率，給出零陷范圍.最后，通過(guò)矩陣加權(quán)的方式對(duì)零陷范圍進(jìn)行低增益約束以抑制干擾，同時(shí)約束主瓣區(qū)域響應(yīng)不衰減以提高波束形成對(duì)指向誤差的穩(wěn)健性.仿真實(shí)驗(yàn)表明，所提方法可以有效抑制方向快速變化的干擾信號(hào)，并對(duì)指向誤差具有較好的穩(wěn)健性，有效延長(zhǎng)了權(quán)值使用時(shí)間.

1 信號(hào)模型

考慮一個(gè)由M元各向同性陣元組成的陣列和一個(gè)窄帶干擾源，如圖1所示，o點(diǎn)為陣列的參考點(diǎn)，干擾源Q到o點(diǎn)的向量記為ro，干擾源到第i（i＝1，…，M）個(gè)陣元Ai構(gòu)成向量ri，o點(diǎn)到陣元Ai的向量為pi.

圖1 空間示意圖

從圖中可以看出ri＝ro＋pi，那么Q點(diǎn)到陣元Ai的距離與到o點(diǎn)的距離差為

式中，符號(hào)·表示兩向量的內(nèi)積.當(dāng)雷達(dá)的工作波長(zhǎng)為λ時(shí)，由距離差Δri引起的相位差可以表示為φi＝2πΔri／λ.將式（1）代入φi，并對(duì)其分子分母同除以｜ro｜有

在干擾源位于陣列遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，干擾到陣列參考點(diǎn)的距離遠(yuǎn)大于陣列孔徑，有｜ro｜?｜pi｜，那么，式（2）可以近似為

一般情況下｜pi｜與波長(zhǎng)λ是一個(gè)數(shù)量級(jí)的，那么式（3）中的第二項(xiàng)可以忽略不計(jì)，進(jìn)一步近似得到

若陣列平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度為vA，干擾源運(yùn)動(dòng)速度為vJ，此時(shí)干擾源相對(duì)于陣列平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度為v＝vJ-vA.不失一般性，假設(shè)干擾源在Q點(diǎn)的時(shí)刻為初始時(shí)刻.那么t時(shí)刻，干擾源運(yùn)動(dòng)了距離vt到Q′點(diǎn)，干擾源到陣列參考點(diǎn)的向量變?yōu)閞′o，如圖1所示，則有＝ro-vt，干擾信號(hào)到第i個(gè)陣元與到陣列參考點(diǎn)之間的相位差可以表示為

假設(shè)短時(shí)間內(nèi)干擾運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)小于干擾源到陣列的距離，即｜vt｜?｜ro｜，那么相位差式（5）可以進(jìn)一步近似為

從式（6）可以看出，該相位差由兩部分構(gòu)成，固定相位差和運(yùn)動(dòng)引起的相位差.那么干擾信號(hào)到達(dá)各陣元的相位差所組成的向量為a＝［1，ejφ2（t），…，ejφM（t）］T，可稱為干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量.

從空域?yàn)V波的角度來(lái)看，天線方向圖相當(dāng)于一個(gè)空域?yàn)V波器.為表征信號(hào)的空域特征，定義歸一化空間頻率為

由以上討論可以得出，在短時(shí)間內(nèi)干擾運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)小于干擾源到陣列距離的條件下，干擾源的歸一化空間頻率是隨時(shí)間近似線性變化的.

上述分析適用于任意結(jié)構(gòu)陣列，下面以半波間距的均勻線陣為例描述干擾的信號(hào)模型，如圖1所示，θJ0為干擾的初始方向，ro＝｜ro｜為干擾到陣列的初始距離，v為干擾相對(duì)陣列平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度v的大小，θv為運(yùn)動(dòng)速度與陣列方向的夾角.根據(jù)式（7）得到第n個(gè)采樣時(shí)刻干擾源的歸一化空間頻率，可以表示為

式中，fr為脈沖重復(fù)頻率.假設(shè)干擾源的歸一化空間頻率在L個(gè)脈沖重復(fù)周期內(nèi)服從線性變化，那么第l（l＝1，…，L）個(gè)脈沖時(shí)刻干擾源的歸一化空間頻率為uJ（l）＝uJ0-lΔuJ.

考慮雷達(dá)觀測(cè)區(qū)域內(nèi)存在K個(gè)與目標(biāo)信號(hào)不相關(guān)的干擾信號(hào)，為獲得獨(dú)立同分布的樣本，對(duì)一個(gè)脈沖重復(fù)周期內(nèi)的陣列接收信號(hào)進(jìn)行采樣.當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)，單個(gè)脈沖時(shí)刻的接收數(shù)據(jù)可以表示為

式中：a（ut）為目標(biāo)在歸一化空間頻率ut時(shí)的導(dǎo)向矢 量，表 示 為a（ut）＝［1，ej2πut，…，ej2π（M-1）ut］T；st（n）為目標(biāo)回波幅度；a（uJk）為第k個(gè)干擾在歸一化空間頻率uJk時(shí)的導(dǎo)向矢量，表示為a（uJk）＝［1，ej2πuJk，…，ej2π（M-1）uJk］T；sJk（n）為第k個(gè)干擾信號(hào)的幅度；z（n）為噪聲矢量；N為接收信號(hào)的快拍數(shù).

由于目標(biāo)信號(hào)與干擾信號(hào)、噪聲互不相關(guān)，接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可以表示為

式中：符號(hào)E［·］表示求數(shù)學(xué)期望；Rt＝E［xt（n）為目標(biāo)協(xié)方差矩陣E［｜st（n）｜2］為 目標(biāo)回波功率；RJ＋z＝E［（xJ（n）＋I(xiàn)為干擾噪聲協(xié)方差矩陣為第k個(gè)干擾的信號(hào)功率為噪聲功率.

通常自適應(yīng)方向圖的零陷比較陡峭，尤其是在陣列尺寸較大的情況下，干擾方向的輕微變化都能導(dǎo)致干擾抑制性能的大幅下降.為有效抑制方向快速變化的干擾，可以根據(jù)上述結(jié)論預(yù)測(cè)權(quán)值應(yīng)用時(shí)期干擾的歸一化空間頻率，給出對(duì)應(yīng)的零陷范圍，確保干擾始終處于方向圖的零陷內(nèi).

2 穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成方法

根據(jù)上一節(jié)分析得出，對(duì)于高速平臺(tái)雷達(dá)，干擾的歸一化空間頻率是脈間變化的.這會(huì)導(dǎo)致權(quán)值訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得方向圖零點(diǎn)與權(quán)值應(yīng)用時(shí)刻的干擾位置產(chǎn)生偏差［1］，使得干擾不能被有效抑制.同時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)權(quán)值訓(xùn)練數(shù)據(jù)包含目標(biāo)回波信號(hào)時(shí)，較小的指向誤差都會(huì)引起目標(biāo)信號(hào)相消現(xiàn)象［4-8］.針對(duì)以上問題并存的情況，下面給出一種基于干擾位置預(yù)測(cè)的穩(wěn)健波束形成方法.該方法首先利用已估計(jì)的干擾歸一化空間頻率及其變化率預(yù)測(cè)出權(quán)值應(yīng)用時(shí)刻的歸一化空間頻率，再采用矩陣加權(quán)的方式對(duì)預(yù)測(cè)的干擾區(qū)域進(jìn)行低增益約束，達(dá)到抑制干擾的目的.同時(shí)對(duì)主瓣增益和旁瓣電平進(jìn)行約束，可以防止主瓣分裂并壓低旁瓣.

利用權(quán)矩陣W＝［w1，w2，…，wQ］∈CM×Q對(duì)陣列接收信號(hào)（10）進(jìn)行加權(quán)，陣列輸出的信干噪比RSIN可以表示為

式中，符號(hào)tr（·）表示求矩陣的跡.利用性質(zhì)tr（AB）＝tr（BA），令T＝WWH，式（12）可以變?yōu)?/p>

根據(jù)最大化陣列輸出信干噪比準(zhǔn)則可以求得最優(yōu)自適應(yīng)權(quán)值，等價(jià)為如下帶約束的優(yōu)化問題：

實(shí)際中，理想的RJ＋z一般無(wú)法獲得，而是用接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣R的有限次快拍估計(jì)＝來(lái)代替.

式中，ζ為干擾區(qū)域增益的上界.

為防止指向誤差引起的主瓣分裂和抖動(dòng)，文獻(xiàn)［12］增加了對(duì)主瓣區(qū)域Ψm增益的約束為

式中：ε為主瓣增益的最大波動(dòng)范圍，定義為ε＝1-10-εdB／10，εdB為主瓣區(qū)域波動(dòng)的最大值.同時(shí)為防止旁瓣增益的抬高，對(duì)旁瓣區(qū)域Ψs增益進(jìn)行約束

式中，ξ為旁瓣區(qū)域增益的上界.

綜上所述，為提高自適應(yīng)波束形成在高速平臺(tái)雷達(dá)應(yīng)用中對(duì)指向誤差和干擾方向快速變化的穩(wěn)健性，給出如下優(yōu)化模型為

從上式可以看出，目標(biāo)函數(shù)和約束方程均是關(guān)于T的線性函數(shù)，式（18）是一個(gè)半正定規(guī)劃問題，可以應(yīng)用凸優(yōu)化工具包CVX［16］求得全局最優(yōu)解，再利用特征值分解法［12］得到最小維數(shù)的權(quán)矩陣W.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提方法的有效性.仿真條件：假設(shè)雷達(dá)天線陣列為半波間距的等距線陣，陣元數(shù)M＝20，脈沖重復(fù)頻率fr＝500Hz.空間存在三個(gè)獨(dú)立的干擾源，初始?xì)w一化空間頻率分別為｛-0.3，0.25，0.4｝，其脈間變化率分別為｛ΔuJk＝｛5.1×10-4，-3.4×10-4，-4.1×10-4｝，干噪比分別為40dB、30dB和30dB.陣列接收數(shù)據(jù)中含有目標(biāo)回波信號(hào)，目標(biāo)信號(hào)的歸一化空間頻率為ut＝0.03，期望方向?qū)?yīng)的空間頻率為0，即主瓣存在0.03的指向誤差.接收機(jī)噪聲為零均值的高斯白噪聲.將所提方法和Capon算法［2］，CMT算法［13］及ICMR算法［10］進(jìn)行比較.實(shí)驗(yàn)中，CMT算法［13］為提高算法的穩(wěn)健性將對(duì)角加載技術(shù)和零陷展寬相結(jié)合，加載量為10σ2z，零陷寬度為0.06；ICMR算法［10］的主瓣寬度為0.06；所提方法的主瓣區(qū)域?yàn)棣穖＝［-0.03，0.03］，主瓣區(qū)域增益波動(dòng)的最大值εdB＝0.5dB，旁瓣區(qū)域?yàn)棣穝＝［-0.5，-0.1］∪［0.1，0.5］，其中符號(hào)∪表示兩個(gè)區(qū)間的并集，旁瓣電平為ξ＝-30dB，權(quán)值適用時(shí)間為60個(gè)脈沖重復(fù)周期，干擾區(qū)域?yàn)棣Jk，uJk0］，干擾區(qū)域的增益不能大于ζ＝-60dB.

3.1 方向圖對(duì)比

在信噪比為10dB、快怕數(shù)為100的條件下將所提方法與另外三種算法形成的方向圖進(jìn)行比較，結(jié)果如圖2所示.圖2中旁瓣區(qū)域的豎實(shí)線表示初始脈沖時(shí)刻干擾的歸一化空間頻率，豎虛線表示第60個(gè)脈沖時(shí)刻干擾的歸一化空間頻率.從圖2可以看出：當(dāng)主瓣存在0.03（相當(dāng)于3.4°）的指向誤差時(shí)，Capon算法和CMT算法都出現(xiàn)了嚴(yán)重的目標(biāo)信號(hào)相消現(xiàn)象；ICMR算法雖在一定程度上緩解了信號(hào)相消問題，但對(duì)較大指向誤差的穩(wěn)健性較弱，主瓣響應(yīng)仍然會(huì)產(chǎn)生畸變.在干擾抑制方面，Capon算法和ICMR算法只能在干擾的初始位置處形成尖銳的零陷，CMT算法對(duì)此零陷有所展寬，但展寬范圍只在干擾初始位置的周圍，并不能包含干擾實(shí)際的變化范圍.所提方法不但能對(duì)主瓣進(jìn)行保形，還能保證干擾始終處于零陷范圍內(nèi).這正是利用了干擾歸一化空間頻率的變化性質(zhì)給出對(duì)應(yīng)的零陷范圍，從而有效應(yīng)對(duì)干擾方向的快速變化.

圖2 方向圖對(duì)比

3.2 輸出信干噪比與輸入信噪比的關(guān)系

在權(quán)值不同應(yīng)用時(shí)刻，觀察各算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化.仿真結(jié)果是在快怕數(shù)為100的條件下進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)平均所得.從圖3可以看出：初始脈沖時(shí)刻干擾的歸一化空間頻率未變化時(shí)，四種算法在低信噪比情況下的性能相當(dāng)；但隨著輸入信噪比的提高，Capon算法和CMT算法的性能逐漸下降，ICMR算法和所提方法仍能保持較好的性能.由于ICMR算法對(duì)較大指向誤差的穩(wěn)健性弱于所提方法，故隨著信噪比的增加其輸出信干噪比要低于所提方法.圖4為權(quán)值應(yīng)用的第60個(gè)脈沖時(shí)刻各算法的性能比較圖，可以看出Capon算法、CMT算法、及ICMR算法的輸出信干噪比遠(yuǎn)低于所提方法.因?yàn)榇藭r(shí)干擾的歸一化空間頻率發(fā)生變化，權(quán)值訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得方向圖零點(diǎn)與權(quán)值應(yīng)用時(shí)刻的干擾位置產(chǎn)生偏差，干擾已移出方向圖的零陷.雖然CMT算法對(duì)零陷有所展寬，但展寬范圍已不足以應(yīng)對(duì)干擾的變化.

圖3 初始脈沖時(shí)刻

圖4 第60個(gè)脈沖時(shí)刻

3.3 輸出信干噪比隨時(shí)間的性能

圖5給出了信噪比為10dB、快怕數(shù)為100的條件下各算法輸出信干噪比隨時(shí)間的變化，仿真結(jié)果由100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)平均所得.從圖中可以看出，Capon算法、CMT算法和ICMR算法對(duì)主瓣指向誤差的穩(wěn)健性較差，故在初始脈沖時(shí)刻的輸出信干噪比就低于所提方法.由于干擾的歸一化空間頻率隨時(shí)間變化，權(quán)值訓(xùn)練數(shù)據(jù)形成的零點(diǎn)位置和干擾的實(shí)際位置發(fā)生偏差，Capon算法和ICMR算法的性能隨著時(shí)間的推移急劇下降.CMT算法的輸出信干噪比雖能在較短時(shí)間內(nèi)保持平穩(wěn)，但相比所提方法的權(quán)值適用時(shí)間較短.

圖5 輸出信干噪比隨時(shí)間的變化

4 結(jié) 論

針對(duì)高速平臺(tái)雷達(dá)陣列進(jìn)行自適應(yīng)波束形成時(shí)性能下降的問題，該文給出了一種基于干擾位置預(yù)測(cè)的穩(wěn)健波束形成方法.該方法利用干擾歸一化空間頻率在短時(shí)間內(nèi)隨著近似線性變化的特性，預(yù)測(cè)出權(quán)值應(yīng)用時(shí)期的干擾區(qū)域，再通過(guò)矩陣加權(quán)的方式對(duì)干擾區(qū)域進(jìn)行低增益約束以抑制干擾，同時(shí)約束主瓣區(qū)域響應(yīng)一定以防止目標(biāo)信號(hào)輸出功率的損失.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法可以有效提高輸出信干噪比，延長(zhǎng)權(quán)值的使用時(shí)間，相比已有波束形成方法更能有效地抑制方向快速變化的干擾信號(hào)，對(duì)較大指向誤差更具穩(wěn)健性.所提方法的權(quán)值計(jì)算采用了凸規(guī)劃算法，該算法能夠獲得優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解，只是在一些雷達(dá)系統(tǒng)中該算法應(yīng)用范圍遭到限制，因此下一步一個(gè)有意義的研究問題是如何采用更高效的算法解決該文的優(yōu)化問題.

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