一類(lèi)具有垂直傳染率的SIRS模型的穩(wěn)定性分析

郭金生，劉旭峰，唐玉玲

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000)

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一類(lèi)具有垂直傳染率的SIRS模型的穩(wěn)定性分析

郭金生，劉旭峰，唐玉玲

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 張掖 734000)

摘要：討論了一類(lèi)具有垂直傳染結(jié)構(gòu)及其非線性傳染率的SIRS傳染病模型,給出了基本再生數(shù)R0,借助構(gòu)造Liapunov函數(shù)及相關(guān)理論,分析了平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性及全局漸近穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞：非線性傳染率; 局部漸近穩(wěn)定性; 全局漸近穩(wěn)定性

1預(yù)備知識(shí)

定義1[9]設(shè)n維自治微分方程

的解為x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t)),V(x(t))是t的復(fù)合函數(shù),關(guān)于t求導(dǎo)得

其中，f(x)=(f1(x1,x2,…,xn),f2(x1,x2,…,xn),…,fn(x1,x2,…,xn)),稱(chēng)V′(x)為V(X)沿著自治方程軌線的全導(dǎo)數(shù).

定義2[9]考慮自治系統(tǒng)

(1)

其中

f(x)=(f1(x1,x2,…,xn),f2(x1,x2,…,xn),…,fn(x1,x2,…,xn))τ，

則稱(chēng)V是系統(tǒng)(1)的Liapunov函數(shù).

M是系統(tǒng)(1)在E中的最大不變集,若M={x*},這里f(x*)=0,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)x*在Ω內(nèi)是全局吸引的.

引理2[10](Routh-Hurwitz判據(jù)) 考慮多項(xiàng)式方程

a0λn+a1λn-1+a2λn-2+…+an-1λ+an=0，

式中an>0,其一切根具有負(fù)實(shí)部的充要條件是下列不等式同時(shí)成立:

其中,當(dāng)i>n時(shí),ai=0.

引理3[10]若線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部,則系統(tǒng)的零解是局部漸近穩(wěn)定的.

引理4[10]若系統(tǒng)(1)的零解是局部漸近穩(wěn)定的,且其吸引域是Rn或Rn中的一個(gè)確定區(qū)域時(shí),稱(chēng)系統(tǒng)(1)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

引理 5[10]設(shè)V(x)是Rn上的正定函數(shù),有無(wú)窮大下界,V(x)沿著系統(tǒng)

(2)

軌線的全導(dǎo)數(shù)半負(fù)定,且集合{x|V′(x)=0 }不含系統(tǒng)(2)中任何正半軌線,那么系統(tǒng)(2)的零解是全局漸近穩(wěn)定的.

2模型建立

基于以上假設(shè)可得到具有非線性傳染率及垂直傳染結(jié)構(gòu)的SIRS模型:

(3)

設(shè)t時(shí)刻的人口總數(shù)為N(t)=S(t)+I(t)+R(t),其中S(t),I(t),R(t)分別為時(shí)刻易感者類(lèi),染病者類(lèi)和恢復(fù)者類(lèi)的人口數(shù)量.

則由系統(tǒng)(3)把3個(gè)方程相加知

由上式可知當(dāng)疾病不存在時(shí),u=0 (即無(wú)因病死亡率),此時(shí)則有

計(jì)算此微分方程可得

N(t)→A(t→+∞) ，

因此系統(tǒng)(3)的正向不變集為

T={(S,I,R)|S,I,R≥0,S+I+R≤A}.

記基本再生數(shù)

R0即為在假設(shè)發(fā)病初期人人均為易感者情況下,在平均染病期內(nèi)一個(gè)病人傳染的易感者類(lèi)人數(shù),其中1/(u+d+γ-dp)表示平均患病期.

3平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

P(S,I,R)=0,Q(S,I,R)=0,W(S,I,R)=0,

則當(dāng)R0>1時(shí)有

定理1當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(3)有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)P0=(S0,I0,R0),其中

S0=A,I0=0,R0=0,

當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)既有無(wú)病平衡點(diǎn)P0,又有地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,R*),其中

且I*是方程

f(I)=dA-dS+εR-(u+d+γ)I=0

在(0，A)上的唯一正解.

證明在系統(tǒng)(3)中令

P(S,I,R)=0,Q(S,I,R)=0,W(S,I,R)=0,I=0,

則有

S0=A,I0=0,R0=0，

故系統(tǒng)(3)在正向不變集T上有唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)

P0(S0,I0,R0)=(A,0,0).

若僅令

f(I*)=dA-dS*+εR*-(u+d+γ)I*=0，

則在(0，A)上,當(dāng)R0>1時(shí)

f(0)=dA-dS*=d(A-S*)>0，

又

即f(I)關(guān)于I是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù),則I*是方程f(I)在(0,A)上的唯一正解.

故系統(tǒng)(3)在正向不變集T上有唯一的地方病平衡點(diǎn)

定理2當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0=(S0，I0，R0)是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí),系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)P*(S*，I*，R*)是局部漸近穩(wěn)定的.

證明系統(tǒng)(3)的雅克比行列式為

那么系統(tǒng)(3)在P0=(S0，I0，R0)點(diǎn)的特征方程為

即

則有特征根

即R0≤1時(shí)特征方程的所有特征根均為負(fù)值,則系統(tǒng)(3)在P0=(S0，I0，R0)點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0>1時(shí),假設(shè)系統(tǒng)(3)在點(diǎn)P*(S*,I*,R*)處的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3=0，

通過(guò)化簡(jiǎn)可知

a1=m+2d+ε+n0-n,

a2=(m+d+n0-n)(d+ε)+d(n0-n)+mn0+dpm，

a3=(mn0+dn0-dn)(d+ε)+dpm(d+ε)+mεγ，

其中

即有

顯然有a1，a2，a3>0.

由假設(shè)d>γ或ε>γ知

a1a2-a3=(m+2d+ε+n0-n)(m+d+n0-n)(d+ε)+(m+d+n0-n)(dn0-dn+mn0)+

dpm(m+d+n0-n)-mεγ>0.

則由Routh-Hurwitz條件知系統(tǒng)(3)在點(diǎn)P*(S*,I*,R*)是局部漸近穩(wěn)定的.

定理3當(dāng)R0≤1時(shí),系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P0=(S0，I0，R0)是全局漸近穩(wěn)定的;當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn)P*(S*,I*,R*)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明當(dāng)R0≤1時(shí),構(gòu)造Liapunov函數(shù)

V(t)=I(t)，

那么在P0=(A,0,0)點(diǎn),V(t)沿著系統(tǒng)(3)軌線的導(dǎo)數(shù)為

顯然

那么系統(tǒng)(3)在E中的最大不變集為

M={I=0} .

考慮自治系統(tǒng)

由于

則f(0)=0,那么平衡點(diǎn)P0=(S0,I0,R0)在開(kāi)集Ω?T內(nèi)是全局吸引的.

結(jié)合P0=(S0,I0,R0)點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性,則系統(tǒng)(3)當(dāng)R0≤1時(shí)在P0點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

當(dāng)R0>1時(shí),結(jié)合文獻(xiàn)[3]中SIRS模型的V函數(shù)定義方法可定義

那么對(duì)所有的(S*,I*,R*)≠(S,I,R)均有V(S,I,R)>0.

又因?yàn)?/p>

那么對(duì)所有的(S*,I*,R*)≠(S,I,R)均有V′(S,I,R)<0,則系統(tǒng)(3)在P*(S*,I*,R*)點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

4小結(jié)

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[10] 馬知恩,周義倉(cāng).常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

Stability Analysis of a Kind of SIRS Model with Vertical Transmission Rate

Guo Jinsheng, Liu Xufeng, Tang Yuling

(School of Mathematics and Statistics, Hexi University, Zhangye 734000，China)

Abstract：In the report, a kind of SIRS epidemic model with vertical transmission and nonlinear incidence rate was discussed, and the basic reproduction numberR0was proposed, based on the construction of Liapunov function and related theory, the local and global asymptotic stability of the equilibrium point was analyzed.

Keywords：nonlinear incidence rate; local asymptotic stability; global asymptotic stability

中圖分類(lèi)號(hào)：O 175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2015.0020

文章編號(hào)：1004-1729(2015)02-0109-06

收稿日期：------------------------ 2014-11-28基金項(xiàng)目： 河西學(xué)院青年基金 (QN2014-12)

作者簡(jiǎn)介：郭金生(1979-)，男，甘肅靜寧人，碩士，講師.通信作者： 唐玉玲(1980-)，女，甘肅民勤人，碩士，講師，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)，E-mail：tyl0316@163.com