卡爾曼濾波在精密機(jī)床裝配過(guò)程誤差狀態(tài)估計(jì)中的應(yīng)用

周強(qiáng),劉志剛,洪軍,郭俊康,劉鵬

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710054, 西安)

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卡爾曼濾波在精密機(jī)床裝配過(guò)程誤差狀態(tài)估計(jì)中的應(yīng)用

周強(qiáng),劉志剛,洪軍,郭俊康,劉鵬

(西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710054, 西安)

針對(duì)精密機(jī)床裝配偏差控制問(wèn)題,在借鑒多工位裝配中薄壁件裝配偏差控制方法的基礎(chǔ)上,建立了精密機(jī)床裝配過(guò)程中偏差傳遞的狀態(tài)空間模型,并提出了一種利用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)裝配誤差進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)的新方法。首先,根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)建立基準(zhǔn)傳遞鏈,將零件關(guān)鍵特征在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中位姿誤差定義為狀態(tài)變量,引入狀態(tài)空間方程描述裝配過(guò)程中的偏差傳遞,實(shí)現(xiàn)對(duì)裝配工藝過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)。然后,基于狀態(tài)空間模型,將當(dāng)前裝入零件加工誤差作為系統(tǒng)輸入誤差,以當(dāng)前裝配步的測(cè)量結(jié)果為觀測(cè)值,通過(guò)卡爾曼濾波計(jì)算裝配誤差最優(yōu)估計(jì)值以及相應(yīng)協(xié)方差矩陣,實(shí)現(xiàn)裝配過(guò)程中裝配誤差的估計(jì)。最后,應(yīng)用該方法對(duì)精密坐標(biāo)鏜床裝配過(guò)程進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果表明:與傳統(tǒng)公差分析計(jì)算方差相比,經(jīng)過(guò)卡爾曼濾波計(jì)算得到最終裝配狀態(tài)估計(jì)誤差的方差減小了63%,說(shuō)明該方法用于評(píng)價(jià)裝配過(guò)程中偏差累積是有效的,能為優(yōu)化裝配工藝和機(jī)床裝配調(diào)整工藝提供有效指導(dǎo)。

卡爾曼濾波;機(jī)床裝配;偏差傳遞;狀態(tài)空間方程

為滿足航空、汽車、輪船、能源等工業(yè)部門的高速發(fā)展,現(xiàn)代機(jī)床的加工精度已經(jīng)顯著提高。影響機(jī)床加工精度的因素主要包括:機(jī)床零部件在制造和裝配時(shí)造成的空間誤差、切削力引起的變形誤差、熱源引起的熱變形誤差、進(jìn)給系統(tǒng)間隙與磨損造成的伺服跟隨誤差、數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)算法誤差等[1]。與其他誤差源相比,機(jī)床空間幾何誤差對(duì)加工精度的影響最大。精密機(jī)床空間幾何誤差主要是運(yùn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)誤差和運(yùn)動(dòng)軸之間相對(duì)角度誤差共同作用的結(jié)果。運(yùn)動(dòng)軸之間的角度誤差是由于零件關(guān)鍵特征偏差在裝配過(guò)程中傳遞和累積的結(jié)果。若能掌握裝配過(guò)程中偏差傳遞規(guī)律,就能定量描述零部件精度對(duì)于整機(jī)精度的影響,實(shí)現(xiàn)對(duì)整機(jī)精度的預(yù)測(cè)與控制,從而有效指導(dǎo)裝配過(guò)程調(diào)整工藝的實(shí)施。

近年來(lái),很多學(xué)者對(duì)多工位裝配中偏差傳遞、誤差溯源及偏差控制等方面進(jìn)行了詳細(xì)的研究。文獻(xiàn)[2]首次提出將機(jī)械裝配分為兩類:第1類是指產(chǎn)品裝配精度由零件配合特征精度決定,如精密機(jī)床等機(jī)械設(shè)備的裝配;第2類是指零部件的位置精度不以零件配合特征來(lái)定位,而是通過(guò)夾具定位來(lái)控制裝配過(guò)程,并可在線調(diào)整改變偏差傳遞過(guò)程,例如飛機(jī)機(jī)身、汽車白車身等薄壁件的裝配。文獻(xiàn)[3]建立白車身裝配過(guò)程中的狀態(tài)空間模型,描述了夾具偏差與零件偏差對(duì)裝配精度的影響。文獻(xiàn)[4]對(duì)剛性零件裝配的3類偏差源進(jìn)行表達(dá),并建立裝機(jī)偏差傳遞及功能表達(dá)的裝配偏差有向圖模型。文獻(xiàn)[5]以零件特征面為基本元素,研究零件偏差模型,建立第1類整機(jī)裝配過(guò)程狀態(tài)空間模型,但未對(duì)整機(jī)精度預(yù)測(cè)和偏差溯源進(jìn)行深入研究。

本文針對(duì)精密機(jī)床裝配過(guò)程偏差傳遞問(wèn)題,在借鑒多工位裝配中建模方法的基礎(chǔ)上,建立了精密機(jī)床裝配過(guò)程中偏差傳遞的狀態(tài)空間模型,并提出一種利用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)裝配幾何誤差狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)預(yù)測(cè)的新方法。首先對(duì)機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行了分析和建模,分析零件偏差表達(dá)方法,然后建立機(jī)床裝配過(guò)程中裝配偏差流狀態(tài)空間模型。運(yùn)用卡爾曼濾波方法對(duì)裝配過(guò)程中幾何誤差狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),獲取當(dāng)前狀態(tài)下的裝配精度。最后,以精密坐標(biāo)鏜床為實(shí)例,建立描述機(jī)床裝配過(guò)程中關(guān)鍵幾何特征變動(dòng),特征測(cè)量的狀態(tài)空間模型?；谠撃Ｐ?對(duì)裝配過(guò)程進(jìn)行分析與計(jì)算,結(jié)果表明,卡爾曼濾波最優(yōu)預(yù)測(cè)能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)裝配偏差狀態(tài),可為評(píng)估機(jī)床裝配工藝能力、優(yōu)化裝配工藝奠定基礎(chǔ)。

1 機(jī)床裝配過(guò)程狀態(tài)空間建模

1.1 空間幾何誤差的形成

機(jī)床的支撐部件、進(jìn)給系統(tǒng)、主軸系統(tǒng)、控制系統(tǒng)等在裝配過(guò)程中裝配成整體,達(dá)到最終的幾何精度要求。機(jī)床常被看作是由床身、立柱、滑座、主軸、工作臺(tái)組成的多體系統(tǒng),因此可以采用多體系統(tǒng)理論進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[6]基于多體系統(tǒng)理論和齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,提出一種針對(duì)數(shù)控機(jī)床幾何誤差建模、辨識(shí)、補(bǔ)償?shù)木C合方法。文獻(xiàn)[7]根據(jù)機(jī)床誤差之間的因果關(guān)系將機(jī)床誤差分為幾何誤差、運(yùn)動(dòng)誤差、空間誤差,后一層次的誤差產(chǎn)生源于前一層次的誤差,其中幾何誤差又分為導(dǎo)軌幾何形狀誤差和配合幾何誤差導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)軸之間相對(duì)位置誤差。3種誤差的相互關(guān)系如圖1所示。

圖1 幾何誤差、運(yùn)動(dòng)誤差、空間誤差的關(guān)系

空間誤差是描述機(jī)床運(yùn)動(dòng)空間內(nèi)刀具點(diǎn)與工件之間的位置與方位的總偏差?？臻g誤差是由單軸運(yùn)動(dòng)誤差與運(yùn)動(dòng)軸之間的幾何位置誤差共同作用的結(jié)果。其中,機(jī)床單軸運(yùn)動(dòng)誤差主要受導(dǎo)軌制造精度的影響,并且可以通過(guò)裝配完成后數(shù)控系統(tǒng)進(jìn)行補(bǔ)償。運(yùn)動(dòng)軸之間的配合幾何誤差主要是由機(jī)床零部件配合特征面的加工誤差以及裝配過(guò)程中偏差累積誤差引起的。運(yùn)動(dòng)軸之間相對(duì)位置誤差在整機(jī)裝配完成后形成固定系統(tǒng)誤差,影響機(jī)床精度性能的提升。因此,有必要研究機(jī)床裝配過(guò)程中偏差傳遞規(guī)律,建立裝配過(guò)程偏差傳遞的數(shù)學(xué)模型,預(yù)測(cè)并控制裝配偏差,從而提高機(jī)床裝配精度。

1.2 機(jī)床裝配過(guò)程狀態(tài)空間方程

在精密機(jī)床裝配過(guò)程中,零部件關(guān)鍵配合特征偏差以及裝配過(guò)程中的偏差傳遞與累積影響機(jī)床整機(jī)精度的提高。因此,本文首先將零件偏差進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá);其次引入狀態(tài)空間模型,將機(jī)床的關(guān)鍵幾何特征誤差狀態(tài)作為狀態(tài)變量,以實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)作為觀測(cè)量,定量描述零部件精度對(duì)機(jī)床整機(jī)精度的影響,實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)床裝配過(guò)程中偏差積累的數(shù)學(xué)建模。

1.2.1 零部件偏差的描述 機(jī)床裝配誤差模型是:基于零件特征描述零件之間配合特征相對(duì)位置、方位等裝配的約束關(guān)系。零部件是機(jī)床裝配中的基本單元,為描述機(jī)床裝配過(guò)程中的偏差傳遞規(guī)律,首先需要對(duì)零件特征的偏差進(jìn)行表達(dá)。如圖2所示,o0-x0y0z0為零件坐標(biāo)系,o1-x1y1z1為零件理想特征坐標(biāo)系,o2-x2y2z2為實(shí)際特征坐標(biāo)系。特征坐標(biāo)系位于關(guān)鍵幾何特征中心處,表征關(guān)鍵特征的位置與方位。

圖2 零件關(guān)鍵特征加工偏差

由于加工制造誤差,實(shí)際加工的特征面表面與理想特征面存在位置與方位誤差。Δx、Δy、Δz表示實(shí)際特征坐標(biāo)系與理想坐標(biāo)系之間位置誤差,Δθx、Δθy、Δθz表示實(shí)際特征坐標(biāo)系相對(duì)于理想坐標(biāo)系的方位誤差。根據(jù)新一代GPS標(biāo)準(zhǔn),對(duì)實(shí)際幾何特征表面進(jìn)行測(cè)量,對(duì)特征表面進(jìn)行數(shù)據(jù)提取、分離、擬合得到實(shí)際特征表面。根據(jù)設(shè)計(jì)公差要求、理想特征面可以確定實(shí)際特征面的偏差值大小。因此,零件實(shí)際特征面的偏差可以表示為

(1)

1.2.2 狀態(tài)空間方程 建立精密機(jī)床裝配過(guò)程中狀態(tài)空間方程,關(guān)鍵在于確定狀態(tài)變量以及狀態(tài)方程和輸出方程中的系數(shù)。首先定義狀態(tài)變量X(k)表示第k個(gè)零件裝配完成后,基準(zhǔn)信息鏈中配合特征坐標(biāo)系的位置和方位相對(duì)于理想位置和方位的偏差[8]

(2)

式中:dk為微分平移矢量;δk為微分旋轉(zhuǎn)矢量。

假設(shè)X(k+1)定義為描述第k個(gè)零件裝配后特征面相對(duì)于基準(zhǔn)信息鏈中基礎(chǔ)坐標(biāo)系的總累積偏差,w(k)表示裝入的第k個(gè)零件在零件坐標(biāo)系中的偏差,那么第k個(gè)零件裝配過(guò)程的狀態(tài)方程可表達(dá)為

(3)

式中:Φ(k)為單位矩陣;F(k)為將零件偏差從零件坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。機(jī)床裝配過(guò)程如圖3所示。

圖3 機(jī)床裝配過(guò)程狀態(tài)空間模型

式(3)實(shí)現(xiàn)了將三維空間中的偏差傳遞等價(jià)于基準(zhǔn)信息傳遞鏈中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中的誤差傳遞。借鑒機(jī)器人領(lǐng)域精度預(yù)測(cè)的方法[2],利用齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換表達(dá)零件坐標(biāo)系之間相對(duì)位置關(guān)系,通過(guò)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換來(lái)預(yù)測(cè)單個(gè)零件偏差對(duì)整機(jī)最終位置和方位的影響。因此,第k個(gè)零件裝配完成后相對(duì)于基礎(chǔ)坐標(biāo)系的微分平移矢量dk和微分旋轉(zhuǎn)矢量δk可以寫(xiě)成

(4)

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[9-10],將式(4)、式(5)展開(kāi)為

(6)

從式(6)可以看出,裝入第k個(gè)零件后,第k個(gè)零件的偏差與k-1狀態(tài)下累積偏差共同引起的總累積偏差、平移和旋轉(zhuǎn)誤差影響最終的裝配位置誤差,而最終的位姿誤差只與旋轉(zhuǎn)誤差相關(guān)。本文重點(diǎn)關(guān)注關(guān)鍵特征的相對(duì)位姿誤差對(duì)于最終裝配精度的影響,只考慮角度偏差,簡(jiǎn)化式(6),可以得到

(7)

對(duì)比式(3)和式(6),可以得到狀態(tài)方程中的參數(shù)Φ(k)、F(k),機(jī)床裝配過(guò)程的狀態(tài)變量簡(jiǎn)化為

裝配過(guò)程需要了解關(guān)鍵幾何特征誤差狀態(tài),判斷是否滿足設(shè)計(jì)裝配精度要求,指導(dǎo)后續(xù)的裝配工藝的實(shí)施。因此,定義Z(k)為裝配體幾何特征中的關(guān)鍵特征的測(cè)量量,則裝配過(guò)程中的觀測(cè)方程為

(8)

式中:H(k)為r×3元素為0或1的觀測(cè)矩陣,定義為零件上關(guān)注的幾何特征;Z(k)為輸出矢量;v(k)為測(cè)量過(guò)程中的測(cè)量白噪聲。

根據(jù)上面的討論,將考慮零件偏差及測(cè)量工藝的機(jī)床裝配過(guò)程視為線性離散事件過(guò)程,系統(tǒng)的狀態(tài)定義為誤差狀態(tài)變量,其狀態(tài)空間方程為

(9)

在機(jī)床裝配過(guò)程中,狀態(tài)空間模型為描述零件或者子裝配體裝入到多工位裝配過(guò)程中旋轉(zhuǎn)角度累積誤差的產(chǎn)生、傳遞提供了可能。相比于傳統(tǒng)幾何誤差模型,狀態(tài)空間模型中考慮了測(cè)量環(huán)節(jié),因此具有更高的精度。

2 卡爾曼濾波誤差狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)

在實(shí)際裝配中,由于機(jī)床結(jié)構(gòu)和測(cè)量方法的限制,有些關(guān)鍵特征幾何誤差不能直接獲得,需要通過(guò)測(cè)量工具對(duì)其他相關(guān)特征進(jìn)行測(cè)量,根據(jù)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)來(lái)確定裝配誤差狀態(tài)。因此,引入現(xiàn)代控制工程中廣泛應(yīng)用的卡爾曼濾波方法,解決裝配過(guò)程中的裝配誤差狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題。

假設(shè)機(jī)床裝配過(guò)程的幾何誤差狀態(tài)服從均值為0、協(xié)方差矩陣已知的高斯分布。w(k)是第k個(gè)零件帶入裝配中的偏差,定義為零件上兩個(gè)關(guān)鍵特征的相對(duì)角度誤差。將零件誤差視為設(shè)計(jì)與制造過(guò)程滿足設(shè)計(jì)公差要求的統(tǒng)計(jì)分布,因此零件偏差定義均值為0、方差為設(shè)計(jì)公差Qk的隨機(jī)變量序列,滿足

(10)

式中:Qk為非負(fù)正定矩陣,表征零件的設(shè)計(jì)公差要求;δkj為克羅尼克函數(shù)。

假設(shè)ν(k)為測(cè)量過(guò)程中的測(cè)量噪聲,當(dāng)滿足期望為0、方差取決于測(cè)量裝置與測(cè)量方法的精度,并且零件加工誤差和測(cè)量噪聲相互獨(dú)立時(shí),滿足

(11)

式中:Rk為正定矩陣,表征測(cè)量方法的不確定度。

卡爾曼濾波理論上主要包括濾波問(wèn)題、預(yù)測(cè)問(wèn)題和平滑問(wèn)題。本文應(yīng)用卡爾曼濾波預(yù)測(cè)方法,推導(dǎo)預(yù)測(cè)遞推方程如下[11]

(12)

卡爾曼濾波的優(yōu)勢(shì)在于能夠根據(jù)最新測(cè)量值修正前裝配步的偏差估計(jì)值,能夠?qū)崟r(shí)更新系統(tǒng)的狀態(tài),其遞推過(guò)程如圖4所示。

圖4 卡爾曼濾波遞推公式

在機(jī)床裝配過(guò)程中,最優(yōu)濾波模型能夠估計(jì)幾何特征角度誤差的大小,通過(guò)當(dāng)前裝配步中觀測(cè)值與上一步裝配中最優(yōu)估計(jì)量比較,對(duì)當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行修正并能對(duì)實(shí)際的偏差狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)。從濾波方程中可以得出P(k+1/k+1)只與Rk、Qk相關(guān),而與測(cè)量量的大小無(wú)關(guān)。因此,為提高最優(yōu)估計(jì)精度,可以減小裝配零件幾何誤差的不確定度或減小測(cè)量工藝的不確定度。在實(shí)際裝配中可提高零件設(shè)計(jì)公差或采用精度更高的測(cè)量工具。

根據(jù)精密機(jī)床裝配過(guò)程的狀態(tài)空間方程,將當(dāng)前零件加工誤差作為系統(tǒng)輸入誤差,以當(dāng)前裝配步的測(cè)量結(jié)果為觀測(cè)值,通過(guò)卡爾曼濾波線性遞推公式,能夠預(yù)測(cè)出當(dāng)前裝配誤差最優(yōu)預(yù)測(cè)值,并計(jì)算出相應(yīng)協(xié)方差矩陣,實(shí)現(xiàn)對(duì)裝配過(guò)程裝配角度誤差的估計(jì),為裝配工藝評(píng)估、裝配偏差控制提供依據(jù)。

3 實(shí)例分析

以某型號(hào)精密坐標(biāo)鏜床為例,按照本文所述建模方法,對(duì)機(jī)床床身(A)、立柱(B)、滑座(C)、主軸箱(D)、工作臺(tái)(E)等5個(gè)零部件機(jī)床裝配過(guò)程進(jìn)行建模,運(yùn)用本文提出的狀態(tài)空間方程方法和誤差狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)對(duì)裝配誤差進(jìn)行分析。圖5所示為坐標(biāo)鏜床結(jié)構(gòu)及基準(zhǔn)傳遞鏈。

(a)精密坐標(biāo)鏜床結(jié)構(gòu)

(b)基準(zhǔn)傳遞鏈圖5 坐標(biāo)鏜床基準(zhǔn)傳遞鏈

由前文分析可知,精密坐標(biāo)鏜床的幾何精度主要受關(guān)鍵幾何特征之間的相對(duì)角度誤差影響。因此,選取機(jī)床工作臺(tái)面、Z軸與床身安裝面、床身立柱結(jié)合面、X軸與立柱安裝面、Y軸與滑座安裝面、主軸箱基準(zhǔn)面等6個(gè)關(guān)鍵幾何特征面作為研究對(duì)象,研究裝配過(guò)程特征面之間的角度誤差的累積與傳遞過(guò)程。在空間坐標(biāo)系中,關(guān)鍵特征面又分別繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn),且繞3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)自由度相互獨(dú)立互不影響,因此X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)偏差累積過(guò)程相互獨(dú)立。為簡(jiǎn)化建模過(guò)程,以下只考慮特征面繞X軸旋轉(zhuǎn),即只計(jì)算YZ平面內(nèi)的偏差傳遞過(guò)程。

3.1 偏差傳遞建模

在機(jī)床裝配過(guò)程中輸入幾何誤差為零件上關(guān)鍵特征之間的角度誤差,這個(gè)誤差主要由加工過(guò)程產(chǎn)生,因此輸入誤差的標(biāo)準(zhǔn)差可以通過(guò)設(shè)計(jì)公差給定?；A(chǔ)部件的設(shè)計(jì)公差由表1給出。

表1 基礎(chǔ)大件關(guān)鍵特征面設(shè)計(jì)公差

將床身與立柱之間的結(jié)合面作為基礎(chǔ)坐標(biāo)系,根據(jù)式(6),整機(jī)裝配完成后,在YZ平面內(nèi)最終誤差狀態(tài)方程可表示為

(13)

第k+1步裝配誤差狀態(tài)由第k步裝配誤差狀態(tài)與第k步輸入的零件誤差共同決定,因此整機(jī)裝配過(guò)程中的狀態(tài)空間方程可改為

(14)

對(duì)于精密坐標(biāo)鏜床基準(zhǔn)傳遞鏈,坐標(biāo)系間理想轉(zhuǎn)換沒(méi)有角度變化,因此根據(jù)式(9),可確定卡爾曼濾波方程中的各項(xiàng)系數(shù)矩陣為

A(k+1,k)=I

根據(jù)精密坐標(biāo)鏜床實(shí)際裝配過(guò)程中的裝配工藝,確定基礎(chǔ)部件的裝配順序、輸入誤差的協(xié)方差矩陣,以及裝配步中關(guān)鍵幾何特征對(duì)之間的平行度或者垂直度誤差的測(cè)量工藝,詳細(xì)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

觀測(cè)矩陣H(k)為1×5的行向量,用于表征所測(cè)量的特征面誤差的變化。測(cè)量不確定度表示用某種測(cè)量?jī)x器對(duì)觀測(cè)特征測(cè)量值的不準(zhǔn)確程度,下節(jié)以測(cè)量床身裝配過(guò)程為例說(shuō)明不確定度的評(píng)價(jià)過(guò)程。

表2 機(jī)床裝配過(guò)程的裝配工藝數(shù)據(jù)

注:σA、σB、σC、σD、σE分別為機(jī)床基礎(chǔ)大件床身、立柱、滑座、主軸箱、工作臺(tái)的特征面角度偏差的標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2 測(cè)量工藝不確定度評(píng)定

床身裝配過(guò)程中主要關(guān)注床身立柱結(jié)合面與Z軸安裝平面的平行度誤差。首先調(diào)整床身水平,使用電子水平儀先測(cè)量其中一個(gè)面,然后以這個(gè)測(cè)量面為基準(zhǔn)測(cè)量另一平面,獲得測(cè)量數(shù)據(jù)。采用常用的最小二乘法對(duì)兩平面的平行度誤差進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)平面度最小二乘擬合的規(guī)則,要求每個(gè)提取點(diǎn)到理想平面距離的平方和最小。因此,假定最小二乘平面為z=ax+by+c,a、b、c為估計(jì)參數(shù)。假設(shè)取樣點(diǎn)中位于最小二乘擬合平面兩側(cè)最大偏離點(diǎn)為(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2),因此平行度最小二乘法評(píng)價(jià)模型為

在兩平面的平行度測(cè)量過(guò)程中不確定來(lái)源主要有:水平儀重復(fù)性測(cè)量引起的不確定度分量以及水平儀示值誤差引入的不確定度分量。確定測(cè)量重復(fù)性不確定度是通過(guò)在測(cè)量范圍取點(diǎn)進(jìn)行重復(fù)性試驗(yàn),每點(diǎn)重復(fù)測(cè)量10次,根據(jù)貝賽爾法確定各點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差,取其中最大值作為水平儀重復(fù)性測(cè)量引起的不確定度。水平儀的示值誤差為±1.2 μm,服從均勻分布,u2=1.2/31/2=0.693 μm。

根據(jù)不確定度模型確定的傳遞系數(shù)、單點(diǎn)測(cè)量不確定度以及合成不確定計(jì)算公式,可以得到電子水平儀測(cè)量床身平行度的不確定度uc≈1 μm。

3.3 計(jì)算結(jié)果

根據(jù)表2中初始條件以及式(11)進(jìn)行計(jì)算分析,得到裝配過(guò)程中關(guān)鍵幾何特征在各個(gè)裝配步中的狀態(tài)誤差值以及估計(jì)誤差的方差。

傳統(tǒng)公差分析方法計(jì)算的結(jié)果如圖6所示,其中p1、p2、p3、p4、p5是預(yù)測(cè)誤差協(xié)方差矩陣P(k)的對(duì)角元素。通過(guò)與傳統(tǒng)公差分析方法得到的結(jié)果對(duì)比可以看出,由卡爾曼濾波最優(yōu)估計(jì)方法計(jì)算的估計(jì)誤差顯著減小,說(shuō)明本方法用于評(píng)價(jià)裝配過(guò)程中偏差累積是有效的,并能夠?yàn)楹罄m(xù)優(yōu)化裝配工藝和機(jī)床裝配調(diào)整工藝提供有效指導(dǎo)。

圖6 傳統(tǒng)公差分析方法

圖7 卡爾曼濾波最優(yōu)估計(jì)

本實(shí)例中應(yīng)用狀態(tài)空間方程對(duì)某型號(hào)精密坐標(biāo)鏜床裝配過(guò)程進(jìn)行了建模,運(yùn)用卡爾曼濾波對(duì)裝配偏差狀態(tài)進(jìn)行了最優(yōu)預(yù)測(cè)。該方法構(gòu)建了機(jī)床裝配過(guò)程的裝配工藝與測(cè)量工藝的數(shù)學(xué)模型,為預(yù)測(cè)最終裝配精度、評(píng)價(jià)裝配工藝以及裝配階段的調(diào)整工藝奠定了理論基礎(chǔ)。

4 總 結(jié)

(1)根據(jù)機(jī)床基準(zhǔn)信息鏈,以機(jī)床裝配過(guò)程裝配偏差為狀態(tài)變量,建立考慮零件偏差與測(cè)量工藝的裝配過(guò)程狀態(tài)空間模型,將裝配過(guò)程轉(zhuǎn)化為線性離散系統(tǒng)進(jìn)行研究。

(2)利用卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)空間模型中幾何誤差狀態(tài)進(jìn)行最優(yōu)預(yù)測(cè),與傳統(tǒng)公差計(jì)算方法相比精度更高,更具實(shí)際應(yīng)用意義,同時(shí)考慮裝配順序、測(cè)量工藝的最優(yōu)估計(jì)算法,為機(jī)床設(shè)計(jì)人員提供了一種工藝規(guī)劃的新評(píng)價(jià)方法。

(3)通過(guò)坐標(biāo)鏜床裝配過(guò)程的實(shí)例仿真分析,及與傳統(tǒng)公差分析的結(jié)果對(duì)比,驗(yàn)證了基于卡爾曼濾波的精密機(jī)床裝配精度預(yù)測(cè)方法的有效性。

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(編輯 杜秀杰)

Kalman Filter with Applications to Assembly Accuracy State Estimation for Precision Machine Tool

ZHOU Qiang,LIU Zhigang,HONG Jun,GUO Junkang,LIU Peng

(State Key Laboratory for Manufacturing Systems Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710054, China)

In terms of variation control strategy for sheet components assembly, a state space model (SSM) of variation propagation for precision machine tools in assembly process is established and a new method for optimally estimating assembling error by Kalman filter is proposed. Datum flow chain (DFC) of the machine is set up according to the machine topology, and the position and orientation error of key character of the part in DFC is defined as state variable. The SSM is introduced to describe the variation propagation and accumulation of assembly process to acquire the mathematical expression. The optimal estimation and corresponding covariance matrix of assembly error can be calculated by Kalman filter method, which synthesizes the measuring results of current assembly step. The suggested approach is applied to the assembly process in a precision machining center. The results show that the variances of estimation errors at final assembly step are reduced significantly by 63% using Kalman filter method compared with ones from the traditional tolerance analysis.

Kalman filter; machine tool assembly; variation propagation; state space model

2015-05-18。

周強(qiáng)(1990—),男,碩士生;劉志剛(通信作者),男,教授。

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012AA040701)。

時(shí)間:2015-09-13

10.7652/xjtuxb201512016

TH161

A

0253-987X(2015)12-0097-07

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150913.1827.010.html