一種機(jī)械系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)方法

權(quán)雙璐,劉杰,韓羅峰,何安琦,李兵

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 710049, 西安)

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一種機(jī)械系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)方法

權(quán)雙璐,劉杰,韓羅峰,何安琦,李兵

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 710049, 西安)

針對(duì)含剛度非線性連續(xù)體系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)問(wèn)題,提出了一種基于瞬時(shí)頻率峰值檢測(cè)的機(jī)械系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)方法。該方法首先根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分別建立含間隙、立方剛度等5種機(jī)械系統(tǒng)常見(jiàn)的剛度非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型;通過(guò)研究各模型自由衰減振動(dòng)瞬時(shí)頻率分布特點(diǎn),建立不同非線性模型瞬時(shí)頻率曲線庫(kù);結(jié)合圖形匹配算法,匹配被測(cè)系統(tǒng)實(shí)測(cè)瞬時(shí)頻率與曲線庫(kù)曲線,以匹配結(jié)果作為辨識(shí)指標(biāo),實(shí)現(xiàn)非線性類別辨識(shí)。將基于瞬時(shí)頻率檢測(cè)的非線性類別辨識(shí)方法應(yīng)用于含間隙非線性懸臂梁系統(tǒng),仿真分析與實(shí)驗(yàn)計(jì)算表明:被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率曲線與間隙非線性曲線庫(kù)匹配較好,匹配值明顯小于與其他非線性曲線庫(kù)匹配結(jié)果,驗(yàn)證了該非線性類別辨識(shí)方法的有效性。

機(jī)械系統(tǒng);非線性類別;瞬時(shí)頻率;圖形匹配算法

在對(duì)非線性機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析時(shí),系統(tǒng)特性描述是最重要也是最困難的工作,主要包括非線性作用位置定位和非線性類別描述兩大問(wèn)題[1]。精確的系統(tǒng)特性描述對(duì)系統(tǒng)模型的建立及非線性參數(shù)的辨識(shí)至關(guān)重要,一旦系統(tǒng)特性描述不準(zhǔn)確將直接導(dǎo)致參數(shù)辨識(shí)失敗[2]。然而,在機(jī)械系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)方面,由于導(dǎo)致非線性振動(dòng)產(chǎn)生的因素眾多,如幾何因素,慣性作用、阻尼、邊界條件等,使得非線性類別辨識(shí)充滿挑戰(zhàn)[3]。文獻(xiàn)[4]通過(guò)波特圖及奈奎斯特圖區(qū)分了阻尼非線性與剛度非線性;文獻(xiàn)[5]利用伏爾加特級(jí)數(shù)實(shí)現(xiàn)了多項(xiàng)式非線性類別辨識(shí);文獻(xiàn)[6]用恢復(fù)力曲線圖(RFS)直觀地區(qū)分了機(jī)械系統(tǒng)中常見(jiàn)的幾種單自由度非線性;文獻(xiàn)[2]利用頻譜分析辨識(shí)了含立方剛度與平方剛度非線性懸臂板系統(tǒng);文獻(xiàn)[7]建立了非線性頻域恢復(fù)力曲線庫(kù),實(shí)現(xiàn)了單自由度和多自由度系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)。雖然上述研究均取得了令人矚目的成果,但對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)故障分析中常見(jiàn)的含剛度非線性連續(xù)體系統(tǒng),由于不同剛度非線性振動(dòng)響應(yīng)間無(wú)明顯差別,加之連續(xù)體系統(tǒng)各單元間運(yùn)動(dòng)相互影響,使得其剛度非線性類別辨識(shí)更加困難,很少有人在這方面進(jìn)行研究[4],目前還沒(méi)有一種方法能有效地解決上述問(wèn)題[8]。

本文針對(duì)含剛度非線性連續(xù)體系統(tǒng),利用被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布特點(diǎn),提出了一種基于瞬時(shí)頻率峰值檢測(cè)的系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)方法。該方法首先根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立含不同剛度非線性的系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型,仿真求解各模型自由衰減振動(dòng)響應(yīng)及其瞬時(shí)頻率分布曲線;通過(guò)研究不同非線性模型瞬時(shí)頻率分布特點(diǎn),建立各模型瞬時(shí)頻率曲線庫(kù);結(jié)合圖形匹配算法,匹配被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率與曲線庫(kù)曲線,以匹配結(jié)果作為辨識(shí)指標(biāo),最終實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)剛度非線性類別辨識(shí)。與傳統(tǒng)的非線性類別辨識(shí)方法相比,本文方法可有效應(yīng)用于連續(xù)體系統(tǒng)非線性類別辨識(shí),并經(jīng)仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 剛度非線性系統(tǒng)

在機(jī)械系統(tǒng)故障診斷中,由于剛度非線性引起的機(jī)械故障頻發(fā),常常受到人們關(guān)注[9]。本文以剛度非線性系統(tǒng)為主要研究對(duì)象,表1列出了幾種常見(jiàn)的剛度非線性系統(tǒng)及其恢復(fù)力曲線。

根據(jù)牛頓第二定律,上述剛度非線性系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中:u(t)為系統(tǒng)響應(yīng);M、C分別為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣;F(u)為系統(tǒng)非線性恢復(fù)力。

當(dāng)F(u)=Ku(t)時(shí),系統(tǒng)為線性系統(tǒng)(K為系統(tǒng)剛度),系統(tǒng)固有頻率與振動(dòng)幅值無(wú)關(guān)

(2)

當(dāng)F(u)≠Ku(t)時(shí),系統(tǒng)呈非線性振動(dòng)。系統(tǒng)振動(dòng)頻率不再固定不變,而是由系統(tǒng)基頻和一系列高階諧波疊加而成,隨振動(dòng)幅值變化不斷變化。

表1 剛度非線性系統(tǒng)及其恢復(fù)力曲線

2 剛度非線性類別辨識(shí)

2.1 瞬時(shí)頻率檢測(cè)法

根據(jù)式(1)及正則化攝動(dòng)法[10],表1所列的剛度非線性系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)的瞬時(shí)頻率可估計(jì)為系統(tǒng)振動(dòng)幅值及其非線性剛度參數(shù)的函數(shù),即

(3)

式中:a(t)為系統(tǒng)振動(dòng)幅值;k1,k2,…,kn為系統(tǒng)非線性剛度。

根據(jù)式(3)可知,由于剛度非線性函數(shù)不同,不同剛度非線性系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)的瞬時(shí)頻率將呈不同的分布規(guī)律,因此可根據(jù)瞬時(shí)頻率分布實(shí)現(xiàn)剛度非線性類別辨識(shí)。

對(duì)非線性時(shí)變系統(tǒng),常用時(shí)頻分布來(lái)估計(jì)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率[11]。本文采用時(shí)頻聚集性能較好且抗干擾強(qiáng)的SPWVD(smoothed pseudo-Winger distri-butions)分布[12],其分布規(guī)律為

(4)

式中:h(t)和g(t)為平滑函數(shù)且滿足h(0)=g(0)=1;u為系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng);ξ為系統(tǒng)頻域響應(yīng);f(u)為系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù);f*(u)為f(u)的復(fù)共軛函數(shù)。

其時(shí)頻

寬度與u(t)相同。記fa(t)=a(t)ejφ(t),則系統(tǒng)瞬時(shí)頻率為

(5)

式中:a(t)為幅值響應(yīng);φ(t)為系統(tǒng)角速度。

本文運(yùn)用峰值檢測(cè)法進(jìn)行系統(tǒng)振動(dòng)瞬時(shí)頻率估計(jì),即以每個(gè)時(shí)間點(diǎn)SPWVD最大值對(duì)應(yīng)的頻率作為信號(hào)瞬時(shí)頻率的估計(jì)結(jié)果。以圖1單自由度非線性系統(tǒng)為例,圖2給出了表1所列剛度非線性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布曲線,系統(tǒng)仿真參數(shù)見(jiàn)表2。

圖1 單自由度剛度非線性系統(tǒng)

系統(tǒng)k/N·m-1a0/mk1/N·m-1k2/N·m-1初速度/m·s-1A00.16320.3B00.16320.3C00.16321580.3D00.11586320.3E15830000.3

(a)系統(tǒng)A (b)系統(tǒng)B (c)系統(tǒng)C

(d)系統(tǒng)D (e)系統(tǒng)E(硬彈簧) (f)系統(tǒng)E(軟彈簧)圖2 含剛度弱非線性單自由度系統(tǒng)瞬時(shí)頻率

從圖2中可得,立方剛度系統(tǒng)E瞬時(shí)頻率分布曲線與攝動(dòng)法估計(jì)的瞬時(shí)頻率變化趨勢(shì)相同,即

(6)

為二次曲線,可直接從其他幾類非線性系統(tǒng)中區(qū)分出來(lái)。系統(tǒng)A、D,系統(tǒng)B、C瞬時(shí)頻率分布曲線相似,這是由于系統(tǒng)A為系統(tǒng)D的一種特殊情況即k1=0,系統(tǒng)B為系統(tǒng)C的一種特殊情況即k2=0。

2.2 非線性類別辨識(shí)

為有效地辨識(shí)A、B、C、D 4類分段剛度非線性系統(tǒng),本文結(jié)合被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布特征和圖形匹配算法實(shí)現(xiàn)非線性類別辨識(shí),其技術(shù)路線如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)非線性分類方法技術(shù)路線圖

該類別辨識(shí)方法基本分為以下3個(gè)步驟。

(1)根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及剛度非線性系統(tǒng)恢復(fù)力曲線,建立含不同剛度非線性的被測(cè)系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型,求解相同初始位移下各模型自由衰減振動(dòng)。

(2)采用SPWVD峰值檢測(cè)法獲得不同模型的瞬時(shí)頻率變化曲線,建立各非線性模型瞬時(shí)頻率曲線庫(kù)。

(3)結(jié)合圖形匹配算法,匹配被測(cè)系統(tǒng)實(shí)測(cè)自由衰減振動(dòng)瞬時(shí)頻率曲線與曲線庫(kù)曲線,匹配程度最好的系統(tǒng)即為該被測(cè)系統(tǒng)主要非線性類別。

以圖1所示的單自由度非線性系統(tǒng)為被測(cè)系統(tǒng),根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立含表1所列A～D4種剛度非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型,并求解系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)響應(yīng),仿真參數(shù)見(jiàn)表3,非線性項(xiàng)參數(shù)與表2相同。

表3 簡(jiǎn)化模型參數(shù)

(a)系統(tǒng)A (b)系統(tǒng)B

(c)系統(tǒng)C (d)系統(tǒng)D圖4 單自由度剛度非線性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率數(shù)據(jù)庫(kù)

根據(jù)峰值檢測(cè)法估計(jì)各模型自由衰減振動(dòng)及其瞬時(shí)頻率分布曲線。為使建立的曲線庫(kù)具有一定的可比性,瞬時(shí)頻率分布曲線需進(jìn)行歸一化處理,圖4給出了歸一化瞬時(shí)頻率曲線庫(kù),縱坐標(biāo)以系統(tǒng)基頻為基準(zhǔn),橫坐標(biāo)以仿真總時(shí)長(zhǎng)為基準(zhǔn),即

(7)

式中:ω(t)為系統(tǒng)瞬時(shí)頻率;ω0為系統(tǒng)基頻;t為仿真時(shí)間;T為仿真總時(shí)長(zhǎng)。

(a)與曲線庫(kù)A對(duì)比 (b)與曲線庫(kù)B對(duì)比

圖5給出了被測(cè)系統(tǒng)為間隙非線性系統(tǒng)A時(shí),系統(tǒng)實(shí)測(cè)瞬時(shí)頻率分布與曲線庫(kù)曲線對(duì)比圖。從圖中可明顯看出,被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率曲線與曲線庫(kù)中A類間隙非線性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率曲線接近?？紤]結(jié)合圖形匹配算法,通過(guò)匹配被測(cè)系統(tǒng)實(shí)測(cè)瞬時(shí)頻率與曲線庫(kù)曲線,實(shí)現(xiàn)非線性類別辨識(shí)。本文以兩曲線間距離作為匹配參數(shù),即

(c)與曲線庫(kù)C對(duì)比 (d)與曲線庫(kù)D對(duì)比圖5 被測(cè)系統(tǒng)與曲線庫(kù)瞬時(shí)頻率對(duì)比結(jié)果

(8)

式中:YE為被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布曲線縱坐標(biāo);YB為曲線數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)各模型瞬時(shí)頻率分布曲線縱坐標(biāo);N為采樣點(diǎn)數(shù)。

系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布曲線與曲線庫(kù)瞬時(shí)頻率曲線的匹配結(jié)果見(jiàn)表4。從表中可以看出,當(dāng)被測(cè)系統(tǒng)與曲線庫(kù)對(duì)應(yīng)類別一致時(shí),對(duì)應(yīng)的DS值最小,即兩曲線匹配程度最好,從而實(shí)現(xiàn)了非線性類別的定量辨識(shí)。

表4 單自由度非線性系統(tǒng)類別辨識(shí)DS值

隨機(jī)選取50組不同間隙與間隙剛度的非線性單自由度系統(tǒng)作為被測(cè)系統(tǒng)。圖6給出了這50組樣本自由衰減振動(dòng)瞬時(shí)頻率分布曲線與曲線庫(kù)匹配結(jié)果。從圖6中可以明顯看出,被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布與曲線庫(kù)內(nèi)間隙非線性匹配程度最好,從而確定被測(cè)系統(tǒng)為間隙非線性系統(tǒng)。

圖6 含間隙單自由度非線性系統(tǒng)類別的辨識(shí)結(jié)果

3 連續(xù)體系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)

3.1 傳統(tǒng)方法非線性類別辨識(shí)

由于連續(xù)體系統(tǒng)各單元間振動(dòng)的相互耦合,使得傳統(tǒng)的非線性類別辨識(shí)方法很難實(shí)現(xiàn)連續(xù)體系統(tǒng)非線性類別的辨識(shí)。以圖7所示的剛度非線性懸臂梁為例,懸臂梁任意點(diǎn)的位移響應(yīng)用絕對(duì)位移u(x,t)表示,該懸臂梁系統(tǒng)的參數(shù)如下:長(zhǎng)度l、橫截面積A、截面慣性矩I、密度ρ、彈性模量E、非線性位置距離固定端的距離lc、表1所列的剛度非線性項(xiàng)f(u)。

圖7 非線性懸臂梁系統(tǒng)

圖8給出了立方剛度與間隙非線性系統(tǒng)波特圖。從圖中可以看出:同一種非線性系統(tǒng)在一定輸入輸出下,系統(tǒng)幅頻響應(yīng)往往呈現(xiàn)不同的分布。此外,分段非線性系統(tǒng)波特圖受非線性影響嚴(yán)重,因此頻響函數(shù)的形狀不能作為確定系統(tǒng)剛度非線性類別的依據(jù)[2]。

(a)立方剛度非線性系統(tǒng) (b)含間隙非線性系統(tǒng)圖8 剛度非線性系統(tǒng)波特圖

圖9對(duì)比了含間隙單自由度系統(tǒng)及含間隙懸臂梁系統(tǒng)RFS[2]曲線圖。從圖中可以看出,傳統(tǒng)的RFS恢復(fù)力曲線法可有效解決單自由度系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)問(wèn)題。但是,在連續(xù)體系統(tǒng)中,由于系統(tǒng)各單元間會(huì)發(fā)生進(jìn)一步相對(duì)位移,曲線呈嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象,從原始的恢復(fù)力-位移曲線分布圖中無(wú)法準(zhǔn)確辨識(shí)出非線性類別。

(a) 含間隙非線性單自由度 (b) 含間隙非線性懸臂梁系統(tǒng)RFS圖 系統(tǒng)RFS圖圖9 含間隙非線性系統(tǒng)RFS曲線

3.2 懸臂梁系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)

根據(jù)哈密爾頓原理,圖7所示的非線性懸臂梁系統(tǒng)自由衰減振動(dòng)微分方程為

(9)

式中:utt是u(x,t)關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù);uxxxx是u(x,t)關(guān)于位置x的四階導(dǎo)數(shù);fs(x,t)為非線性力。

根據(jù)系統(tǒng)邊界條件及振形疊加原理,系統(tǒng)固有頻率可寫(xiě)為

(10)

其中基頻為

(11)

利用本文方法,首先根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其動(dòng)力學(xué)方程,建立含剛度非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型,并求解模型自由衰減振動(dòng)響應(yīng),仿真參數(shù)見(jiàn)表5。

采用峰值檢測(cè)法獲得上述不同剛度非線性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布曲線。以基頻為基準(zhǔn)對(duì)各系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布進(jìn)行歸一化處理,并建立被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率曲線庫(kù),如圖10所示。

從圖10中可以看出,上述剛度非線性系統(tǒng)瞬時(shí)頻率均呈不同的分布規(guī)律,尤其是立方剛度非線性系統(tǒng)E,其瞬時(shí)頻率呈光滑二次曲線,可直接從其他幾種非線性類別中區(qū)分出來(lái)。

表5 懸臂梁非線性系統(tǒng)數(shù)據(jù)庫(kù)仿真參數(shù)

(a)系統(tǒng)A (b)系統(tǒng)B (c)系統(tǒng)C

(d)系統(tǒng)D (e)系統(tǒng)E(硬彈簧) (f)系統(tǒng)E(軟彈簧)圖10 剛度非線性懸臂梁系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布圖

圖11 含間隙懸臂梁系統(tǒng)類別辨識(shí)結(jié)果

以系統(tǒng)A為被測(cè)系統(tǒng),隨機(jī)選取50組不同的間隙與間隙剛度進(jìn)行仿真,圖11給出了被測(cè)系統(tǒng)實(shí)測(cè)瞬時(shí)頻率與曲線庫(kù)圖形匹配結(jié)果。從圖中可以看出,這50組不同間隙非線性系統(tǒng)均與曲線庫(kù)A的匹配程度最高,從而驗(yàn)證了該類別辨識(shí)方法的有效性。

3.3 懸臂梁系統(tǒng)非線性類別辨識(shí)實(shí)驗(yàn)

本文在假設(shè)系統(tǒng)剛度非線性未知的情況下,以系統(tǒng)A為實(shí)際被測(cè)系統(tǒng),通過(guò)改變系統(tǒng)間隙和間隙剛度驗(yàn)證該類別辨識(shí)方法的有效性。實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖12所示,間隙位于小懸臂梁與懸臂梁之間,通過(guò)小懸臂梁厚度調(diào)整間隙剛度,通過(guò)間隙頭與間隙梁之間的墊片厚度調(diào)整間隙大小。本實(shí)驗(yàn)用敲擊法獲得初始位移,并通過(guò)電渦流傳感器及數(shù)據(jù)采集儀進(jìn)行數(shù)據(jù)采集,具體實(shí)驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表6。

(a)局部放大圖

(b)主視圖圖12 非線性類別辨識(shí)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

實(shí)驗(yàn)采樣點(diǎn)數(shù)小懸臂梁厚度/mm間隙/mm1204880.12204880.23204880.34204840.15204860.162048100.1

圖13給出了間隙為0.1 mm、小懸臂梁厚度為8 mm的衰減響應(yīng)曲線及其瞬時(shí)頻率分布曲線,從圖中可以看出該被測(cè)系統(tǒng)更接近系統(tǒng)A。

分別將上述實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果與懸臂梁非線性曲線庫(kù)進(jìn)行瞬時(shí)頻率圖形匹配,匹配結(jié)果見(jiàn)表7。從表7中可以看出,被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率與曲線庫(kù)A匹配的DS值最小,確定被測(cè)系統(tǒng)為間隙非線性系統(tǒng),從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

(a)非線性位置自由衰減振動(dòng) (b)瞬時(shí)頻率分布曲線 圖13 實(shí)驗(yàn)1結(jié)果

實(shí)驗(yàn)DS系統(tǒng)A系統(tǒng)B系統(tǒng)C系統(tǒng)D110.488115.199115.32747.879230.826130.025130.34257.321316.916123.627123.89651.500430.787122.134122.64050.322521.246117.226117.66345.337624.074120.125120.54647.758

4 結(jié) 論

本文基于瞬時(shí)頻率峰值檢測(cè),利用被測(cè)系統(tǒng)瞬時(shí)頻率分布特點(diǎn),提出了一種可用于連續(xù)體系統(tǒng)的剛度非線性類別辨識(shí)方法。該方法根據(jù)被測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立了含不同剛度非線性系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型及其瞬時(shí)頻率曲線庫(kù),并結(jié)合圖形匹配算法實(shí)現(xiàn)了剛度非線性系統(tǒng)類別辨識(shí)。本文通過(guò)剛度非線性懸臂梁系統(tǒng)仿真分析與實(shí)驗(yàn)計(jì)算,驗(yàn)證了該方法的有效性。同時(shí),本文方法對(duì)其他非線性具有普適性,可推廣應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)常見(jiàn)非線性的類別辨識(shí)中。

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(編輯 杜秀杰)

Type Identification for Mechanical Nonlinearity

QUAN Shuanglu,LIU Jie,HAN Luofeng,HE Anqi,LI Bing

(School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

For type identification of nonlinear continuum systems with stiffness nonlinearity, a classification strategy with peak detection algorithm is put forward. According to the structure of under test system, simplified models with 5 kinds of stiffness nonlinearity are constructed. The nonlinearity types are particularly interested in structural diagnostic, such as clearance nonlinearity and cubic nonlinearity. An instantaneous frequency library is then set up by studying the free oscillations and instantaneous frequencies of different models. The shape-matching algorithm is used to compare the real instantaneous frequency with the curves in the library. And the results are taken up to the index to identify the nonlinearity types. For a cantilever beam system with clearance, the matching value between the real instantaneous frequency and the curve of clearance nonlinearity measured in this strategy gets obviously smaller than the others, verifying the effectiveness.

mechanical system; type of nonlinear system; instantaneous frequency; shape-matching algorithm

2015-04-17。

權(quán)雙璐(1991—),女,碩士生;李兵(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475356)。

時(shí)間:2015-09-13

10.7652/xjtuxb201512017

TH17

A

0253-987X(2015)12-0104-08

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http:∥www.cnki.net/kcms/detail/61.1069.T.20150913.1824.006.html