土體固結(jié)與溶質(zhì)運移三維耦合模型

房遠方，張志紅，杜修力

（北京工業(yè)大學 城市與工程安全減災省部共建教育部重點實驗室，北京 100124）

目前，中國存在大量的簡易廢物堆場和疏浚底泥堆場，直接建立在未作任何防滲措施的天然土層上。滲濾液一旦穿透防滲墊層，對地下水的影響將是長期的和巨大的。因此，研究溶質(zhì)在黏土防滲層中的運動規(guī)律，從保護地下水和保護環(huán)境的角度而言，是最值得關(guān)注的，亦可評估黏土作為環(huán)保防污屏障的有效性。在多種環(huán)境巖土工程項目運營機理中，都包含了兩類過程：一是物理化學過程（主要是溶質(zhì)的運移過程和稀釋過程）；二是巖土體的力學變化過程（主要是滲流過程和固結(jié)過程）。目前，對溶質(zhì)在固結(jié)變形土體中的運移規(guī)律已引起相關(guān)學者的高度重視。

Smith［1］從固結(jié)土的應變分析及溶質(zhì)質(zhì)量守恒定律出發(fā)，建立了溶質(zhì)在可變形飽和多孔介質(zhì)中運移的一維理論，分別討論了多孔介質(zhì)小變形和大變形情況下的溶質(zhì)運移問題，并指出研究大變形情況下溶質(zhì)運移問題的重要性［2］。Alshawabkeh等［3－5］將溶質(zhì)質(zhì)量輸運過程與基于Terzaghi固結(jié)理論的黏土固結(jié)過程相耦合，建立了溶質(zhì)一維輸運模型。Fox［6］、Arega等［7］、Fox等［8］以及 Lewis等［9］基于大應變固結(jié)理論，建立了飽和多孔介質(zhì)中考慮大應變固結(jié)和污染物運移的耦合數(shù)學模型。Witteveen等［10］以非膨脹伊利土為試驗研究對象，開展了土體的化－力耦合特性試驗研究，給出了滲透吸力與初始固結(jié)系數(shù)以及滲透吸力與屈服應力之間的關(guān)系表達式，建立了考慮化學－力學耦合特性的本構(gòu)模型。Zhang等［11］提出了部分飽和多孔介質(zhì)固結(jié)與溶質(zhì)運移一維耦合模型，同時，考慮了多孔介質(zhì)的有限應變以及幾何與材料非線性的新特征。模型綜合比較論證了有限應變、孔隙水的可壓縮、縱向彌散以及飽和度的重要性。張志紅、許照剛等［12－16］在比奧固結(jié)理論的基礎(chǔ)上，通過固相速度這一參量將固結(jié)理論與溶質(zhì)運移理論相耦合起來，建立了考慮土體固結(jié)小變形的一維溶質(zhì)運移模型并分別給出其解析解和數(shù)值解。薛強等［17］基于多孔介質(zhì)氣－水－固耦合和微生物降解理論，建立了描述這一復雜動力學行為的氣－水－固耦合數(shù)學模型，并給出了耦合模型的數(shù)值格式。以上溶質(zhì)在固結(jié)變形粘土防滲層中的運移規(guī)律研究大部分理論模型都是一維形式，且較少考慮溶質(zhì)運移對土體固結(jié)變形的影響。

本文在比奧固結(jié)理論和溶質(zhì)運移理論相結(jié)合的基礎(chǔ)上，通過溶質(zhì)濃度與孔隙水壓力之間的關(guān)系，以孔隙率作為耦合參量，建立溶質(zhì)在固結(jié)變形土體中運移的三維耦合模型，并采用數(shù)值方法進行求解，揭示了溶質(zhì)在變形土體中隨時空的運移分布規(guī)律。該研究對于堆場防滲系統(tǒng)的設(shè)計、管理和維護以及環(huán)境安全性評價具有重要的理論價值和實際意義。

1 模型的建立

1.1 基本假定

1）土體為飽和、小變形、線彈性均質(zhì)連續(xù)體；

2）土顆粒和孔隙水不可壓縮；

3）滲流服從達西定律；

4）土體為彌散各向同性；

5）土體中滲透速度主方向與選擇的坐標一致。

6）假定流場為均勻穩(wěn)定流場。

1.2 比奧固結(jié)理論

比奧固結(jié)理論考慮了各向同性的飽和土單元體在外力作用下的平衡條件，土骨架的線性變形和孔隙水滲流的連續(xù)性條件。三維比奧固結(jié)理論可以用數(shù)學方程描述如下：

式（1）中含有w x、w y、w z、u4個未知數(shù)。對于飽和土體，土單元體內(nèi)水量的變化率在數(shù)值上等于土體積的變化率，故由達西定律可得

式中：k為土體的滲透系數(shù)，cm／s；εv為土體體應變；γw為水的重度，k N／m3。

式（2）提供了水流連續(xù)條件的第4個方程。這樣，解式（1）與式（2）組成的方程組，即可求得4個未知量。

對于受到固結(jié)壓力的土體，滲透系數(shù)k隨著固結(jié)變形是不斷變化的，本文采用土力學大師Taylor給出的經(jīng)驗公式（3）來描述，該公式對于黏性土具有很好的適用性［18］。

式中：k0為土體初始滲透系數(shù)；e為土體孔隙比；e0

為土體初始孔隙比；ek為滲透指數(shù)，取0.5e0。

1.3 溶質(zhì)運移理論

傳統(tǒng)的溶質(zhì)運移理論沒有考慮土體的固結(jié)變形，只考慮了孔隙水中溶質(zhì)的質(zhì)量守恒，如下式：

式中：Dii為水動力彌散系數(shù)張量，量綱為［L2T－1］；i＝x，y，z；x x＝x，x y＝y(tǒng)，x z＝z；v ii為實際滲流速度；n為孔隙率；S為土骨架吸附濃度，ρs為土體密度。

1.4 土體固結(jié)與溶質(zhì)運移耦合理論

土體在受到上部廢物堆體自重作用發(fā)生固結(jié)變形過程中，土顆粒會發(fā)生相對移動，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，滲漏到土體中的溶質(zhì)運移就分為兩部分：1）溶質(zhì)隨孔隙水流動；2）吸附在固體土顆粒上，并隨土骨架移動。根據(jù)這兩部分總的質(zhì)量守恒，建立了考慮滲流場、應力場和濃度場耦合的三維溶質(zhì)運移方程。

式中：vsi為土骨架變形速度；v i為達西滲流速度。

與傳統(tǒng)的溶質(zhì)運移模型式（4）相比，式（5）引入了吸附溶質(zhì)隨土顆粒的運移狀態(tài)參數(shù)，從而考慮了土體變形對溶質(zhì)運移的影響。式（5）中孔隙率、水動力彌散系數(shù)、達西速度和土骨架變形速度均為變量，與土體上覆固結(jié)壓力值密切相關(guān)。

2 模型的數(shù)值求解

2.1 定解條件

假設(shè)填埋場在水平面上具有兩條對稱軸，由于問題的對稱性，將坐標原點設(shè)在填埋場中心，取結(jié)構(gòu)體系四分之一進行研究，其剖面圖如圖1所示。

圖1 填埋場示意圖Fig.1 Sketch map of landfill

由以上假設(shè)可得到模型的定解條件如下：

1）三維固結(jié)模型（表1）

表1 固結(jié)模型初始與邊界條件Table 1 The initial and boundary conditions of consolidation model

2）三維運移模型（表2）

表2 運移模型初始與邊界條件Table 2 The initial and boundary conditions of transport model

2.2 模型數(shù)值求解

由于本模型考慮了滲流場、應力場以及濃度場的多場耦合作用，因此，利用大型多場耦合有限元軟件COMSOL Multiphysics對模型進行數(shù)值模擬求解。COMSOL Multiphysics是以有限元法為基礎(chǔ)，通過求解偏微分方程（單場）或偏微分方程組（多場）來實現(xiàn)真實物理現(xiàn)象的仿真。

利用COMSOL Multiphysics對模型控制式（1）、（2）、（4）、（5）進行數(shù)值模擬求解，得到黏土層中溶質(zhì)濃度隨時空的運移分布規(guī)律。

圖2 幾何模型及有限單位Fig.2 Geometry and finite element

3 計算結(jié)果及分析

根據(jù)所建數(shù)學模型，對某一填埋場進行計算（表3），模擬污染物的種類選為氨氮。

表3 模型計算的主要參數(shù)值Table 3 The main parameters of model

在多種溶質(zhì)運移模型中，通常較多考慮溶質(zhì)在黏土層中沿豎直方向的運移，忽略溶質(zhì)在水平方向上的擴散范圍。為了研究溶質(zhì)在底部防滲土層水平向的運移特征，模擬了黏土層在不同固結(jié)壓力作用下15年時溶質(zhì)運移云（圖3），結(jié)果表明，溶質(zhì)在水平向上具有明顯的擴散范圍，運移距離不可忽略。且隨著固結(jié)壓力的增大，污染羽顯示范圍逐漸減小。

線性吸附100 kPa固結(jié)壓力溶質(zhì)運移云圖

線性吸附200 kPa固結(jié)壓力溶質(zhì)運移云圖

線性吸附300 kPa固結(jié)壓力溶質(zhì)運移云圖

線性吸附400 kPa固結(jié)壓力溶質(zhì)運移云圖

線性吸附500 kPa固結(jié)壓力溶質(zhì)運移云圖

圖3 線性吸附模式下溶質(zhì)運移云圖Fig.3 Solute transport contour map with Linear sorption

3.1 固結(jié)壓力對溶質(zhì)擴散范圍的影響

研究溶質(zhì)在黏土防滲層中的運移規(guī)律，主要目的是為了預測溶質(zhì)在填埋場規(guī)定使用年限內(nèi)運移的距離，是否穿透了防滲層，會不會對周圍環(huán)境以及地下水造成二次污染，為廢物堆場的風險性評估提供科學依據(jù)。

根據(jù)《中華人民共和國地下水質(zhì)量標準》的有關(guān)規(guī)定，氨氮濃度大于0.2 mg／L的地下水視為被污染，故本文定義孔隙水中的溶質(zhì)濃度超過該限值的范圍為溶質(zhì)運移距離，對于線性吸附模式，不同固結(jié)壓力作用下溶質(zhì)在豎直、水平方向運移的距離如表4和表5所示。

表4 線性吸附時不同固結(jié)壓力作用下溶質(zhì)在豎直Z方向運移深度Table 4 The transport depth in the vertical directionof contaminant concentration with Linear sorption under different consolidation pressures m

表5 線性吸附時不同固結(jié)壓力作用下溶質(zhì)在水平X（Y）方向運移距離Table 5 The transport distance in the horizontal direction of contaminant concentration with Linear sorption under different consolidation pressures m

表6 不同情況下溶質(zhì)運移深度（距離）Table 6 The transport depth ＆distance of contaminant in different condition

從表4、表5可以看出，對于特定的運移年限，固結(jié)壓力越大，溶質(zhì)在土層中的運移深度或距離則越小，造成這種現(xiàn)象的原因主要是由于不同固結(jié)壓力作用下土體壓縮變形量不同，導致不同固結(jié)壓力對溶質(zhì)擴散規(guī)律的影響不同。在外荷載的作用下土體被壓縮，孔隙水排出，孔隙率減小，溶質(zhì)運移通道變窄，而溶質(zhì)運移中對流、水動力彌散等參數(shù)均與孔隙率密切相關(guān)，孔隙率變小使得對流彌散作用被削弱，從而阻滯了溶質(zhì)的運移，并且固結(jié)壓力越大，土體壓縮變形量就越大，對溶質(zhì)運移的阻滯作用就越強。因此，在相同的運移年限內(nèi)，溶質(zhì)運移深度或距離隨著固結(jié)壓力的增大而減小。從表6可以更直觀的看出，無論是豎直向還是水平向，防滲層固結(jié)變形均會導致溶質(zhì)運移深度（距離）的減小，并且隨著運移時間的增長，運移深度的減小率逐漸增大，表明隨著運移時間的增加，壓縮變形導致的溶質(zhì)運移深度（距離）的減小量逐漸增大，即壓縮變形對溶質(zhì)運移過程的影響是持久性的。

將考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)的運移規(guī)律與不考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)的運移規(guī)律（固結(jié)壓力為零）進行對比，結(jié)果表明，對于特定的運移年限，考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)遷移的距離比不考慮固結(jié)變形時溶質(zhì)遷移的距離要短，對堆場防滲墊層的設(shè)計及使用年限的提高具有較強的指導作用。

圖4 不同固結(jié)壓力（kPa）作用下溶質(zhì)豎直方向運移分布規(guī)律Fig.4 Contaminant concentration distribution with distance in the vertical direction under different consolidation pressures（kPa）

圖5 不同固結(jié)壓力（kPa）作用下溶質(zhì)水平方向運移分布規(guī)律Fig.5 Contaminant concentration distribution with distance in the horizontal directionunder different consolidation pressures（kPa）

從圖4、圖5可以看出，對于特定的運移年限，固結(jié)壓力越大，溶質(zhì)在土層中的運移深度和水平距離越小，在圖4、圖5中表現(xiàn)為溶質(zhì)濃度峰面隨著固結(jié)壓力增大而左移，同時還可以看出，隨著運移時間的增加，與不同固結(jié)壓力對應的溶質(zhì)濃度峰面逐漸變的稀疏，說明隨著運移時間的增加，固結(jié)壓力取值的不同對溶質(zhì)運移規(guī)律的影響逐漸增大，即相同增量固結(jié)壓力對應的溶質(zhì)遷移距離逐漸增大。

3.2 橫向水力梯度對溶質(zhì)水平向運移距離的影響

在計算中，取縱向水力梯度，為分析橫向水力梯度對溶質(zhì)水平向運移距離的影響，改變橫向水力梯度，并假定與縱向水力梯度具有一定比例關(guān)系，變動方式為：1）ix／iz＝1，ix＝5.8；2）ix／iz＝0.5，ix＝2.9；3）ix／iz＝0.8，ix＝1.16。上述3種情況的計算結(jié)果如表7所示。

表7 不同橫向水力梯度作用下溶質(zhì)在水平方向運移距離 mTable 7 The transport distance of solute in the horizontal direction under different horizontal hydraulic gradient

模擬的不同橫向水力梯度作用下溶質(zhì)水平向運移如圖6所示。由圖6以及表7發(fā)現(xiàn)，橫向水力梯度對溶質(zhì)水平向運移具有較大影響。隨著橫向水力梯度的增大，溶質(zhì)在水平向運移距離也隨之增大，對于河流湖泊等疏浚底泥廢物堆場，水頭可高達到30 m以上，橫向水力梯度也會超過10，這種實際工況下溶質(zhì)在水平向運移距離就比較遠，影響范圍也變的很大，故不能將之忽略。在堆場防滲墊層設(shè)計及服役過程中，應考慮這一因素的影響。

圖6 不同橫向水力梯度溶質(zhì)水平遷移分布規(guī)律Fig.6 Contaminant concentration distribution with distance in the horizontal direction under different horizontal hydraulic gradient

3.3 模型驗證

一方面由于溶質(zhì)在黏土襯墊中運移速度慢，襯墊設(shè)計擊穿時間一般達數(shù)十年，普通的室內(nèi)土柱試驗，無法進行如此長時間的模擬，另一方面像垃圾填埋場這樣比較大的場地，室內(nèi)實驗也是無法進行的，三維實驗就更加困難。詹良通等［20］利用400g-t土工離心機模擬了高水頭條件下氯離子在高嶺土襯墊中的一維運移及擊穿過程。離心機具有縮時縮尺效應，可以大大縮小實驗模型的尺寸以及縮短模擬的時間，因此，可以把本文三維模型退化為一維，然后再與詹良通等的實驗進行對比驗證。

基于此，采用與詹良通等相同的計算條件及參數(shù)，對此問題進行了對比計算，計算結(jié)果示于圖7，由圖7可見，對于溶質(zhì)在變形土體中的運移問題，詹良通等的實驗結(jié)果與本文的數(shù)值模擬結(jié)果比較吻合，從而驗證了該理論模型的合理性以及計算結(jié)果的正確性。

圖7 溶質(zhì)沿豎直方向的濃度分布（366 d）Fig.7 Contaminant concentration distribution with distance in the vertical direction（366 d）

4 結(jié)論

1）以孔隙率作為耦合參量，將Biot固結(jié)理論與溶質(zhì)運移理論相耦合，建立了溶質(zhì)在變形多孔介質(zhì)中的三維運移模型。采用有限元軟件COMSOL Multiphysics對三維耦合模型進行數(shù)值求解，研究了固結(jié)壓力與橫向水力梯度的變化對溶質(zhì)濃度隨時空分布規(guī)律的影響。

2）將考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)的運移規(guī)律與不考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)的運移規(guī)律進行對比，結(jié)果表明，對于特定的運移年限，考慮土體固結(jié)變形時溶質(zhì)遷移的距離比不考慮固結(jié)變形時溶質(zhì)遷移的距離要短，對堆場防滲墊層的設(shè)計及使用年限的提高具有較強的指導作用。

3）橫向水力梯度對溶質(zhì)的水平遷移影響較為顯著，對于水力梯度較大的河流湖泊等疏浚底泥廢物堆場，溶質(zhì)在水平向的運移范圍對周圍環(huán)境的影響不容忽視。

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（編輯胡 玲）