基于Layerwise理論的層合結構能量釋放率分析

卿光輝，宋萬萍

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

基于Layerwise理論的層合結構能量釋放率分析

卿光輝，宋萬萍

（中國民航大學航空工程學院，天津 300300）

根據(jù)Layerwise理論，推導了復合材料層合結構脫層前緣的能量釋放率計算公式，計算了復合材料層合梁的面內應力，并在脫層損傷層間引入虛擬彈簧層模型，應用VCCT技術，分析計算了脫層前緣的能量釋放率。結果表明，研究層間裂紋問題的方法較傳統(tǒng)方法具有更高的精度和效率。

Layerwise；VCCT；彈簧層；能量釋放率

復合材料層合板是復合材料的一種主要應用形式，其作為一種先進的結構材料，在各方面得到了廣泛應用[1]。脫層是復合材料層合板的主要損傷類型之一，在造成復合材料層合板失效的諸因素中，脫層損傷占據(jù)了很大比例[2]。脫層即層合結構中間層的脫離，因此要對層間應力有準確的分析。經典板的理論（classical laminate theory，CLT）和一階剪切變形理論（firstorder shear deformation theory，F(xiàn)SDT）[3-5]已難以滿足某些復合材料層合板結構分析精度的要求。然后，各種高階剪切變形理論先后被提出，高階理論[6-7]較一階理論雖具有更高的精確度，但當不同介質層的彈性剛度系數(shù)相差較大時，也不能得出正確的層間應力。三維理論[8-9]雖然精確度高，但計算極其復雜，不便于工程實際。

本文采用Layerwise理論，在層合結構的厚度方向取線性插值函數(shù)來描述每個數(shù)值層內位移沿厚度方向變化的規(guī)律，推出層合結構靜力學方程，并編程計算了層間應力。最后在假設有脫層損傷存在的層合梁層間加入虛擬的彈簧層模型，借助VCCT技術，計算了脫層前緣的能量釋放率。通過本文解與理論值比較，驗證了此方法比傳統(tǒng)方法具有更高的精度。

1 位移場

考慮一個總厚為h的矩形（a×b）復合材料層合板。其坐標系如圖1所示。層合板由N層構成。規(guī)定第k面指的是第k層的底面，或稱第k-1層的頂面。共有N+1面。同樣，規(guī)定zk指的是第k層底面的z軸坐標值，或稱第k-1層頂面的z軸坐標值。

位移場可表示為

圖1 層合板的幾何圖形和坐標系Fig.1 Geometry and coordinate system of laminate

位移量Uk（x，y）、Vk（x，y）和Wk（x，y）是變形前在第k面上，且坐標為（x，y）的點的x、y、z分量。位移量u（x，y，z）、v（x，y，z）和w（x，y，z）是變形前坐標為（x，y，z）的點的x、y、z分量。

Φk（z）為整體插值函數(shù)，是層合板厚度方向坐標z的連續(xù)函數(shù)。通過這個插值函數(shù)，就可以由N+1層的位移量，得到層合板中任意一點的位移量。

整體插值函數(shù)Φk（z）可表示為

2 靜力學方程推導

將位移場函數(shù)代入到線性彈性應變位移公式，得到幾何變形方程（應變-位移關系）為

對于這3（N+1）個未知的Uk、Vk和Wk，可使用Hamilton原理，得到3（N+1）個運動方程為

其中：q（x，y，z）是橫向載荷（每單位面積），作用在層合板的頂部；δk(N+1)是Kronecker delta函數(shù)。

將式（5）中的應力定義為

在此，不使用平面應力假設，而使用三維本構關系[10]

將式（3）代入式（9）中積分，就可以得到剛度項。

3 層合梁的簡化及方程求解

由于梁可以看作是板的一種特殊情況，所以可以使用板的運動方程來計算梁的運動方程。認為梁的即

同時，再假設所有應力結果都只是坐標x的函數(shù)[11]，因此，式（5）簡化為

隨后，將式（11）代入式（12），可得運動控制方程為

根據(jù)矩形薄板的萊維解法，設

4 脫層前緣能量釋放率的計算

在對問題域進行離散時，要在裂紋尖端和裂紋的上下表面布置重合節(jié)點，每對重合節(jié)點間的關系用彈簧層模型進行簡化[12]。在使用線性拉格朗日插值函數(shù)進行插值時，上子板的位移場函數(shù)只使用基板和上子板中的場節(jié)點進行插值，包括重合節(jié)點對位于裂紋上表面的那部分節(jié)點；同樣地，下子板的位移場函數(shù)只使用基板和下子板的場節(jié)點進行插值，包括重合節(jié)點對位于裂紋下表面的那部分節(jié)點。在裂紋尖端處有

其中

其中：ui、vi、wi和ui′、vi′、wi′分別表示該界面層上表面節(jié)點和下表面節(jié)點的位移分量；fxi、fyi、fzi和fxi′、fyi′、fzi′表示該對重合節(jié)點之間的相互作用力。

記

則裂紋尖端處每對重合節(jié)點對應的剛度矩陣可表示為

根據(jù)虛功原理，可以推導出基于Layerwise理論的非裂紋區(qū)域各單元的剛度矩陣為

以上獲得了非裂紋區(qū)層合梁單元的剛度矩陣和裂紋尖端彈簧層剛度矩陣，根據(jù)有限元法的基本理論，按照節(jié)點連接關系，將層合梁的單元剛度矩陣和彈簧層的剛度矩陣進行組裝，得

總體剛度矩陣為

為了進行靜力學方程的求解，在確定整體剛度矩陣后需確定結構載荷，并將結構載荷等效到節(jié)點上。由虛位移原理推導可知，等效結點力的大小應該按照它與作用在單元上的上述三種力在任何虛位移上所作的功相等來確定，因而有

其中：R表示等效節(jié)點力；G表示集中力；p表示體積力；q表示面積力。

以上得到了系統(tǒng)的剛度矩陣和載荷向量，則結構的平衡方程為

通過解線性方程組，即可得到各個節(jié)點的位移{δ}。

根據(jù)二維平面線型裂紋的虛擬裂紋閉合法[13]，應變能釋放率可用裂尖處的節(jié)點力及裂尖后的張開位移近似表示為

其中：B為裂紋體厚度；Δa為初始裂紋長度。

5 算例及分析

算例1 兩層等厚度正交異性層合梁模型，梁的長度等于4倍的厚度，上表面受勻布載荷為e7N，E11= 172.36 GPa，E22=6.894 GPa，G12=3.447 GPa，G22=1.379 GPa，v12=v22=0.25，鋪層角度為[0°/90°]。

為了驗證本文算法算式以及程序的正確性，用所編寫的程序計算了本算例的層間應力，并將結果和用三維分析軟件Abaqus做出的結果進行了對比，如圖2和圖3所示。

圖2 正交異性（0/90）層合梁x=a/2處在厚度方向的應力分布Fig.2 Distribution of in-plane stress σxthrough thickness at x=a/2 of a（0/90）laminated beam system

算例2 一等厚度簡支梁模型的長度2L=200 mm，厚度2h=20 mm，寬度B=50 mm，裂紋長度a= 50 mm。垂直首層表面集中載荷P=6 N。材料屬性：GⅡc=1.719 N/mm，E11=122.7 GPa，E22=10.1 GPa，G12= 5.5 GPa，v12=0.25。通過Matlab軟件編程計算得出的II型能量釋放率為0.016 012（J/m2）。

圖3 正交異性（0/90）層合梁x=0處在厚度方向的應力分布Fig.3 Distribution of in-plane stress σxzthrough thickness at x=0 of a（0/90）laminated beam system

為了與有限元結果做對比，本算例繼續(xù)使用Abaqus軟件建立模型進行分析，其能量釋放率的分析結果為0.015 719（J/m2）。

根據(jù)柔度法可以得到有端邊切口的簡支梁模型長度方向上II型能量釋放率的表達式為

由此可得II型能量釋放率的理論值為

結合彈簧層模型的Layerwise求解結果與Abaqus有限元解的誤差進行對比，如表1所示。

表1 裂紋尖端能量釋放率計算結果及其與理論解的誤差Tab.1 Distribution of in-plane stress σxthrough thickness at x=a/2 of a（30°/0°/-30°）laminated beam and its error

從圖2和圖3分析可知，基于Layerwise理論（Layerwise theory，LWT）分析算例1，利用所編寫的程序計算了正交異性（0/90）層合梁在x=a/2處在厚度方向的應力分布，并把所得結果同經典層合板理論（CLT）相關文獻的數(shù)據(jù)和Abaqus有限元軟件所得結果進行了比較。結果吻合較好，證明了本文所用算法的有效性和所編程序的可靠性。

從表1可以看出：結合了彈簧層模型的Layerwise理論，Matlab軟件計算得出的結果與Abaqus得出的有限元解比較，可以發(fā)現(xiàn)本文解和有限元解均在允許誤差范圍之內，但結合彈簧層模型的Layerwise理論求解精度比Abaqus的有限元解精度高出很多。

6 結語

本文采用Layerwise理論分析復合材料層合結構，可以得到比經典層合板理論更精確的應力和位移。將虛擬裂紋閉合技術應用到Layerwise理論中，由結合了彈簧層模型的Layerwise理論計算出裂紋尖端的節(jié)點力和位移，再代入虛擬裂紋閉合法的能量釋放率公式，求出脫層前緣的能量釋放率。分析結果表明：基于Layerwise理論計算出的能量釋放率結果精度很高，因此本文的方法研究層間裂紋問題的能量釋放率問題較傳統(tǒng)方法具有更高的精度和更高的效率。

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（責任編輯：楊媛媛）

Energy release rate analysis of laminated structures based on Layerwise theory

QING Guang-hui，SONG Wan-ping
（College of Aeronautical Engineering，CAUC，Tianjin 300300，China）

Based on Layerwise theory，analyzing formulae of energy release rate at delamination front of composite laminated structures are derived and the in-plane stresses of composite laminated beams are calculated.Then the energy release rate at the delamination front is calculated by introducing virtual spring layer model into the delamination interface and adopting the VCCT technology.Results show that the present method of interlaminar crack problem has higher accuracy and efficiency than traditional ones.

Layerwise；VCCT；springlayer model；energy release rate

O39；TB33

：A

：1674-5590（2015）04-0046-05

2014-05-10；

：2014-05-29

：中國民航大學科研基金項目（2012kye07）

卿光輝（1968—），男，湖南新化人，教授，博士，研究方向為結構力學.