基于高維插值的末修彈落點預(yù)報方法研究

黃 鑫,趙捍東,李志鵬

(中北大學(xué)機電工程學(xué)院,太原 030051)

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基于高維插值的末修彈落點預(yù)報方法研究

黃 鑫,趙捍東,李志鵬

(中北大學(xué)機電工程學(xué)院,太原 030051)

為快速精確的預(yù)報彈丸落點,提出了基于高維插值的末修彈落點預(yù)報方法。在介紹高維插值法的基礎(chǔ)上,以末段彈道參數(shù)為離散點,對其高維插值,得到落點預(yù)報顯示方程,并利用顯示方程進行落點預(yù)報仿真測試。仿真結(jié)果表明,該方法預(yù)報落點的精度較高,且平均預(yù)報時間為3.508 ms,比數(shù)值積分法少709.393 3 ms。因此,采用高維插值法預(yù)報落點是有效可行的,可為實際應(yīng)用提供參考。

落點預(yù)報;高維插值法;數(shù)值積分法;擴展卡爾曼濾波

0 引言

在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中,精確打擊[1]成為彈藥發(fā)展的主攻方向,而彈丸落點預(yù)報的快速與精確性是實現(xiàn)高精度打擊的關(guān)鍵技術(shù)。

目前,落點預(yù)報方法主要有數(shù)值積分法、濾波外推法和線性化法等。數(shù)值積分法[2]是采用龍格-庫塔法實時解算外彈道方程,能準(zhǔn)確的預(yù)報落點,但在預(yù)報過程中,需要繁瑣的迭代,這不僅消耗大量的時間且易產(chǎn)生累積誤差。濾波外推法[3-5]能降低噪聲和隨機誤差對落點預(yù)報的影響,但處理非高斯噪聲時,易于發(fā)散,達不到準(zhǔn)確預(yù)報落點的目的。線性化法[6-7]是在一定程度下,將非線性外彈道方程近似化,得到線性方程,利用解析法解算彈道方程。該方法相比于數(shù)值積分法,能夠快速預(yù)報彈丸落點,但在精度上存在不足。因此,為快速精確的預(yù)報落點,提出了基于高維插值的末修彈落點預(yù)報方法。

1 落點預(yù)報方法及濾波介紹

1.1 末修彈落點預(yù)報的方法

文中首次提出一種適用于末修彈的落點預(yù)報方法,即基于高維插值的落點預(yù)報方法。圖1所示為該方法預(yù)報末修彈落點的示意圖。其中,O-xyz表示發(fā)射坐標(biāo)系;“▲”為彈道高的位置,“△”表示高維插值法落點預(yù)報的初始點位置,A為彈丸實際落點,B為高維插值法預(yù)報的彈丸落點。

從彈丸在彈道高處開始,利用彈載傳感器進行彈道參數(shù)測量,在設(shè)定的時間內(nèi),采用擴展卡爾曼濾波算法對彈道參數(shù)辨識。并以結(jié)束時刻的彈道參數(shù)作為預(yù)報的初始點,由高維插值法預(yù)報彈丸落點。

圖1 高維插值法落點預(yù)報的示意圖

1.2 基于擴展卡爾曼濾波的彈道參數(shù)辨識

落點預(yù)報時,需通過GPS實時探測與跟蹤飛行過程中彈丸的彈道參數(shù),并由擴展卡爾曼濾波算法對彈道參數(shù)辨識。

擴展卡爾曼濾波[8]是應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的卡爾曼濾波,其系統(tǒng)方程和量測方程為:

(1)

式中:W(t)為模型噪聲;V(t)為量測噪聲,且均為高斯白噪聲;X為狀態(tài)向量;f(X)為狀態(tài)方程。

為預(yù)報擴展卡爾曼濾波預(yù)測的結(jié)果,其迭代公式為:

(2)

其中:

(3)

2 落點預(yù)報

2.1 高維插值法

插值法是離散問題解析化的方法之一,所謂插值法,即已知n個離散點(xi,yi),i=1,2,…,n,在某一已知的函數(shù)類g(w,x)中,若能找到一個函數(shù)g(w*,xi),使其g(w*,xi)=yi,i=1,2,…,n,則稱g(w*,xi)為通過此n個點的插值函數(shù)。插值函數(shù)的構(gòu)造是插值法的核心問題,目前,一維和二維插值法應(yīng)用較為常見,插值函數(shù)一般采用n次多項式和Hermite插值多項式。但是一維和二維插值法仍是低維插值法,只能處理低維空間的離散點,若對于處理高維空間,低維插值法就不適用了,為此提出高維插值方法。

文中以高斯函數(shù)為基底的加權(quán)作為插值函數(shù),其數(shù)學(xué)表達式為:

(4)

式中:γj∈Rm表示第j個離散點;χi∈Rm表示該方程的自變量;yi表示因變量;wj表示第j個權(quán)值;φij為高斯函數(shù);‖χi-γj‖為歐式距離,一般為矩陣2范數(shù);δ表示高斯函數(shù)的寬度。

若將n組χi∈Rm的離散點代入式(4)中,可得:

(5)

即:

Y=ΦW

(6)

當(dāng)m維空間中的離散點不同時,則Φ可逆,則有:

W=YΦ-1

(7)

2.2 基于高維插值法的末修彈落點預(yù)報

落點預(yù)報是實現(xiàn)落點預(yù)測制導(dǎo)律的重要一步,其中,落點信息包括射程和橫偏。而描述彈丸飛行狀態(tài)的彈道參數(shù)很多,如彈丸位置坐標(biāo)、速度分量、姿態(tài)角等。如何確定離散點的維數(shù)是建立落點預(yù)報顯示方程的關(guān)鍵問題。為保證自變量與因變量有著密切的聯(lián)系,綜合考慮,離散點的維數(shù)選為5維,自變量為χi=[xi,zi,vxi,vzi,θi]T,表示當(dāng)前彈丸的狀態(tài)參數(shù),其中,xi和zi為彈丸位置分量,vxi和vzi為彈丸速度分量,θi為彈道傾角,而因變量選為彈丸的射程和橫偏。則有以下函數(shù)關(guān)系:

(8)

通過高維插值法可得式(8)的顯示方程。由2.1節(jié)知,高維插值法是將高維空間中離散點解析化的數(shù)學(xué)方法,具有原理簡單,解算時間快等優(yōu)點。因此,以射程為例,預(yù)報數(shù)學(xué)模型為:

(9)

式中:Xi表示射程;Wxj表示第j個權(quán)值;χxi表示射程預(yù)報方程的自變量,其形式為χxi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T,其中,xi、zi表示當(dāng)前彈丸位置分量,vxi、vyi表示當(dāng)前彈丸速度分量,θ表示當(dāng)前彈丸的彈道傾角;γxj表示第j個離散點,即γxj=[xj,zj,vxj,vzj,θj]T;exp(·)為高斯函數(shù)。

然而預(yù)報射程前,需預(yù)先確定離散點γxj和權(quán)值Wxj。文中提取射角在一定的范圍內(nèi)的m條彈道曲線,并取其被動段中的彈道參數(shù)共n組(n=n1+n2+…+nm),其中每一組的彈道參數(shù)整合成γxj=[xj,zj,vxj,vzj,θj]T的形式,且將與γxj相對應(yīng)的彈丸射程作為Xj。以上數(shù)據(jù)作為高維插值的離散點,所以只需確定n個權(quán)值的大小即可確定射程預(yù)報的顯示方程。由式(5)～式(7)可計算出Wxj向量,得到射程預(yù)報的顯示方程。而該方程僅適用于上述射角范圍內(nèi)的射程預(yù)估,在實際應(yīng)用中,需預(yù)先將射程預(yù)報方程裝入彈載計算機中,由EKF辨識后的參數(shù)作為射程預(yù)報初始點來預(yù)估。

同理,橫偏預(yù)報的顯示方程為:

(10)

3 仿真與分析

3.1 落點預(yù)報仿真

選取離散點的原則是基于3D質(zhì)點彈道方程,采用四階龍格-庫塔法,以時間步長為0.01 s解算外彈道方程。從射角為30°～60°的范圍內(nèi),每隔5°提取一條彈道,共7組。從過彈道高10 s后到落地前10 s的范圍內(nèi),每隔0.1 s提取一組彈道參數(shù),共計2 374組,記為P。按照第二章的要求將P整合成相應(yīng)的數(shù)據(jù)格式,計算權(quán)值,得出落點預(yù)報的顯示方程。

3.2 落點預(yù)報仿真結(jié)果分析

隨機提取未錄入高維插值離散點的100組彈道參數(shù),記為Q。數(shù)據(jù)Q作為預(yù)報落點的輸入,并整合成χxi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T和χzi=[xi,zi,vxi,vzi,θ]T的形式,落點預(yù)報仿真后得圖2和圖3。

由圖2、圖3知,射程預(yù)報的誤差在0.03 m以內(nèi),而橫偏預(yù)報誤差在-3×10-5～4×10-5m內(nèi)波動,最

大預(yù)報誤差約為4×10-5m。因此,該方法預(yù)報落點的精度較好,尤其是橫偏預(yù)報。同樣也可以驗證插值法具有對離散點及其附近點的預(yù)報精度高的特點。

圖2 高維插值法射程預(yù)報誤差

圖3 高維插值法橫偏預(yù)報誤差

3.3 進一步驗證預(yù)報精度

從射角為33°～58°范圍內(nèi),每隔5°提取一條彈道曲線,共6組。并將高斯白噪聲加到被動段的彈道參數(shù)中,以此作為彈載傳感器采集到的彈道參數(shù)。在6條彈道曲線中,采用擴展卡爾曼濾波獲得比較準(zhǔn)確的彈道參數(shù),分別在每條彈道中選取一組末段彈道參數(shù)作為落點預(yù)報初始點,并對高維插值法和數(shù)值積分法落點預(yù)報仿真,得到表1。

表1 高維插值法落點預(yù)報精度分析

由表1可知,高維插值法射程預(yù)報的平均相對誤差為0.038 12%,而橫偏預(yù)報的平均相對誤差為0.106 3%,因此,該落點預(yù)報方法的精度較高,滿足落點預(yù)報的精度要求。

3.4 落點預(yù)報快速性分析

高維插值法是一種以高斯函數(shù)為基底的插值方法,經(jīng)插值得到落點預(yù)報方程。該方法解決了數(shù)值積分法預(yù)報落點時,由于迭代而產(chǎn)生的解算時間長和累積誤差的不足。相比數(shù)值積分法,該方法落點預(yù)報的顯示方程形式簡單,更易于計算。在理論上,高維插值法落點預(yù)報的時間要少于數(shù)值積分法的預(yù)報時間。

以6條彈道為例,分別取過彈道高10 s后一點的彈道參數(shù),將其作為高維插值法預(yù)報落點的初始值,分別采用高維插值法和數(shù)值積分法預(yù)報落點。表2為高維插值法與數(shù)值積分法預(yù)報落點的快速性分析。

表2 數(shù)值積分法與高維插值法落點預(yù)報快速性分析

由表2知,高維插值法預(yù)報射程的平均時間為1.675 ms,橫偏預(yù)報的平均時間為1.831 ms,預(yù)報落點的總時間的平均值為3.506 ms,而數(shù)值積分法的落點預(yù)報的平均時間為712.902 ms。高維插值法相比于數(shù)值積分法的預(yù)報時間,平均少709.396 ms,因此,高維插值法的落點預(yù)報速度遠高于數(shù)值積分法。

4 結(jié)論

文中研究了高維插值的基本原理,對末段彈道參數(shù)進行高維插值,得到落點預(yù)報的顯示方程,然后落點預(yù)報仿真測試。結(jié)果表明,高維插值法預(yù)報落點的精度較高,且相比于數(shù)值積分法,在預(yù)報速度上更快。因此,可用于末修彈落點預(yù)報。但對超出離散點范圍的點進行預(yù)報時,該方法預(yù)報精度不高,即泛化能力有限,這是插值法本身固有的缺陷,可通過增大選取離散點的范圍或提高離散點質(zhì)量等方法,降低泛化能力有限所帶來的影響,提高預(yù)報精度。

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Impact Point Prediction of Terminal Correction Projectile Based on Multidimensional Interpolation

HUANG Xin,ZHAO Handong,LI Zhipeng

(School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

In order to predict impact point of projectile fleetly and accurately, a method based on multidimensional interpolation for impact point prediction (IPP) of terminal correction projectile was put forward. Display equation of IPP was built with terminal ballistic parameters by multidimensional interpolation. Then, IPP based on multidimensional interpolation was simulated. The result shows the precision of this prediction method is higher, and the average forecast period is 3.508 ms. Compared with numerical integration for IPP, forecast period upon multidimensional interpolation is much shorter. Therefore, the method based on multidimensional interpolation for IPP is feasible.

impact point prediction; multidimensional interpolation; numerical integration; extend Kalman filter

2014-10-09

黃鑫(1989-),男,黑龍江牡丹江人,碩士研究生,研究方向:彈箭飛行與控制。

TJ013

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