張 偉

（南通職業(yè)大學(xué)，江蘇 南通 200437）

基于小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)代理人模型的改進(jìn)

張 偉

（南通職業(yè)大學(xué)，江蘇 南通 200437）

以ISing模型為基礎(chǔ)，在一個(gè)具有小世界效應(yīng)的隨機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立市場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，改進(jìn)了代理人決策機(jī)制和市場(chǎng)定價(jià)機(jī)制模型，利用計(jì)算機(jī)模擬，得出該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下的人工金融市場(chǎng)的對(duì)數(shù)收益率趨近于”胖尾”分布的結(jié)論。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，小世界效應(yīng)，代理人模型，“胖尾”分布

0 引言

自然界和人類社會(huì)中存在著大量結(jié)構(gòu)復(fù)雜的系統(tǒng)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)正是對(duì)這些復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一種量化表達(dá)［2-3］。數(shù)學(xué)上把網(wǎng)絡(luò)定義為 G=（V，E），是指由一個(gè)點(diǎn)集V（G）和一個(gè)邊集E（G）組成的一個(gè)圖。網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)表示復(fù)雜系統(tǒng)中的真實(shí)個(gè)體，網(wǎng)絡(luò)中的邊表示個(gè)體之間的相互關(guān)系，邊的權(quán)值表示與某一個(gè)體相鄰的不同個(gè)體對(duì)該個(gè)體影響力的大小。通過(guò)建立復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型，可以更好地理解真實(shí)復(fù)雜系統(tǒng)在其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與內(nèi)部動(dòng)力學(xué)機(jī)制等方面的特性。在構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型方面，Watts和Strogatz首先構(gòu)造出了WS網(wǎng)絡(luò)，這是一種既非完全的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)亦非完全的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)模型［4］，這一模型反映了真實(shí)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中普遍存在的小世界效應(yīng)［5-6］。隨后，Barabási和Albert給出了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的演化模型［7-8］。

近年來(lái)，用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型解釋金融市場(chǎng)中的現(xiàn)象與機(jī)制也受到了廣泛關(guān)注。在眾多解釋和模擬金融市場(chǎng)行為的模型［1，15-18］中，代理人模型(agent-based model)扮演著十分重要的作用。與關(guān)注體系動(dòng)力學(xué)方程演化不同，代理人模型通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬大量同質(zhì)或異質(zhì)的微觀代理人的行為，計(jì)算在個(gè)體動(dòng)態(tài)博弈過(guò)程中體系的演化［9,10,13］。經(jīng)濟(jì)物理學(xué)家們以凝聚態(tài)物理的已有模型為藍(lán)本，在其上構(gòu)建代理人模型。其中，將市場(chǎng)參與者的資本定價(jià)關(guān)系考慮為宏觀指數(shù)與近鄰代理人相互作用的加和的Ising框架代理人模型取得了初步成功［11］。本文以小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，對(duì)Sornette等人的代理人模型進(jìn)行了改進(jìn)和重建，取得了一些較為滿意的結(jié)果。

1 小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性

小世界效應(yīng)是指網(wǎng)絡(luò)同時(shí)具有大的簇集系數(shù)和小的平均距離兩個(gè)統(tǒng)計(jì)特征。圖1表示了兩個(gè)符合小世界特性的網(wǎng)絡(luò)示意圖。

簇集系數(shù)是用來(lái)衡量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)聚類的情況的參量。對(duì)于某個(gè)節(jié)點(diǎn)i，它的簇集系數(shù)為該節(jié)點(diǎn)與它相鄰節(jié)點(diǎn)之間形成的邊數(shù)同整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的總邊數(shù)之比。某個(gè)節(jié)點(diǎn)的簇集系數(shù)Ci表示式為：

其中，ki為與第i個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的點(diǎn)的數(shù)目，Ei為這ki個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在的邊的數(shù)目。整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的簇集系數(shù)是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)簇集系數(shù)的平均。Ci越趨近1，表示網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的連通性越強(qiáng)。

圖1 小世界特性網(wǎng)絡(luò)示意圖

最短距離是指兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的最短路徑所包含的邊數(shù)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均距離是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)間最短距離的平均。因此，網(wǎng)絡(luò)的平均距離L表示為：

其中，N為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)，dij表示i，j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最短距離。

2 基于小世界復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的代理人模型

2.1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

考慮一個(gè)有N個(gè)代理人的市場(chǎng)，代理人之間兩兩以概率p建立連接，這樣就建立了一個(gè)基礎(chǔ)的隨機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)Ω，示意圖如圖2所示。

圖2 代理人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖

該網(wǎng)絡(luò)的平均距離和簇集系數(shù)符合小世界網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計(jì)特性，這在下一節(jié)中將給出驗(yàn)證。

2.2 代理人決策及市場(chǎng)價(jià)格決定機(jī)制

參考相關(guān)文獻(xiàn)［11-12］，在進(jìn)行到第t輪交易時(shí)，第i個(gè)代理人所選擇的策略用si（t）表示。實(shí)際上，每個(gè)代理人的策略只有兩種：買進(jìn)（si（t）=+1）和賣出（si（t）=-1）。 si（t）的 選 擇 機(jī) 制 由 下 式 決 定 ：

參數(shù)說(shuō)明：

sign表示符號(hào)函數(shù)，括號(hào)內(nèi)為正則取+1，括號(hào)內(nèi)為負(fù)則取-1。Kij（t）表示在第t輪交易時(shí)第j個(gè)代理人對(duì)第i個(gè)代理人的影響力相關(guān)系數(shù)。當(dāng)i，j兩個(gè)節(jié)點(diǎn)不相連或i=j時(shí)，Kij（t）=0.Ei［si］（t）表示第t輪交易時(shí)，第j個(gè)代理人策略的期望值。而實(shí)際上，Ei［si］（t）=si（t）。因此，公式的第一項(xiàng)表征了與第i個(gè)代理人相連的其他代理人對(duì)該代理人策略的影響。

公式的第2項(xiàng)表征了市場(chǎng)的外部信息對(duì)于代理人策略的影響。G（t）表示在第t輪交易時(shí)的市場(chǎng)外部信息的影響，它服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。σi表示第i個(gè)代理人對(duì)于外部信息的敏感程度，它服從［0,σmax］的均勻分布。

公式的第3項(xiàng)εi（t）表征了每個(gè)代理人做決策的特異性，εi（t）服從以0為期望，cv+ui為方差的正態(tài)分布。其中cv是常數(shù)，Ui服從［0,0.1］的均勻分布。

代理人之間的影響力相關(guān)系數(shù)Kij（t）由下式?jīng)Q定：

參數(shù)說(shuō)明：

bi表示代理人i的異質(zhì)性決策傾向，服從［0,bmax］上的均勻分布且是固定的；

Ki（t-1）表示上一輪交易時(shí)代理人j對(duì)代理人i的影響系數(shù)，常數(shù)a是調(diào)整系數(shù)；

r（t-1）表示上一輪的收益，G（t-1）表示上一輪的外部信息；

β表示代理人對(duì)于外部信息的反應(yīng)方向，β=0表明代理人是絕對(duì)理性的，β=1表明代理人是受外部信息影響的。在本文中取β=1。

市場(chǎng)收益的決定式為：

市場(chǎng)價(jià)格的決定式為：

這就使得r（t）為每一輪交易的對(duì)數(shù)收益率。

3 參數(shù)體系與計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果

本文設(shè)計(jì)的人工金融市場(chǎng)模擬交易的C語(yǔ)言程序基于Code:Blocks12.11環(huán)境實(shí)現(xiàn)，將程序運(yùn)行所得數(shù)據(jù)導(dǎo)入Origin 8.0生成可視化數(shù)據(jù)圖形如圖3~圖5所示。

3.1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的小世界效應(yīng)驗(yàn)證

取N=400，將代理人之間的連接概率p從0.1~1，以步長(zhǎng)0.1進(jìn)行枚舉，利用計(jì)算機(jī)圖論中的Floyd算法［14］計(jì)算網(wǎng)絡(luò)的平均距離以及簇集系數(shù)，結(jié)果如表1所示。

表1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)小世界效應(yīng)驗(yàn)證

由上表可得，隨著p不斷增大，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的平均距離不斷減小，簇集系數(shù)不斷增大，且簇集系數(shù)與連接概率在誤差范圍內(nèi)一致。為了滿足小世界網(wǎng)絡(luò)的條件，取p∈[0.7,1.0]區(qū)間進(jìn)行下一步的模擬和運(yùn)算。

3.2 人工市場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)行和模擬

為了驗(yàn)證所建立的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、代理人決策以及市場(chǎng)定價(jià)機(jī)制的穩(wěn)定性和真實(shí)性，利用C語(yǔ)言程序基于Code:Blocks12.11環(huán)境進(jìn)行模擬。

經(jīng)過(guò)測(cè)試，對(duì)于第2節(jié)的代理人模型中提及的一些常數(shù)采用以下一系列數(shù)值，以使程序運(yùn)行結(jié)果數(shù)據(jù)得以收斂：

表2 參量取值表

在p∈［0.7,1.0］區(qū)間，改變代理人之間的連接概率p，運(yùn)行程序，得到在不同連接概率p下的模擬結(jié)果：

①市場(chǎng)價(jià)格(price)—時(shí)間(times)走勢(shì)

圖3 不同p下價(jià)格-時(shí)間走勢(shì)圖

圖3所示為不同連接概率p下的市場(chǎng)價(jià)格隨交易輪數(shù)的走勢(shì)?？梢钥吹竭@些價(jià)格走勢(shì)圖均體現(xiàn)較強(qiáng)的隨機(jī)性。

②對(duì)數(shù)收益率(returns)—時(shí)間(times)波動(dòng)

圖4所示為不同連接概率p下，對(duì)數(shù)收益率隨時(shí)間的分布?？梢钥闯?，對(duì)數(shù)收益率均密集分布在0附近，偶有隨機(jī)偏離。

圖4 不同p下收益率-時(shí)間走勢(shì)圖

③對(duì)數(shù)收益率的概率分布

圖5 不同p下歸一化收益率概率分布圖

圖5中，彩色線所示為連接概率p取不同值時(shí)對(duì)數(shù)收益率的歸一化概率分布，橙色線所示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線，可以明顯看出，對(duì)數(shù)收益率的概率分布曲線相比于正態(tài)分布曲線，在p=0附近概率更大，而在兩側(cè)極端值的概率也遠(yuǎn)大于正態(tài)分布，表現(xiàn)出了“尖峰厚尾”的分布特征，這也是與真實(shí)金融市場(chǎng)相趨近的［16］。

4 結(jié)論

本文基于Ising框架的代理人模型，建立了具有小世界效應(yīng)的隨機(jī)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)這一市場(chǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，改進(jìn)和重建了代理人決策機(jī)制和市場(chǎng)定價(jià)機(jī)制模型，利用計(jì)算機(jī)模擬上述人工金融市場(chǎng)的運(yùn)行，得到了市場(chǎng)價(jià)格走勢(shì)高度隨機(jī)，對(duì)數(shù)收益率的時(shí)間分布集中在0附近，以及對(duì)數(shù)收益率的概率分布趨近于胖尾分布的結(jié)論。這些結(jié)論對(duì)今后利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)這一拓?fù)淠Ｐ蛠?lái)研究金融市場(chǎng)內(nèi)交易者的相互作用具有一定的參考價(jià)值。

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An Improvementof Agent-based M odel Based on Small-world Complex Networks

ZHANGWei
（Nantong Vocational University，Nantong 200437，China）

Based on the Isingmodel raised before,a topology structure of themarket on a Smallworld random complex network is constructed.The mechanism of agents’decision and pricing of the market is improved.Through computer simulation,we came to a conclusion that,in this topology structure,the distribution of the logarithm return rate of the artificial financialmarket is quite similar to the‘Fat-tail’Distribution.

complex networks，small-world effect，agent-basedmodel，‘fat-tail’distribution

TJ630

A

1002-0640（2015）11-0167-03

2014-09-10

2014-11-08

張 偉（1960- ），男，江蘇南通人，本科。研究方向：系統(tǒng)工程與計(jì)算機(jī)應(yīng)用。