關(guān)于二面體群的共軛類長素圖

張曉盼

(沈陽工業(yè)大學 研究生基礎(chǔ)數(shù)學,遼寧 沈陽 110870)

關(guān)于二面體群的共軛類長素圖

張曉盼

(沈陽工業(yè)大學 研究生基礎(chǔ)數(shù)學,遼寧 沈陽 110870)

有限群;共軛類長素圖;二面體群

有限群理論無論從理論本身還是實際應用來說都占據(jù)著突出的地位[1].觀察有限群的發(fā)展歷史可以知道,有限群的一些數(shù)量信息與其結(jié)構(gòu)緊密相連.在有限群理論的研究中,關(guān)于群的共軛類長的素因子相關(guān)的一些算數(shù)特性與該群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)具有什么樣的關(guān)系,這一直都是群論研究中非常重要的一個課題[2].下面就用共軛類長素圖來描述二面體群的結(jié)構(gòu).

1 問題描述

1.1 符號說明

以下規(guī)定:圖Γ*是由有限非空集合V及其二元子集E構(gòu)成,其中V中元素稱為頂點,E中元素稱為邊;集合V和E分別稱為頂點集和邊集.u,v∈V,如果u和v在圖中有邊,就稱u和v在圖中是鄰接的;如果圖Γ*的任何兩個不同的頂點都是鄰接的,則稱Γ*是完全的;如果Γ*包含一條u-v路,那么就稱u和v是連通的;如果對于Γ*中每對不同頂點u,v,Γ*都包含一條u-v路,那么Γ*為連通的;若Γ*的一個連通子圖不是Γ*的其他任何連通子圖的真子圖,則稱它為Γ*的一個連通分支,那么圖Γ*稱為不連通的;n(Γ*)表示類長素圖的連通分支.連通圖Γ*的所有頂點之間的最大距離稱為Γ*的直徑,記為diam(Γ*);類長圖Γ*中,與頂點v相關(guān)聯(lián)的邊的總數(shù)稱為是v的度,記為degΓ(v);度為0的頂點為孤立點;類長圖Γ*中一個團是指圖Γ*的一個完全子圖.圖Γ*中最大團的階數(shù)稱為Γ*的團數(shù),記為ω(Γ*)[3].

1.2 相關(guān)定義及引理

定義1[4]對于有限群G中任意的兩個元素a,b,我們稱其在G中是共軛的,如果有另一元素g∈G,使得ag=b成立.這樣,我們就可以把群G中的元素按照共軛的關(guān)系劃分為k個都不相交的等價類,這個等價類叫共軛類.任一共軛類Ci中所包含元素的個數(shù)|Ci|叫做這個共軛類Ci的長度.

定義2 類長素圖Γ*(G)是滿足下面條件的無向圖:

1)以ρ*(G)中的素數(shù)為頂點;

2)如果兩個頂點p和q之間有一條邊相連,當且僅當這兩個素數(shù)的乘積pq整除Cl(G)中的某一元素b.

引理1[5]如果p,q是共軛類長素圖的兩個不相鄰的頂點,則群G要么是p-冪零群要么是q-冪零群,NG(P)=CG(P)或者NG(Q)=CG(Q)其中P∈Sp(G)Q∈Sq(G).

引理2[6] 有限群G,則有1)共軛類長素圖的連通分支n(Γ*(G))最多是2.2)如果n(Γ*(G))=2,則G為可解群.3)如果G是非交換的單群,則n(Γ*(G))=1;群G,如果共軛類長素圖Γ*是不連通的當且僅當群G是擬-Frobenius群,有可交換的核和補.

引理3[7]可解群G,如果共軛類長素圖有兩個連通分支,而且n和N表示兩個連通分支里兩個素因子的階(n≤N),則N≥2n-1.

引理4[8]如果p是一個給定的素數(shù)且整除每個(不等于1的)共軛類長度, 那么CG(P)≤Z(G),此處P是G的Sylowp-子群.

下面將討論二面體群的共軛類長素圖情況.

1.3 主要結(jié)論

我們記二面體群為D2n,設(shè)n≥3,定義:

設(shè)D2n是二面體群且n≥3,則D2n的共軛類如下:

2)當n為偶數(shù)時:

上面給出的二面體群從n≥3開始,但二面體群存在共軛類長素圖是從n≥5開始.

結(jié)論1 對于二面體群D2n,n≥5,當n為奇數(shù)時,那么非中心的共軛類長為{2,n},圖1至5是二面體群共軛類長素圖,圖中孤立點指“2”,m表示n的素因子個數(shù).

以此類推,二面體群有m個素因子對應的類長素圖是有兩個連通分支的非連通圖,兩個連通分支分別為完全圖和孤立點.

結(jié)論2 對于二面體群D2n,n≥5,當n為奇數(shù)時,n的素因子個數(shù)設(shè)為m.則有以下結(jié)論:

2 結(jié)論

[1] 張遠達.有限群構(gòu)造(上冊)[M].北京:科學出版社,1982

[2] A.Beltran,M.J.Felipe.Corrigendum:Some class size conditions implying solvability of finite groups[J].Journal of Group Theory,2011,14:783-784

[3] 范益政,汪 毅.圖論導引[M].北京:人民郵電出版社,2007

[4] 徐明曜.有限群導引(上冊)(第二版)[M].北京:科學出版社,1999

[5] N.Ito,On finite groups with given conjugate types I[J].Nagoya Math.J,1953(6):17-28

[6] G.Alfandary,On graphs related to conjugacy classes of groups[J].Isreal J.Math,1994(86):211-220

[7] M.L.Lewis,An overview of graphs associated with character degeres and conjugacy class sizes in finite groups[J].Math,2008(38):175-211

[8] D.Chillag,M.Herzog.On the length of the conjugacy classes of finite group[J].Journal of Algebra,1990,131(1):110-125

Prime Graph Related to Conjugacy Classes of Dihedral Groups

Zhang Xiaopan

(Shenyang Industrial University Graduate, Shenyang 110870, China)

finitegroup;primegraphofconjugacyclasssizes;dihedralgroups

2015-02-21

張曉盼(1989-),女,河北邯鄲人,在讀碩士生.

1672-2027(2015)02-0021-03

O152

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