非線性變時滯中立型微分方程解的零點分布

孟智娟, 馬立東

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院; 2.太原科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,山西 太原 030024)

非線性變時滯中立型微分方程解的零點分布

孟智娟1, 馬立東2

(1.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院; 2.太原科技大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,山西 太原 030024)

利用非線性問題線性化處理,討論一類一階非線性微分不等式振動解的零點分布,通過微分方程與相應(yīng)微分不等式之間的關(guān)系,進一步對一類非線性變時滯中立型微分方程的零點距進行了估計,改進和推廣了已有的一些的結(jié)果.

非線性; 中立型; 時滯; 零點距; 估計

1 預(yù)備知識

近年來,泛函微分方程的振動理論得到了迅速發(fā)展,最近幾十年人們對一階時滯中立型微分方程解的零點分布進行了研究,并取得了一定的成果[1-9]．但是,對變時滯和非線性微分方程零點分布的研究還比較少．本文考慮下述一階中立型微分方程解的零點分布．

(1)

在第二節(jié)中考慮了下述一階微分不等式的零點分布．

(2)

2 引理

首先定義一個序列{an(ρ)}, 0<ρ<1如下1

(3)

a(ρ)=eρa(ρ)

(4)

再定義序列{bm(ρ)}, 0<ρ<1,如下

(5)

(6)

下面定義函數(shù)τ,g,h的反函數(shù),規(guī)定τ0(t)=t,反函數(shù)τ-1的迭代形式為τ-i(t)=τ-1(τ-(i-1)(t)),i=1,2,…,同樣可以定義g,h的反函數(shù).

引理2.1 設(shè)x(t)是不等式(2)在[t0,∞)上的一個解,假定存在t1≥t0和一個正常數(shù)ρ使得

(7)

且存在T0≥t1,T≥τ-3(T0)使x(t)在[T0,T]上恒正,則對任意n>0有

(8)

證明:由式(2)得

(9)

說明x(t)在[τ-1(T0),T]上不增,則有

(10)

當(dāng)τ-3(T0)≤t≤T時,式(1.2)從τ(t)到t積分得

(11)

式(2)兩邊除以x(t)從τ(s)到τ(t)積分得

由式(11)得

重復(fù)上述過程即可得

(12)

引理2.2 假定存在t1≥t0和一個正常數(shù)ρ,0<ρ<1,使得

(13)

且存在T0≥t1,使得式(2)的解x(t)在[T0,τ-N(T0)]上恒正,則對任意m≤N-3,有

證明:由式(13)得

(14)

(15)

因t≤s<λt≤τ-1(t),式(2)從τ(s)到t積分得

由式(9)知x(τ(u))在τ-2(T0)≤τ(s)≤u≤t上不減,因此有

(16)

由式(15),式(16)得

(17)

(18)

(19)

當(dāng)τ-3(T0)≤t≤τ-(N-2)(T0)時,τ-3(T0)≤t≤λt≤τ-1(t)≤τ-(N-1)(T0),由式(19)得

(20)

由于x(t)<0,t∈[τ-1(T0),τ-N(T0)],又τ-2(T0)≤τ(λt)

代入式(18)得

(21)

(22)

(23)

由序列a和b的定義知一定存在滿足上述條件的n*和m*,由引理2.1得

(24)

另一方面,由引理2.2得

(25)

令t=τ-(2+n*)(T)=τ-(k-m*)(T)代入式(2.22),式(2.23)有

3 主要結(jié)果

定理3.1 假定(H1)與(H2)成立,則對T≥h-2(t1),方程(1)每一個解在[T,(g-1h)-k(T)]上至少存在一個零點．這里k由(22)給出．

證明:假設(shè)x(t)為方程(1)的一個解,不失一般性假定x(t)恒正,t∈[T,T1],這里

T1=(g-1h)-k(T),令

z(t)=x(t)+P(t)x(g(t)),t∈[g-1(T),T]

(26)

則z(t)>0,t∈[g-1(T),T]

(27)

(28)

由式(1),式(26)得

(29)

(30)

假設(shè)w(t)=z(t)+R(t)z(G(t)),t∈[G-1(T),T]

(31)

由式(27),式(31)得w(t)>0,t∈[G-1(T),T1]

(32)

w′(t)=z′(t)+R′(t)z(G(t))+R(t)Y(G(t))G′(t),t∈[G-1(T),T1]

(33)

其中Y(t)=z′(t)<0．由式(3.5),式(3.8)得

(34)

顯然,若R′(t)≤0,G′(t)-1>0,則有

(35)

R′(t)z(G(t))+R(t)Y(G(t))(G′(t)-1)

≤R′(t)z(h(t))+R(t)Y(G(t))(G′(t)-1)

(36)

將式(36)代入式(35)得

下面由定理2.1的證明容易得到定理3.1．

定理3.2 假設(shè)(H1)和(H3)成立,進一步假設(shè)存在序列{Ti},i→∞時Ti→∞,使得

這里a(ρ)是式(4)在[1,e]上的一個實根,則在[(g-1h)(2+n*)(Ti),(g-1h)-m*(Ti)]上,其中

Ti≥(g-1h)-(2+n*)(ti),方程(1)的每一個解至少存在一個零點.

[1] 李秉團.一階時滯微分方程解的零點距估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,1990,13(4):467-472

[2] 林詩仲.一階中立型微分方程解的零點估計[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,1994,17(3):458-461

[3] 于 江.一階時滯型微分方程解的零點距估計[J].山西大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),1995,18(2):134-137

[4] Liang Faxun.The Distribution of zeros of Solutions of First-Order Delay Differential Equations[J].Mathematical Analysis and applications,1994,186:383-392

[5] Zhou Yong.The Distribution of zeros of Solutions of First-Order Neutral Differential Equations[J].Northeast.Math.J.1997,13(2):153-159

[6] Zhou Yong. An Estimate for Distance Between Adjacent Zeros of Solutions of Neutral Equations[J].Chinese quarterly journal of mathematics,1996,11(4)438-43

[7] Hong Wu Wu, Yuan Tong Xu.The distribution of zeros of solutions of neutral differential equations[J].Applied Mathematics and Computation,2004,156:665-677

[8] 閆信州,曹秀梅,姜德民,修宗湖,閆君政.時間標(biāo)度上的一階時滯型微分方程解的零點距估計[J].萊陽農(nóng)學(xué)院學(xué)報,2006,32(2):150-153

[9] Chen Yu.Estimates of the zeros and Growths of Meromorphic Solutions of Homogeneous and Non-homogeneous second order Linear Differential Equations[J].mathema tica applicata,2010,23(1):18-26

The Distribution of Zeros of Solutions of the Nonlinear Neutral Differential Equations with Variable Delays

Meng Zhijuan1, Ma Lidong2

(1.School of Applied Science, Taiyuan University of Science and Technology;2.School of materials science and Engineering,Taiyuan University of Science and Technology, Taiyuan 030024, China)

Discuss the distribution of zeros of solution of the first order nonlinear differential inequality by linearizing nonlinear problems. Then by changing the differential equation with the related differential inequality, estimate the distance between adjacent zeros of the solutions of the nonlinear neutral differential equation with variable delays. Generalize and improve a lot of known results.

nonlinear; neutral; delay; distance between adjacent zeros; estimation

2015-01-11

山西省青年科學(xué)基金(20141012)；太原科技大學(xué)校青年基金(20143006)；太原科技大學(xué)校博士科研啟動基金(20102021).

孟智娟(1981-),女,山西五臺人，碩士，太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院助教,主要從事微分方程理論及其應(yīng)用研究．

1672-2027(2015)01-0022-06

O175.13

A