二維平面上的Gauss映射及其性質

王理峰, 石艷玲

(1.南京鐵道職業(yè)技術學院 社科部,江蘇 南京 210031; 2.鹽城工學院 基礎部, 江蘇 鹽城 224051)

二維平面上的Gauss映射及其性質

王理峰1, 石艷玲2

(1.南京鐵道職業(yè)技術學院 社科部,江蘇 南京 210031; 2.鹽城工學院 基礎部, 江蘇 鹽城 224051)

將一維的Gauss映射及Gauss測度推廣至平面上的Gauss映射及Gauss測度,并證明在平面上的Gauss映射與NN×NN上的提升等價,具有保Gauss測度的特點.

連分式;Gauss映射;Gauss測度

1 預備知識

Billingsley[1]給出了一維的Gauss映射及Gauss測度,并研究了相關性質.本文將一維的Gauss映射及Gauss測度推廣至平面上的Gauss映射及Gauss測度,并研究平面上的Gauss映射的一些性質.

對于任意實數(shù)x∈R都有連分式表達形式如下[1-2]:

其中a0∈Z,當i≥1時ai∈N.

下面先給出R上的一些算子,在本文的討論中將會經(jīng)常用到:

定義[1-2]([·]和〈·〉):定義取整函數(shù)[·]:R→Z為[·]:x|→z,其中z小于或等于x的最大的整數(shù).x的小數(shù)部分由函數(shù)〈·〉:R→R給出,定義如下:〈·〉:x|→x-[x].

由于〈x〉=[0;a1,a2,a3,…],我們將考慮x∈(0,1)即a0=0的情形,在下文中[a1,a2,a3,…]即表示[0;a1,a2,a3,…].

定義[1](Gauss測度):[0,1)上的測度G定義如下:

對任意可測的Ω?[0,1].

2 平面上的Gauss映射及Gauss測度的定義

定義:定義映射T:(0,1)×(0,1)→(0,1)×(0,1)為:

稱T為二維平面的Gauss映射.

定義:[0,1)×[0,1)上的Gauss測度G定義如下:

對任意可測的Ω?[0,1]×[0,1].

易見上面的定義的Gauss測度和 Lebesgue 測度μ具有相同的零測集.所以如果一個命題對于Gauss測度幾乎處處成立,那么其對Lebesgue測度幾乎處處成立.我們由Gauss測度的定義可以知:

對所有的可測集A?[0,1]×[0,1].

3 平面上Gauss映射的一些結論

二維平面的Gauss映射T有如下性質:

定理1:T([a1,a2,a3,…],[b1,b2,b3,…])=([a2,a3,…],[b2,b3,…]),即,Gauss映射

T:(0,1)×(0,1)→(0,1)×(0,1)

與NN×NN上的提升:σ([a1,a2,a3,…],[b1,b2,b3,…])=([a2,a3,…],[b2,b3,…])等價.

證明:

定理2:不可逆影射T:(0,1)×(0,1)→(0,1)×(0,1)是保Gauss測度的.

證明:對任意s>0,t>0,我們驗證

GT-1([0,s]×[0,t])=G([0,s]×[0,t])

則定理成立.

易證明:

T-1([0,s]×[0,t])={(x,y):0≤Tx(x,y)≤s,0≤Ty(x,y)≤t}

從而GT-1([0,s]×[0,t])

=G([0,s]×[0,t])

從而定理結論成立.

[1] Billingsley,P.Ergodic Theory and Information[M].New York：Wiley & Sons,1965

[2] Series, C. The modular surface and continued fractions[J].London Math.1985(31):69-80

Gauss Map of the Two-dimensional Plane and Its Properties

Wang Lifeng1, Shi Yanling2

( 1.Dapartment of Social science,Nanjing Railway Vocational and Technical College,Nanjing 210031;

2.Basic Department， Yancheng Institute of Technology, Yancheng 224051, China)

One dimensional Gauss map and Gauss measure are extended to the plane Gauss map and Gauss measure, then show that the Gauss map in the plane corresponds to the shift on and preserves Gauss measure.

continued fraction;Gauss map; Gauss measure

2014-11-21

江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃項目(CXZZ12-0083);江蘇省高校哲學社會科學研究基金項目(2014SJD283).

王理峰(1981-),女,河南平頂山人,碩士,南京鐵道職業(yè)技術學院講師,主要從事應用數(shù)學及多元統(tǒng)計分析研究.

1672-2027(2015)01-0020-02

O173.2

A