基于分?jǐn)?shù)階PID的環(huán)形單級倒立擺穩(wěn)定控制研究

廖伍代， 劉正博， 溫盛軍， 張翔銘

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007)

基于分?jǐn)?shù)階PID的環(huán)形單級倒立擺穩(wěn)定控制研究

廖伍代， 劉正博， 溫盛軍， 張翔銘

(中原工學(xué)院， 鄭州 450007)

針對環(huán)形單級倒立擺的穩(wěn)定控制，設(shè)計了基于分?jǐn)?shù)階的PID優(yōu)化控制器。用拉格朗日方法建立的環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)模型是一個具有3個自由度的欠驅(qū)動系統(tǒng)，其整數(shù)階PID控制器難以獲得滿意的控制性能。因此，提出基于分?jǐn)?shù)階PID的穩(wěn)定控制，其分?jǐn)?shù)階PID參數(shù)采用Signal Constraint優(yōu)化模塊進(jìn)行優(yōu)化。對整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階PID控制效果進(jìn)行分析比較，結(jié)果表明：相對于整數(shù)階的PID控制，分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)的倒立擺起擺迅速，穩(wěn)定控制性能優(yōu)良。

環(huán)形倒立擺；Signal Constraint優(yōu)化模塊；分?jǐn)?shù)階PID控制

倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、高階次、強(qiáng)耦合、非線性的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，是檢驗各種控制理論的理想模型，一直是控制理論界關(guān)注的焦點[1-2]。目前，國內(nèi)外關(guān)于倒立擺的研究大都集中在直線型倒立擺系統(tǒng)，而對環(huán)形倒立擺的研究較少。相對于傳統(tǒng)型直線倒立擺，環(huán)形倒立擺具有3個自由度，克服了行程限制，是校驗各種控制理論更理想的控制體系[3-4]。對于倒立擺系統(tǒng)，傳統(tǒng)的PID控制很難達(dá)到理想的控制效果。因此，本文引入分?jǐn)?shù)階PID控制。分?jǐn)?shù)階PID控制器是傳統(tǒng)整數(shù)階PID控制器的拓展，它比整數(shù)階PID控制器多了2個可調(diào)參數(shù)，即積分階次λ和微分階次μ,控制器參數(shù)整定范圍變大，能夠更靈活地控制受控對象[5]。為了解決人工大量試湊、精度不高等問題[6-7]，本文提出利用Signal Constraint優(yōu)化模塊滿足約束條件來獲得控制器的最優(yōu)參數(shù)，以期得到更好的控制效果。

1 環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

環(huán)形單級倒立擺由1個連桿、1個擺桿和1個質(zhì)量塊組成，其坐標(biāo)系如圖1所示。圖中：l1為連桿的長度；l2為擺桿轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心的距離；θ1為連桿與y軸的夾角；θ2為擺桿與垂直向上方向的夾角(順時針為正)。環(huán)形單級倒立擺的物理參數(shù)如表1所示。

圖1 環(huán)形單級倒立擺的坐標(biāo)系

參數(shù)含義參數(shù)值m1/kg連桿的質(zhì)量0.2340m2/kg擺桿的質(zhì)量0.1323m3/kg質(zhì)量塊的質(zhì)量0.1780l1/m連桿的長度0.2210l2/m擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離0.1975g/(m·s-2)重力加速度9.8

倒立擺運(yùn)動方程的建立和分析方法主要有牛頓·歐拉方法和拉格朗日方法。這里利用拉格朗日方程推導(dǎo)得到環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動方程。在擺桿上取一小段dl，dl的空間坐標(biāo)設(shè)為(x,y,z)：

(1)

則這一小段擺桿dl的動能dT為：

(2)

(3)

連桿的動能Tm1為:

(4)

質(zhì)量塊的動能Tm3為：

(5)

系統(tǒng)的總動能T為：

(6)

以連桿水平位置為0勢能位置，則系統(tǒng)的勢能等于擺桿的勢能：

V=Vm1+Vm2+Vm3=0+m2gl2cosθ2+0=m2gl2cosθ2

(7)

由上述拉格朗日算法可以得到:

(8)

(9)

式中：Y(s)為系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換；U(s)為系統(tǒng)輸入的拉普拉斯變換；s為拉普拉斯算子。

2 環(huán)形倒立擺的穩(wěn)定控制

2.1 基于Signal Constraint模塊的PID優(yōu)化控制

基于SignalConstraint模塊的PID優(yōu)化控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。在SignalConstraint模塊的優(yōu)化過程中，簡單搜索、梯度下降、遺傳算法等優(yōu)化方法為控制器參數(shù)優(yōu)化提供了快捷方便的優(yōu)化手段，尤其對于大型系統(tǒng)或者仿真速度較慢的系統(tǒng)，可以采用仿真技術(shù)加快優(yōu)化速度。具體的優(yōu)化步驟如下：①讀取初始數(shù)據(jù)，并給予初始值；②計算目標(biāo)和約束函數(shù)；③如果滿足約束條件，優(yōu)化結(jié)束，否則繼續(xù)；④計算二次規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)；⑤線性搜索并更新Hessian矩陣，如果滿足優(yōu)化結(jié)果，結(jié)束命令，否則返回到③。

圖2 Signal Constraint優(yōu)化模塊作用圖

基于SignalConstraint優(yōu)化模塊建立環(huán)形單級倒立擺的Simulink仿真結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 環(huán)形倒立擺PID控制仿真結(jié)構(gòu)

雙擊SignalConstraint，打開Goals菜單，并從中選擇DesiredResponse選項。這里可設(shè)置一些約束條件：上升時間為1s,調(diào)整時間為2s,超調(diào)為5%等(見圖4)。然后，在Optimization菜單中選擇TunedParameters,并將待調(diào)整參數(shù)加入。待調(diào)整參數(shù)需要在Matlab的CommandWindow中給出(見圖5)。

圖4 Desired Response選項

圖5 Tuned Parameters選項

完成目標(biāo)建模和SignalConstraint模塊的設(shè)置后，在SignalConstraint模塊的主界面上點擊StartOptimization選項，系統(tǒng)即可開始優(yōu)化仿真。當(dāng)系統(tǒng)優(yōu)化完成后，SignalConstraint模塊的主界面將會用黑線繪制出優(yōu)化后參數(shù)的仿真曲線；同時，優(yōu)化結(jié)果將生成一個報告。優(yōu)化結(jié)果報告中包括重復(fù)次數(shù)、迭代

次數(shù)、網(wǎng)格大小、約束函數(shù)值及其方法，最重要的是給出了優(yōu)化結(jié)論和待調(diào)整參數(shù)經(jīng)過優(yōu)化后的數(shù)值(見圖6)。

圖6 優(yōu)化結(jié)果報告

2.2 分?jǐn)?shù)階PID優(yōu)化控制器設(shè)計

由于分?jǐn)?shù)階PID控制器引入了微分階次μ、積分階次λ，因此，控制器參數(shù)的整定范圍變大，控制器能夠更靈活地控制受控對象，可以得到更好的控制效果。分?jǐn)?shù)階控制的意義就在于古典整數(shù)解控制的擴(kuò)展化，它可以提供更多的模型，得到魯棒性更好的控制效果[8]。

分?jǐn)?shù)階PID控制器的一般形式為PIλDμ控制器,包括一個積分階次λ和一個微分階次 μ,其中λ和μ可以是任意實數(shù)。其傳遞函數(shù)為：

(10)

分?jǐn)?shù)階PID控制器的參數(shù)優(yōu)化同樣可利用SignalConstraint模塊對非線性控制系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計和仿真，并在Simulink中建立如圖7所示的非線性控制系統(tǒng)(閉環(huán)形式)的仿真模型。模型中階躍信號模塊、飽和特性模塊的參數(shù)設(shè)置與PID控制器參數(shù)優(yōu)化中的設(shè)置基本一致。因為在Simulink中沒有分?jǐn)?shù)階PID控制器模塊，所以本文編寫了分?jǐn)?shù)階PID的Matlab工具箱，用來完成仿真。分?jǐn)?shù)階PID控制模塊如圖8所示。

圖7 環(huán)形倒立擺分?jǐn)?shù)階PID控制Matlab仿真結(jié)構(gòu)

圖8 分?jǐn)?shù)階PID控制模塊

雙擊SignalConstraint模塊，打開該模塊的時域性能約束窗口。然后，在時域性能約束窗口中打開設(shè)置響應(yīng)特性約束參數(shù)的窗口，把它的約束條件設(shè)置成與整數(shù)階一樣：上升時間為1s，調(diào)整時間為2s，最大超調(diào)量為5%，其余參數(shù)采用默認(rèn)值。

在系統(tǒng)模型窗口中，加入封裝好的分?jǐn)?shù)階PID控制模塊，打開該模塊的參數(shù)對話框，在比例系數(shù)(kp)、積分系數(shù)(ki)、微分系數(shù)(kd)、積分項階數(shù)(vi)和微分項階數(shù)(vd)等5個對話框中分別輸入kp、ki、ld、vi、vd,按【OK】鍵后，在Matlab窗口中對分?jǐn)?shù)階PID控制器的初始值進(jìn)行設(shè)置。設(shè)置完成后,系統(tǒng)即開始進(jìn)行優(yōu)化。得到的優(yōu)化結(jié)果如圖9所示。

圖9 分?jǐn)?shù)階PID優(yōu)化結(jié)果

3 控制效果對比

根據(jù)優(yōu)化結(jié)果報告得到的參數(shù)進(jìn)行仿真，分別得到整數(shù)階PID的仿真結(jié)果(見圖10)和分?jǐn)?shù)階PID的仿真結(jié)果(見圖11)。

將優(yōu)化后的整數(shù)階PID控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線和分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)的輸出響應(yīng)曲線局部放大(見圖12)并進(jìn)行對比,可以看出，在相同約束條件下，分?jǐn)?shù)階PID的上升時間、調(diào)節(jié)時間都更快，超調(diào)量相對較小，控制效果更好。

圖10 環(huán)形單級倒立擺整數(shù)階PID控制仿真結(jié)果

圖11 環(huán)形單級倒立擺分?jǐn)?shù)階PID控制仿真結(jié)果

圖12 整數(shù)階PID和分?jǐn)?shù)階PID控制效果對比圖

4 系統(tǒng)實現(xiàn)及實驗結(jié)果

根據(jù)求出的倒立擺數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用Simulink搭建

環(huán)形單級倒立擺的系統(tǒng)模型，并將其封裝。其實時控制模塊如圖13所示。

環(huán)形單級倒立擺的實時控制實驗在MatlabSimulink環(huán)境中進(jìn)行。打開倒立擺系統(tǒng)的實時控制模塊，在分?jǐn)?shù)階PID控制模塊中將分?jǐn)?shù)階PID控制器的參數(shù)輸入(kp=2 000,ki=2 000,kd=250,vd=0.974 9,vi=1.050 3)，然后點擊編輯程序，編輯成功后點擊“ConnectToTarget”,再點擊“Startreal-timecode”，倒立擺擺桿擺起。環(huán)形單級倒立擺實時控制連桿和擺桿的輸出波形分別見圖14和圖15。

圖13 環(huán)形單級倒立擺實時控制程序圖

顯然，在前7s內(nèi)，倒立擺連桿由初始位置(0rad)小幅度均勻振蕩，擺桿從初始位置(0rad)起擺至豎直方向(3.14rad)。擺桿起擺過程中發(fā)生較大幅度的振蕩，持續(xù)時間約7s，之后穩(wěn)定在豎直位置。擺桿起擺后，保持小幅度震蕩，震蕩幅度在±0.15rad以內(nèi)。

圖14 環(huán)形倒立擺實時控制連桿的響應(yīng)曲線

圖15 環(huán)形倒立擺實時控制擺桿的響應(yīng)曲線

5 結(jié) 語

針對環(huán)形單級倒立擺系統(tǒng)，本文利用SignalConstraint優(yōu)化模塊分別對整數(shù)階PID和分?jǐn)?shù)階PID進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。對它們的控制效果進(jìn)行對比，結(jié)果表明，相對于整數(shù)階的PID控制，分?jǐn)?shù)階PID控制多出2個控制參數(shù)，控制器的參數(shù)整定范圍變大，控制器能夠更靈活地控制倒立擺，可以得到更好的控制效果。本文設(shè)計的分?jǐn)?shù)階PID優(yōu)化控制系統(tǒng)的倒立擺起擺迅速，穩(wěn)定控制性能優(yōu)良，上升時間和調(diào)節(jié)時間短，超調(diào)量小。

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(責(zé)任編輯：王長通)

Fractional PID Based Stability Control for Rotary Inverted Pendulum

LIAO Wu-dai， LIU Zheng-bo， WEN Sheng-jun, ZHANG Xiang-ming

(Zhongyuan University of Technology, Zhengzhou 45007, China)

In order to realize the stability control of the rotary inverted pendulum,a fractional order PID based optimal control is proposed.The mathematical model is firstly derived from Lagrange Equation ,which is a 3DOF under actuated system.The fractional order PID is considered for the system, where the parameters of the PID controller are optimized by Signal Constraint optimization module. Comparing with the integer order PID controller,it shows that the rotary inverted pendulum using fractional order PID controller is more quickly swigged up, and the setting time is shorter.

rotary inverted pendulum; Signal Constraint optimization module; fractional PID controller

2015-01-04

廖伍代(1963-)，男，湖北武漢人，教授，博士，主要研究方向為系統(tǒng)工程、非線性控制、智能控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論與應(yīng)用。

1671-6906(2015)06-0015-06

TP393

A

10.3969/j.issn.1671-6906.2015.06.004