矩形薄板通透開(kāi)裂縫對(duì)固有頻率和模態(tài)的影響分析*

龔 健 ，盧奐采，2* ，陳振安 ，莊一舟 ，金江明

(1．浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，浙江杭州310014;2．浙江省信號(hào)處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州310014;3．福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建福州350108)

0 引 言

板結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于土木、機(jī)械和航天等工程領(lǐng)域［1-2］，因此，板結(jié)構(gòu)開(kāi)裂后的振動(dòng)響應(yīng)及其特征一直是動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)［3-4］，其中矩形開(kāi)裂薄板為重要的研究對(duì)象。

對(duì)于矩形薄板的模態(tài)響應(yīng)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了深入的研究。眾所周知，對(duì)于四邊固支的無(wú)開(kāi)裂的彈性薄板，根據(jù)薄板振動(dòng)理論［5-6］，可求得板振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)的解析解，但通透開(kāi)裂薄板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)響應(yīng)，則沒(méi)有解析解。L． Y． Shen 等［7-8］在1993年，從理論上分析了開(kāi)裂板的兩類(lèi)模態(tài)分裂(mode splitting)的情況，其研究結(jié)果解釋了模態(tài)分裂的現(xiàn)象，但缺乏開(kāi)裂板的振型函數(shù)等理論解。Asif Israr 等［9］在2008年，較為詳盡地推導(dǎo)了裂縫板的振動(dòng)方程及固有頻率公式，并對(duì)矩形鋁板的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。樊久銘等［10］在2011年，用有限元軟件，分析了薄板裂縫的位置和深度等參數(shù)對(duì)矩形板模態(tài)振型和模態(tài)頻率的影響，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，結(jié)果表明裂縫的深度和位置對(duì)振型有較大的影響。郝曉克等［11］在2013年，研究了矩形薄板的開(kāi)裂特征及其聲-振響應(yīng)，從聲學(xué)和振動(dòng)的角度分析了開(kāi)裂薄板的振型和固有頻率的變化規(guī)律和影響。但是，目前的研究基本上未對(duì)矩形開(kāi)裂薄板的模態(tài)交叉現(xiàn)象進(jìn)行分析和解釋。

因此，為了研究矩形通透開(kāi)裂薄板的模態(tài)交叉問(wèn)題，本研究首先給出矩形薄板在一定深度裂縫情況下的固有頻率的計(jì)算公式，然后建立通透開(kāi)裂薄板的有限元模型，通過(guò)仿真算例，分析薄板在對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂和不對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂時(shí)，隨著開(kāi)裂長(zhǎng)度增大，板的固有頻率變化與振型變化的趨勢(shì)和規(guī)律，分析模態(tài)交叉現(xiàn)象發(fā)生的原因。

1 單條裂縫矩形薄板模態(tài)的基本理論

四邊固支的矩形薄板，在具有單條裂縫的情況下，其模型如圖1 所示。

圖1 四邊固支帶開(kāi)裂縫的矩形薄板示意圖

設(shè)矩形薄板的撓度為w(x，y)，可表示為各階模態(tài)振型的疊加:

式中:Xm(x)，Yn(y)—x 和y 方向的振型函數(shù);m，n—x和y 方向的模態(tài)的階數(shù);Amn—各階模態(tài)的貢獻(xiàn)。

具有裂縫特征的薄板的近似解的理論如文獻(xiàn)［9］:當(dāng)開(kāi)裂中心位置為薄板中心，裂縫長(zhǎng)度較短時(shí)，廣義質(zhì)量Mmn和廣義剛度Kmn分別為:

式中:ρ—板的密度;h—板的厚度;a，b—矩形板的長(zhǎng)和寬;D—抗彎剛度;lc—裂縫的縫長(zhǎng);μ—板的泊松系數(shù)。

因此，可以推導(dǎo)開(kāi)裂板的固有角頻率ωmn和頻率fmn分別為:

需要注意的是，上述公式只適用于裂縫深度與板厚度的比值在70%以下的情況，而對(duì)于通透開(kāi)裂(裂縫深度與板厚度的比值為100%)則不適用。因此，為了獲得通透開(kāi)裂薄板的模態(tài)信息，本研究采用有限元方法計(jì)算。

2 矩形通透開(kāi)裂薄板模態(tài)的有限元仿真與分析

2．1 矩形通透開(kāi)裂薄板的有限元模型

本研究利用ANSYS 軟件，建立有限元模型如下:對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板的有限元模型如圖2(a)所示;不對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂的有限元模型如圖2(b)所示。

圖2 薄板不同開(kāi)裂位置的有限元模型

本研究采用彈性殼單元(shell 63)，選取鋼質(zhì)材料，密度ρ =7． 85 ×103kg/m3，彈性模量E =2． 1 ×105MPa，泊松比μ=0．3。

矩形薄板尺寸為820 mm ×520 mm ×1．5 mm，通透開(kāi)裂是薄板和長(zhǎng)方體(尺寸與開(kāi)裂相同)通過(guò)差集(subtract)得到，尺寸為lcmm×0．2 mm×1．5 mm。

網(wǎng)格設(shè)置取三角形單元(能夠保證結(jié)果有非常高的精度)，單元邊長(zhǎng)20 mm，自由劃分網(wǎng)格。

薄板邊界條件為四邊固支。

2．2 對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板的固有頻率變化與模態(tài)交叉

如圖2(a)中XOY 坐標(biāo)系所示，設(shè)對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板的裂縫中心位于(410 mm，260 mm)，且裂縫平行于薄板短邊，開(kāi)裂長(zhǎng)度比ζ=lc1/b 即開(kāi)裂長(zhǎng)度與短邊長(zhǎng)度之比，以間隔Δζ=4%增加時(shí)，仿真獲得模態(tài)的固有頻率fmn，前11個(gè)模態(tài)固有頻率與開(kāi)裂長(zhǎng)度比的關(guān)系曲線如圖3 所示。

圖3 對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂板的前11 個(gè)模態(tài)的固有頻率fmn與開(kāi)裂長(zhǎng)度比ζ 的關(guān)系

從圖3 中可知，隨著開(kāi)裂長(zhǎng)度比ζ 增大，各階模態(tài)的固有頻率都隨之下降，原因是板的剛度不斷減小，完全吻合式(4)所揭示的規(guī)律。另外，隨著ζ 增大，各模態(tài)的固有頻率fmn呈‘z’形規(guī)律，即:在0≤ζ≤20%和90%≤ζ≤96%時(shí)，各階模態(tài)的固有頻率幾乎不變;在某些開(kāi)裂長(zhǎng)度比的區(qū)間里，固有頻率值改變則很明顯，如2-1 模態(tài)的固有頻率f21在50%≤ζ≤80%時(shí)變化幅度較大;2-2 模態(tài)的固有頻率f22在70%≤ζ≤90%時(shí)變化幅度較大。所以，各階模態(tài)可根據(jù)固有頻率變化規(guī)律分為3 個(gè)級(jí)別:①頻變級(jí)，表示頻率變化特別顯著，并改變了固有頻率次序;②影響級(jí)，指頻率變化較大但沒(méi)有改變固有頻率次序;③微影響級(jí)，即頻率變化不大。具體劃分如表1 所示。

表1 各階模態(tài)的分類(lèi)

頻變級(jí)中如4-1 模態(tài)，在圖3 的矩形框所示，當(dāng)40%≤ζ≤56%時(shí)，隨著ζ 增大，4-1 模態(tài)的固有頻率f41從f41＞f22變化到f41＜f22，像這種模態(tài)與對(duì)應(yīng)的固有頻率次序沒(méi)有始終一一對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象，被稱(chēng)為模態(tài)交叉，如圖4 所示。同理，當(dāng)56%≤ζ≤70%時(shí)，4-1 模態(tài)的固有頻率f41從f41＞f12變化到f41＜f12，也發(fā)生了模態(tài)交叉。

圖4 對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂板的模態(tài)交叉圖

由圖3 可知，當(dāng)ζ =96%時(shí)，兩個(gè)相鄰的模態(tài)，諸如(2m，n)階模態(tài)與(2m－1，n)階模態(tài)的固有頻率幾乎相同。這是因?yàn)榇藭r(shí)薄板幾乎分裂成兩塊，而這兩塊小板所有條件都相同，它們的固有頻率相同。薄板的固有頻率是由兩塊小板所決定的，因此，此類(lèi)相鄰兩階模態(tài)對(duì)應(yīng)的固有頻率相同。只是對(duì)于薄板整體而言，裂縫兩側(cè)的板的振動(dòng)有以下兩種組合:對(duì)稱(chēng)和相反。1-1 模態(tài)振型，裂縫兩側(cè)的振動(dòng)對(duì)稱(chēng)如圖5(a)所示，2-1 模態(tài)，裂縫兩側(cè)的振動(dòng)相反如圖5(b)所示。以及，3-1 模態(tài)振型和4-1 模態(tài)振型如圖5(c)，5(d)所示。更重要的是，薄板無(wú)開(kāi)裂時(shí)，4-1 模態(tài)的固有頻率f41與3-1 模態(tài)的固有頻率f31間隔2 個(gè)頻率。因此，隨著ζ 增大并最終f41=f31，f41必然要跨越f22和f12，出現(xiàn)圖4 所示的模態(tài)交叉現(xiàn)象。這說(shuō)明在對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板中，開(kāi)裂的縫長(zhǎng)是產(chǎn)生模態(tài)交叉非常重要的因素。

另外，本研究將對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂板和無(wú)開(kāi)裂板的固有頻率作對(duì)比發(fā)現(xiàn):對(duì)于(m，n)階模態(tài)，當(dāng)m 是奇數(shù)時(shí)，頻率變化不大;當(dāng)m 是偶數(shù)時(shí)，頻率變化很明顯。也就是說(shuō)，當(dāng)開(kāi)裂處于振型的波峰或者波谷位置時(shí)，開(kāi)裂對(duì)板的固有頻率的影響較小，但在節(jié)線(位移為零)位置時(shí)對(duì)頻率的影響達(dá)到較大。這是因?yàn)殚_(kāi)裂在節(jié)線位置時(shí)，有兩方面對(duì)振型產(chǎn)生影響:

圖5 ζ=96%時(shí)板的前4 個(gè)模態(tài)振型圖

一方面是對(duì)振型函數(shù)在此處的斜率最大，以x 方向?yàn)槔捎诹芽pΔx 存在，所以振型函數(shù)變化量ΔXm(x)最大;

另一方面是當(dāng)板無(wú)開(kāi)裂時(shí)，節(jié)線兩邊的振動(dòng)在方向相反的內(nèi)應(yīng)力作用下使得節(jié)線處的位移為零，而當(dāng)幾乎完全開(kāi)裂時(shí)裂縫的邊界處失去了另外一側(cè)應(yīng)力的約束，使得裂縫兩側(cè)的板產(chǎn)生背向振動(dòng)，導(dǎo)致位移變化較大，如圖5(d)中4-1 模態(tài)振型，裂縫兩側(cè)為振動(dòng)幅值最大值。

因此，對(duì)于同一個(gè)位置，不同振型函數(shù)的影響不同，說(shuō)明開(kāi)裂中心在節(jié)線上或者附近是產(chǎn)生模態(tài)交叉現(xiàn)象重要的因素之一。

2．3 不對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板的固有頻率變化與模態(tài)交叉

如圖2(b)中XOY 坐標(biāo)系所示，設(shè)薄板裂縫開(kāi)裂中心的坐標(biāo)為(205 mm，260 mm)，開(kāi)裂直縫平行于短邊，薄板的其他參數(shù)與2．2 節(jié)中算例的參數(shù)相同。前11 個(gè)固有頻率隨開(kāi)裂長(zhǎng)度比ζ 的變化曲線如圖6所示。

圖6 不對(duì)稱(chēng)開(kāi)裂薄板前11 個(gè)固有頻率fmn隨開(kāi)裂長(zhǎng)度比ζ 的變化

同樣由圖6 可知，各階模態(tài)的固有頻率都有所降低，符合公式(4)中的趨勢(shì)。根據(jù)固有頻率變化的規(guī)律可以分為3 個(gè)級(jí)別:

①頻變級(jí)。如4-1 模態(tài)、4-2 模態(tài)、5-1 模態(tài);

②影響級(jí)。如3-1 模態(tài)、1-3 模態(tài)、3-2 模態(tài)等;

③微影響級(jí)。如1-1 模態(tài)、2-1 模態(tài)、1-2 模態(tài)、2-2模態(tài)、2-3 模態(tài)等。

模態(tài)交叉圖如圖7(a)所示。數(shù)據(jù)來(lái)源于圖6 的模態(tài)交叉區(qū)2，選取當(dāng)44%≤ζ≤56%時(shí)，f22幾乎沒(méi)有發(fā)生變化，穩(wěn)定在106 Hz 左右，而f41卻從117 Hz 減小到99 Hz，發(fā)生了模態(tài)交叉。

模態(tài)交叉圖如圖7(b)所示。數(shù)據(jù)來(lái)源于圖6 中模態(tài)交叉區(qū)3，選取當(dāng)56%≤ζ≤68%時(shí)，f12變化不大，穩(wěn)定在90 Hz 左右，而f41從96 Hz降低至87 Hz，從而發(fā)生了模態(tài)交叉現(xiàn)象。

在上述兩種算例中，薄板的4-1 模態(tài)和6-1 模態(tài)，由于開(kāi)裂中心都在節(jié)線上或者附近，隨著ζ 增大，振型函數(shù)改變較大，容易產(chǎn)生模態(tài)交叉現(xiàn)象。

同時(shí)與2．2 節(jié)算例相比表明，開(kāi)裂位置不同時(shí)，隨著ζ 增大，都能產(chǎn)生類(lèi)似的模態(tài)交叉。這表明模態(tài)交叉不是孤例，具有廣泛的存在，尤其在高階模態(tài)中，因此該研究結(jié)果對(duì)有通透開(kāi)裂的板結(jié)構(gòu)的檢測(cè)和模態(tài)分析具有重要理論意義。

3 結(jié)束語(yǔ)

本研究通過(guò)對(duì)具有通透開(kāi)裂矩形薄板的有限元仿真，計(jì)算和分析了不同開(kāi)裂長(zhǎng)度條件下，薄板固有頻率的變化規(guī)律和模態(tài)交叉現(xiàn)象，得到以下結(jié)論:

(1)隨著開(kāi)裂長(zhǎng)度的增大，由于板的剛度降低，矩形板的固有頻率呈現(xiàn)降低趨勢(shì);另外，固有頻率fmn隨開(kāi)裂長(zhǎng)度比的變化ζ 呈‘z’字形規(guī)律。依據(jù)固有頻率的變化規(guī)律，固有頻率變化的幅度可分為3 個(gè)級(jí)別:頻變級(jí)、影響級(jí)和微影響級(jí)。處于頻變級(jí)階段中的模態(tài)，易發(fā)生模態(tài)交叉現(xiàn)象。

(2)通透開(kāi)裂縫的長(zhǎng)度和開(kāi)裂中心位于模態(tài)節(jié)線上或者節(jié)線附近是產(chǎn)生模態(tài)交叉的重要因素。

(3)薄板的4-1 模態(tài)和6-1 模態(tài)，由于開(kāi)裂中心都在模態(tài)節(jié)線上或者節(jié)線附近，隨著ζ 增大，產(chǎn)生了模態(tài)交叉現(xiàn)象。模態(tài)交叉現(xiàn)象的獲取，可成為薄板開(kāi)裂的檢測(cè)和模態(tài)分析技術(shù)的重要理論依據(jù)。

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