大維廣義Beta矩陣極限譜分布函數(shù)

買吐地·拜爾地，胡 江

（1.和田師范?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，新疆 和田848000；2.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長春130024）

1 預(yù)備知識

多元統(tǒng)計(jì)分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要分支，在社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、氣象學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各個(gè)行業(yè)都可以收集、儲存大量的數(shù)據(jù)信息資料，然而經(jīng)典多元統(tǒng)計(jì)分析的理論卻隨著數(shù)據(jù)維數(shù)的增加表現(xiàn)得越來越差，甚至根本無法應(yīng)用.這就要求人們研究一些新的理論方法去處理大維數(shù)據(jù)，正是在這樣的背景下隨機(jī)矩陣?yán)碚搼?yīng)運(yùn)而生.

隨機(jī)矩陣起源于20世紀(jì)50年代，當(dāng)時(shí)物理學(xué)家們在量子力學(xué)中發(fā)現(xiàn)重核子能級結(jié)構(gòu)可以用隨機(jī)矩陣的特征根表達(dá)，后來在1955年及1958年，數(shù)學(xué)物理學(xué)家、物理諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Wigner教授得到這類矩陣特征根經(jīng)驗(yàn)分布的極限分布，也被稱為半圓律［1－2］.1967年，Marˇcenko和Pastur給出了經(jīng)典樣本協(xié)方差矩陣的極限譜分布函數(shù)［3］，這也被后人稱為M－P律.通常我們假設(shè)樣本｛Xi｝為一列獨(dú)立同分布的p 維隨機(jī)實(shí)列向量，i＝1，…，n，并且Xi中元素｛xij｝獨(dú)立且滿足期望為0，方差為1.稱矩陣

為樣本協(xié)方差矩陣.假設(shè)｛Yi｝為另外一列與｛Xi｝獨(dú)立的獨(dú)立同分布的p 維隨機(jī)實(shí)列向量，i＝1，…，N，類似的Yi中元素｛yij｝獨(dú)立且滿足期望為0，方差為1，Hn為一個(gè)p×p 非隨機(jī)正定對稱矩陣.那么記

叫作矩陣A 的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù).這里的δ（·）表示示性函數(shù).此時(shí)我們可以定義廣義Beta矩陣.

定義1（廣義Beta矩陣） 將型為Bn＝Sn（Sn＋αnTN）－1的矩陣稱為廣義Beta矩陣，其中αn是任意非隨機(jī)正常數(shù).

我們主要考慮當(dāng)｛p，n，N｝→∞，隨機(jī)矩陣Bn＝Sn（Sn＋αnTN）－1的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)，即FBn 的極限.

Beta矩陣在多元分析中有很多的應(yīng)用領(lǐng)域，比如檢驗(yàn)多個(gè)總體協(xié)方差矩陣是否相等、多元方差分析、檢驗(yàn)幾組向量的獨(dú)立性、典則相關(guān)分析等等.一般情況下只要是涉及比較兩個(gè)或多個(gè)總體的關(guān)系時(shí)，往往會用到Beta矩陣，實(shí)際上非常多的研究成果都涉及Beta矩陣［3－6］.

記｛z1（1），…，zn（1）｝為一組p 維獨(dú)立同分布隨 機(jī) 向 量，｛z1（2），…，zN（2）｝是 另 外 一組p 維 獨(dú) 立 同分布隨機(jī)向量.令μi＝E（z1（i））＝0 以 及Σi＝Var（z1（i）），i＝1，2.那 么 假 設(shè) 各 自 滿 足zj（1）＝Σ11／2X（·，j）以 及zj（2）＝其中X（·，j）（X（·，j））表示Xn（XN）的第j列.我們要做的是檢驗(yàn)

在原假設(shè)H0下

其中cn＝n／（n＋N），cN＝N／（n＋N），αn＝N／n.顯然以上所有的檢驗(yàn)函數(shù)都是Beta矩陣Bn的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)的線性函數(shù).若Hn＝In為單位陣，白志東等在文獻(xiàn)［7］給出此時(shí)Beta矩陣的極限譜分布函數(shù)的形式及其線性譜統(tǒng)計(jì)量的中心極限定理.這給大維檢驗(yàn)問題提供了一種理論支持，但是該理論可以得到檢驗(yàn)函數(shù)的置信水平，卻無法得到準(zhǔn)確的勢函數(shù).為彌補(bǔ)這一不足，我們進(jìn)行了研究，得到一些有益的結(jié)論.

2 主要結(jié)果

定義2（Stieltjes變換） 對任意定義在實(shí)數(shù)軸上的有界變差函數(shù)G，函數(shù)

稱為函數(shù)G 的Stieltjes變換.

定理1 在Beta矩陣定義的基礎(chǔ)上假設(shè)滿足條件：

（ⅰ）αn→α＞0，p／n→βx＞0.

（ⅱ）p／N→βy＞0

（ⅲ）supnE｜x11｜4＜∞，supNE｜y11｜4＜∞.

（ⅳ）｛Hn｝是一列p×p 厄爾米特矩陣，滿足依概率1譜范數(shù)有界，并且｛Hn｝的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)幾乎處處收斂到非隨機(jī)分布函數(shù)H.

（ⅴ）矩陣｛Sn＋αnTN｝的最小特征根隨著n→∞幾乎處處收斂到一個(gè)正常數(shù).

由定理1及文獻(xiàn)［7］的定理1.1，我們可以直接得到如下結(jié)論：

3 定理證明

引理1［8］記A 與B 是兩個(gè)p×n矩陣.那么有

及

其中L（·，·）表示Lévy距離.

引理2［9］對任意隨機(jī)矩陣An，令FAn 和sFAn（z）分別表示它的經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)及經(jīng)驗(yàn)譜分布函數(shù)的Stieltjes變換.那么，如果依概率1，F(xiàn)An 是緊的，并且對z∈C＋，隨著n 趨于無窮時(shí)，sFAn（z）幾乎處處收斂到sF（z）.那么存在一個(gè)以sF（z）為其Stieltjes變換的非隨機(jī)分布函數(shù)F，使得當(dāng)n趨于無窮時(shí)，F(xiàn)An幾乎處處弱收斂到F.

引理3［10］令G 是一個(gè)有界變差函數(shù)，x0∈R.如果存在，記作?sG（x0），那么G 在x0可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)是π－1?sG（x0）.

由引理2我們知道要證明定理1只需要三個(gè)步驟：（1）｛FBn｝是幾乎處處緊的其中s滿足方程（1）；（3）方程（1）在C＋上解唯一.

步驟1 對任意實(shí)數(shù)t1，t2≥0，我們可以得到

由于在定理1的假設(shè)條件下，我們知道FSn 幾乎處處收斂到M－P分布Fymp（參見文獻(xiàn)［3］），并且密度函數(shù)可以表示為

如果y＞1，那么Fymp在原點(diǎn)具有質(zhì)量為1－1／y.其中所以｛FSn｝是幾乎處處緊的.

另外，由定理1的條件（ⅴ），（2）式的第二項(xiàng)使得當(dāng)n足夠大時(shí)可以任意小，那么如果令1／t小于矩陣｛Sn＋αnT｝的最小特征根，即可得｛FBn｝是幾乎處處緊的.

步驟2 由Stieltjes的定義，對z∈C＋，

利用性質(zhì)Bn與S1／2n（Sn＋αnTN）－1S1／2n有相同的特征根.記Bε＝Sn（Sn＋αnTN＋εI）－1，其中ε＞0足夠小.再由引理1我們得到

容易驗(yàn)證

由定理1中條件（ⅴ）幾乎處處有

進(jìn)一步有

下面考慮Bε的極限譜分布函數(shù).由于矩陣αnTN＋εI 對于任意ε＞0是可逆的，所以有

其中

由此可得

Silverstein在文獻(xiàn)［11］得到對z∈C＋，矩陣的極限譜分布函數(shù)（非隨機(jī)）的Stieltjes變換，記為s＾ε（z），滿足方程

其中Kε表示（αnT＋εI）－1的極限譜分布函數(shù).由于?（z／（1－z））＝｜1－z｜2?z＞0，所以由（5）式我們得到sFBε（z）幾乎處處收斂到一個(gè)非隨機(jī)的極限sε（z），并且滿足方程

再根據(jù)Kε與K 的定義

所以令ε→0得

其中sT（z）表示分布函數(shù)K（x）的Stieltjes變換.再次利用Silverstein在文獻(xiàn)［8］的結(jié)果可以得到

所以得到方程（1）.

步驟3 由于文獻(xiàn)［11］中已經(jīng)證明方程（7）在C＋解唯一.那么根據(jù)引理3，我們得到分布函數(shù)K（x）在幾乎處處意義下唯一，再根據(jù)文獻(xiàn)［7］中定理2.3就得到了方程（6）在C＋中解唯一的結(jié)論.綜上所述，定理1得證.

4 模擬結(jié)果

我們的模擬數(shù)據(jù)均來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但是需要注意的是非正態(tài)數(shù)據(jù)的結(jié)果與此類似.首先假定H＝I，那么可以得到推論1.模擬結(jié)果中p＝3 000，n＝5 000以及N＝6 000.通過圖1可以看出擬合的效果非常明顯.

圖2直方圖中的H 是對角線元素為1 000 個(gè)1 與2 000 個(gè)15 的對角陣.首先我們可以看出在0.2～0.3之間有一個(gè)小區(qū)間沒有特征根出現(xiàn)，這也就是所謂的絕對分離定理，也是我們今后將研究的問題.另外由于矩陣H 變得復(fù)雜以后，極限譜分布函數(shù)的密度函數(shù)f（x）的顯示表達(dá)式很難給出，這部分內(nèi)容可以參看文獻(xiàn)［11－12］，所以圖2沒有給出極限譜密度函數(shù)圖像.

圖1 H＝I時(shí)，廣義Beta矩陣極限譜分布密度函數(shù)

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