半群POPn的理想的極大正則子半群

趙 頤，游泰杰，陳云坤

（貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州 貴陽550001）

1 預備知識

設Xn＝｛1，2，…，n｝，并賦予自然序.Pn和Tn分別為Xn上的部分變換半群和全變換半群.對α∈Pn，若對任意x，y∈dom（α），x≤y?xα≤yα，則稱α是保序的.設c＝（c1，c2，…，ct）是一個序列，其中c1，c2，…，ct∈Xn，t≥1（當t＝0時，c表示空序列），若至多存在一個i∈｛1，2，…，t｝，使得ci＞ci＋1（當i＝t時，ct＋1＝c1），則稱c是一個圈.設α∈Pn且dom（α）＝｛a1＜a2＜…＜at｝，其中t≥1，若（a1α，…，atα）是一個圈，則稱α是方向保序的.設POn和POPn分別為Pn中的所有保序部分變換之集和所有方向保序部分變換之集，則POn和POPn都是Pn的子半群，稱POn和POPn分別為保序部分變換半群和方向保序部分變換半群.令On＝POn∩Tn且OPn＝POPn∩Tn，則On和OPn都是Tn的子半群，稱On和OPn分別為保序全變換半群和方向保序全變換半群.

變換半群具有某種性質的極大子半群的研究是近十幾年半群理論研究中的熱點問題之一［1－9］.特別地，2002年，游泰杰得到了全變換半群Tn和部分變換半群Pn的理想的極大正則子半群的完全分類［2］，2011年，趙平與游泰杰研究了方向保序全變換半群OPn的理想的極大正則子半群的結構和分類［4］；Dimitrova與Koppitz得到了保序全變換半群On的理想的極大正則子半群的完全分類［10］.在上述工作的基礎上，本文將考慮方向保序部分變換半群POPn的理想的極大正則子半群的結構和分類.

由文獻［11］知，POPn中的Green關系刻畫為：對任意α，β∈POPn，αLβ當且僅當im（α）＝im（β）；αRβ當且僅當ker（α）＝ker（β）；αJβ當且僅當｜im（α）｜＝｜im（β）｜，D＝J.設J0為空變換所構成的集合.對1≤r≤n，記Jr＝｛α∈POPn：｜im（α）＝r｝，則POPn有n＋1 個J－類J0，J1，…，Jn.令POP（n，r）＝｛α∈POPn：｜im（α）｜≤r｝，則且POP（n，0）?POP（n，1）?…?POP（n，n－1）?POP（n，n）＝POPn為理想鏈.POPn的每一個主因子是一個Rees商半群POP（n，r）／POP（n，r－1），記為Pr.為方便起見，可把Pr看成Jr∪｛0｝，即Pr＝Jr∪｛0｝，其乘法定義為：如果αβ∈Jr，α·β＝αβ，否則，α·β＝0.Pr對乘法做成一個完全0－單半群.關于完全0－單半群，有下述兩個熟知事實：

引理1.1［4］設x，y 是完全0－單半群中兩個非零元，則xy≠0當且僅當Lx∩Ry中含有冪等元.此時，xy∈Ly∩Rx.當Lx∩Ry中含有冪等元時，xRy＝Rx，Lxy＝Ly，LxRy＝S＼｛0｝；否則，xRy＝Lxy＝LxRy＝｛0｝.

設U 是半群S 的任意子集，通常用E（U）表示U 中的冪等元之集.對任意a∈S，通常用Ra，La，Ha，Ja分別表示a 所在R－類，K－類，H－類，J－類.本文未定義的術語及記法參見文獻［11－12］.

2 半群POPn 的理想的極大正則子半群

定義2.1［2］設2≤r≤n－1，S是POP（n，r）的正則子半群（S?POP（nr））.若S 滿足：對POP（n，r）的任意正則子半群T，有S?T?T＝POP（n，r），則稱S 是POP（n，r）的極大正則子半群.

引理2.1 設I是正則半群S 的理想，則I是正則的.

證明 設x∈I，則由S 的正則性可得，存在y∈S，使得x＝xyx，且y＝yxy，于是由x∈I及I 是理想，可得y＝yxy∈I，從而y 是x 在I 中的逆元.因此I是正則的.

引理2.2 設2≤r≤n－1，則POP（n，r）是正則半群.

證明 據文獻［13］的命題2.3知，POPn是正則半群.注意到POP（n，r）是POPn的理想.由引理2.1可推得POP（n，r）是正則半群.

引理2.3 設S 是冪等元生成的正則半群，若I是S 的理想，則I也是冪等元生成的正則半群.

證明見文獻［14］的推論1.4.

引理2.4 設n≥3，則POP（n，n－1）＝〈E（Jn－1）〉.

證明見文獻［9］的引理2.4.

引理2.5 設2≤r≤n－1，則POP（n，r）是冪等元生成的正則半群.

證明 注意到POP（n，r）（2≤r≤n－1）是POP（n，n－1）的理想.由引理2.2和引理2.4 可知，POP（n，n－1）是冪等元生成的正則半群，從而由引理2.3 可推得，POP（n，r）是冪等元生成的正則半群.

設0≤r≤n，令

則

引理2.6 設2≤r≤n－1，則PO（n，r）＝〈E（JrPOn）〉.

證明見文獻［15］的引理3.3和文獻［16］的引理3.14.

引理2.7 設2≤r≤n－1，則POP（n，r）＝〈Jr〉.

證明 任意取α∈POP（n，r），則由文獻［10］的推論1.4知，存在β∈POn和i∈｛0，1，…，n｝，使得a＝ɡiβ，其中由ɡ是置換，及α∈POP（n，r），易得β∈PO（n，r），于是由引理2.6可知，存在使得β＝γ1γ2…γs，從而α＝ɡiβ＝（ɡiγ1）γ2…γs.由及（ɡiγ1）∈Jr（因ɡ是置換，及γ1∈JrPOn），可得α∈〈Jr〉.再由α 的任意性可得，POP（n，r）?〈Jr〉，顯然〈Jr〉?POP（n，r）.因此POP（n，r）＝〈Jr〉.

定理2.1 設2≤r≤n－1，則POP（nr）＝〈E（Jr）〉.

證明 由引理2.5 可知，POP（n，r）＝〈E（POP（n，r））〉.任取α∈Jr，則α∈Jr?POP（n，r）＝〈E（PO（n，r））〉，從而存在β1，β2，…，βm∈E（POP（n，r）），使得α＝β1β2…βm.由｜im（α）｜＝r（因α∈Jr）易得｜im（βk）｜＝r（k＝1，…，m），于是β1，β2，…，βm∈E（Jr），從而α＝β1β2…βm ∈〈E（Jr）〉.再由α的任意性可知，Jr?〈E（Jr）〉，從而由引理2.7可知，POP（n，r）＝〈E（Jr）〉.

引理2.8 設S 是正則半群且E（S）是S 的冪等元之集，則對任意a∈S，有Ra∩E（S）≠?，La∩E（S）≠?.

證明見文獻［11］的命題2.3.1與命題2.3.2.

引理2.9 設S是正則半群，a，b∈S，則H－類Hb包含a的逆元的充分必要條件是E（Ra∩Lb）≠?，且E（Rb∩L1）≠?.

證明見文獻［12］的定理2.18.

引理2.10 設2≤r≤n－1，α∈Jr，則｜E（Lα）｜≥2，且｜E（Rα）｜≥1.

證明 設

其中a1＜a2＜…＜ar.令B1＝｛1，…，a1｝，Bi＝｛ai－1＋1，…，ai｝，i＝2，…，r－1，Br＝｛ar－1＋1，…，n｝，且ci＝maxAi，i∈｛1，2，…，r｝.設

則e，f，ɡ∈E（Jr）.由im（e）＝im（f）＝im（α），且ker（ɡ）＝ker（α），可得eLfLαRɡ.因此，｜E（Lα）｜≥2，｜E（Rα）｜≥1.

引理2.11 設2≤r≤n－1，α∈Jr，則存在α的逆元α1，α2，使得（α1，α2）?R，且α1，α2∈Jr.

證明 由引理2.10可知｜E（Rα）｜≥1，且｜E（Lα）｜≥2.設e1，e2∈E（Lα），e1≠e2，f∈E（Rα），則（e1，e2）?R（否則，e1，e2∈Hα，與每個H－類至多包含一個冪等元矛盾，見文獻［11］的推論2.2.6）.注意到eiLαRf，i＝1，2.由引理2.9可得Re1∩Lf和Re2∩Lf都包含α 的逆元.不妨分別設為α1與α2，則eiRαi（i＝1，2），從而（α1，α2）?R.由αiReiLα可知，αiJα，從而｜im（αi）｜＝｜im（α）｜＝r.因此αi∈Jr.

引理2.12 設2≤r≤n－1，α∈Jr，則Mα＝POP（n，r－1）∪（Jr＼Rα）是POP（n，r）的極大正則子半群.

證明 首先，證明Mα是POP（n，r）的子半群.由引理1.1知，對任意β，γ∈Jr＼Rα，有βγRβ或βγ∈POP（n，r－1）.因此，Mα是POP（n，r）的子半群.

其次，證明Mα是POP（n，r）的正則子半群.任意取β∈Mα.（?。┤籀隆蔖OP（n，r－1），由引理2.2知，POP（n，r－1）是正則的，于是POP（n，r－1）中存在β的逆元，從而β在Mα中存在逆元；（ⅱ）β∈Jr＼Rα，則由引理2.11知，存在β的逆元β1 與β2，使得（β1，β2）?R，且β1，β2∈Jr，從而β1，β2 中至少有一個屬于Mα.因此β是正則的.Mα是POP（n，r）的正則子半群得證.

最后，證明Mα是極大正則子半群.設T 是POP（n，r）的正則子半群，且Mα?T.任意取β∈T＼Mα，則β∈Rα.由引理2.10知，｜E（Lβ）｜≥2，于是存在e∈E（Jr）∩Lβ，使得e?Rα，從而Re?Mα?T.由引理1.1可得，Rα＝Rβ＝βRe?T.因此，T＝POP（n，r）.至此引理2.12得證.

下面為本文的主要結果.

定理2.2 設2≤r≤n－1，則POP（n，r）的極大正則子半群有且僅有如下形式：

證明 設A1，A2，…，Am是Xn的所有基數為r 的子集，其中m＝Cnr.記

其中i＝1，2，…，m，則R（A1），R（A2），…，R（Am）是Jr的一些互不相同的R－類.對任意j∈｛1，2，…，m｝，顯然有｜E（R（Aj））｜＝1.我們用εj表示R類R（Aj）中唯一的冪等元（事實上，εj是Aj上的恒等變換）.

由引理2.12可知，Mα是POP（n，r）的極大正則子半群.我們將用反證法證明POP（n，r）的極大正則子半群僅有定理2.2中的形式.假設S 是POP（n，r）的極大正則子半群，且不是定理中的形式，則

否則，存在α∈Jr，使得Rα?Jr＼S，于是Mα是POP（n，r）的包含S 的正則子半群，由S 的極大性可得S＝Mα，這與S 不是定理2.2中的形式矛盾.我們斷言

事實上，如果存在α∈Jr，使得La?Jr＼S.設im（α）＝Ai，考察R－類R（Ai）中唯一的冪等元εi，則εi∈E（R（Ai））∩Lα，于是εi?S，從而S∩Rεi＝?；否則，由S 的正則性及引理2.8可推出R（Ai）中唯一的冪等元εi∈S，與條件（2.1）矛盾.

我們將證明E（Jr）?E（S）.假設E（Jr）＼E（S）≠?.任意取e∈E（Jr）＼E（S）?Jr.由條件（2.1）及（2.2）可知，S∩Le≠?，S∩Re≠?.任意取β∈S∩Le，γ∈S∩Re，由引理2.8 及S 的正則性可得，Lβ∩E（S）≠?，Rγ∩E（S）≠?，進而存在f∈E（S）∩Lβ＝E（S）∩Le，ɡ∈E（S）∩Rγ＝E（S）∩Re，使得f，ɡ?He（因為e?E（S））.再由引理1.1可得，fɡ∈S∩Rf∩Lɡ（因為e∈E（S），且e∈Lβ∩Rγ＝Lf∩Rɡ）.注意到f，ɡ∈E（S），fɡ∈S，fRfɡLɡ.由引理2.9可知，存在fɡ的逆元δ，使得δ∈S∩Lf∩Rɡ＝S∩Lβ∩Rγ＝S∩Le∩Re，從而δ是一個群元素.進而存在自然數n，使得e＝δn∈E（S），與e∈E（Jr）＼E（S）矛盾.因此E（Jr）?E（S）.

由E（Jr）?E（S）及定理2.1可得，S＝POP（n，r），與S 的極大性矛盾.至此定理2.2得證.

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