半群POPn的理想的極大正則子半群

趙 頤，游泰杰，陳云坤

（貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽550001）

1 預(yù)備知識

設(shè)Xn＝｛1，2，…，n｝，并賦予自然序.Pn和Tn分別為Xn上的部分變換半群和全變換半群.對α∈Pn，若對任意x，y∈dom（α），x≤y?xα≤yα，則稱α是保序的.設(shè)c＝（c1，c2，…，ct）是一個序列，其中c1，c2，…，ct∈Xn，t≥1（當(dāng)t＝0時，c表示空序列），若至多存在一個i∈｛1，2，…，t｝，使得ci＞ci＋1（當(dāng)i＝t時，ct＋1＝c1），則稱c是一個圈.設(shè)α∈Pn且dom（α）＝｛a1＜a2＜…＜at｝，其中t≥1，若（a1α，…，atα）是一個圈，則稱α是方向保序的.設(shè)POn和POPn分別為Pn中的所有保序部分變換之集和所有方向保序部分變換之集，則POn和POPn都是Pn的子半群，稱POn和POPn分別為保序部分變換半群和方向保序部分變換半群.令On＝POn∩Tn且OPn＝POPn∩Tn，則On和OPn都是Tn的子半群，稱On和OPn分別為保序全變換半群和方向保序全變換半群.

變換半群具有某種性質(zhì)的極大子半群的研究是近十幾年半群理論研究中的熱點(diǎn)問題之一［1－9］.特別地，2002年，游泰杰得到了全變換半群Tn和部分變換半群Pn的理想的極大正則子半群的完全分類［2］，2011年，趙平與游泰杰研究了方向保序全變換半群OPn的理想的極大正則子半群的結(jié)構(gòu)和分類［4］；Dimitrova與Koppitz得到了保序全變換半群On的理想的極大正則子半群的完全分類［10］.在上述工作的基礎(chǔ)上，本文將考慮方向保序部分變換半群POPn的理想的極大正則子半群的結(jié)構(gòu)和分類.

由文獻(xiàn)［11］知，POPn中的Green關(guān)系刻畫為：對任意α，β∈POPn，αLβ當(dāng)且僅當(dāng)im（α）＝im（β）；αRβ當(dāng)且僅當(dāng)ker（α）＝ker（β）；αJβ當(dāng)且僅當(dāng)｜im（α）｜＝｜im（β）｜，D＝J.設(shè)J0為空變換所構(gòu)成的集合.對1≤r≤n，記Jr＝｛α∈POPn：｜im（α）＝r｝，則POPn有n＋1 個J－類J0，J1，…，Jn.令POP（n，r）＝｛α∈POPn：｜im（α）｜≤r｝，則且POP（n，0）?POP（n，1）?…?POP（n，n－1）?POP（n，n）＝POPn為理想鏈.POPn的每一個主因子是一個Rees商半群POP（n，r）／POP（n，r－1），記為Pr.為方便起見，可把Pr看成Jr∪｛0｝，即Pr＝Jr∪｛0｝，其乘法定義為：如果αβ∈Jr，α·β＝αβ，否則，α·β＝0.Pr對乘法做成一個完全0－單半群.關(guān)于完全0－單半群，有下述兩個熟知事實(shí)：

引理1.1［4］設(shè)x，y 是完全0－單半群中兩個非零元，則xy≠0當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元.此時，xy∈Ly∩Rx.當(dāng)Lx∩Ry中含有冪等元時，xRy＝Rx，Lxy＝Ly，LxRy＝S＼｛0｝；否則，xRy＝Lxy＝LxRy＝｛0｝.

設(shè)U 是半群S 的任意子集，通常用E（U）表示U 中的冪等元之集.對任意a∈S，通常用Ra，La，Ha，Ja分別表示a 所在R－類，K－類，H－類，J－類.本文未定義的術(shù)語及記法參見文獻(xiàn)［11－12］.

2 半群POPn 的理想的極大正則子半群

定義2.1［2］設(shè)2≤r≤n－1，S是POP（n，r）的正則子半群（S?POP（nr））.若S 滿足：對POP（n，r）的任意正則子半群T，有S?T?T＝POP（n，r），則稱S 是POP（n，r）的極大正則子半群.

引理2.1 設(shè)I是正則半群S 的理想，則I是正則的.

證明 設(shè)x∈I，則由S 的正則性可得，存在y∈S，使得x＝xyx，且y＝y(tǒng)xy，于是由x∈I及I 是理想，可得y＝y(tǒng)xy∈I，從而y 是x 在I 中的逆元.因此I是正則的.

引理2.2 設(shè)2≤r≤n－1，則POP（n，r）是正則半群.

證明 據(jù)文獻(xiàn)［13］的命題2.3知，POPn是正則半群.注意到POP（n，r）是POPn的理想.由引理2.1可推得POP（n，r）是正則半群.

引理2.3 設(shè)S 是冪等元生成的正則半群，若I是S 的理想，則I也是冪等元生成的正則半群.

證明見文獻(xiàn)［14］的推論1.4.

引理2.4 設(shè)n≥3，則POP（n，n－1）＝〈E（Jn－1）〉.

證明見文獻(xiàn)［9］的引理2.4.

引理2.5 設(shè)2≤r≤n－1，則POP（n，r）是冪等元生成的正則半群.

證明 注意到POP（n，r）（2≤r≤n－1）是POP（n，n－1）的理想.由引理2.2和引理2.4 可知，POP（n，n－1）是冪等元生成的正則半群，從而由引理2.3 可推得，POP（n，r）是冪等元生成的正則半群.

設(shè)0≤r≤n，令

則

引理2.6 設(shè)2≤r≤n－1，則PO（n，r）＝〈E（JrPOn）〉.

證明見文獻(xiàn)［15］的引理3.3和文獻(xiàn)［16］的引理3.14.

引理2.7 設(shè)2≤r≤n－1，則POP（n，r）＝〈Jr〉.

證明 任意取α∈POP（n，r），則由文獻(xiàn)［10］的推論1.4知，存在β∈POn和i∈｛0，1，…，n｝，使得a＝ɡiβ，其中由ɡ是置換，及α∈POP（n，r），易得β∈PO（n，r），于是由引理2.6可知，存在使得β＝γ1γ2…γs，從而α＝ɡiβ＝（ɡiγ1）γ2…γs.由及（ɡiγ1）∈Jr（因ɡ是置換，及γ1∈JrPOn），可得α∈〈Jr〉.再由α 的任意性可得，POP（n，r）?〈Jr〉，顯然〈Jr〉?POP（n，r）.因此POP（n，r）＝〈Jr〉.

定理2.1 設(shè)2≤r≤n－1，則POP（nr）＝〈E（Jr）〉.

證明 由引理2.5 可知，POP（n，r）＝〈E（POP（n，r））〉.任取α∈Jr，則α∈Jr?POP（n，r）＝〈E（PO（n，r））〉，從而存在β1，β2，…，βm∈E（POP（n，r）），使得α＝β1β2…βm.由｜im（α）｜＝r（因α∈Jr）易得｜im（βk）｜＝r（k＝1，…，m），于是β1，β2，…，βm∈E（Jr），從而α＝β1β2…βm ∈〈E（Jr）〉.再由α的任意性可知，Jr?〈E（Jr）〉，從而由引理2.7可知，POP（n，r）＝〈E（Jr）〉.

引理2.8 設(shè)S 是正則半群且E（S）是S 的冪等元之集，則對任意a∈S，有Ra∩E（S）≠?，La∩E（S）≠?.

證明見文獻(xiàn)［11］的命題2.3.1與命題2.3.2.

引理2.9 設(shè)S是正則半群，a，b∈S，則H－類Hb包含a的逆元的充分必要條件是E（Ra∩Lb）≠?，且E（Rb∩L1）≠?.

證明見文獻(xiàn)［12］的定理2.18.

引理2.10 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則｜E（Lα）｜≥2，且｜E（Rα）｜≥1.

證明 設(shè)

其中a1＜a2＜…＜ar.令B1＝｛1，…，a1｝，Bi＝｛ai－1＋1，…，ai｝，i＝2，…，r－1，Br＝｛ar－1＋1，…，n｝，且ci＝maxAi，i∈｛1，2，…，r｝.設(shè)

則e，f，ɡ∈E（Jr）.由im（e）＝im（f）＝im（α），且ker（ɡ）＝ker（α），可得eLfLαRɡ.因此，｜E（Lα）｜≥2，｜E（Rα）｜≥1.

引理2.11 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則存在α的逆元α1，α2，使得（α1，α2）?R，且α1，α2∈Jr.

證明 由引理2.10可知｜E（Rα）｜≥1，且｜E（Lα）｜≥2.設(shè)e1，e2∈E（Lα），e1≠e2，f∈E（Rα），則（e1，e2）?R（否則，e1，e2∈Hα，與每個H－類至多包含一個冪等元矛盾，見文獻(xiàn)［11］的推論2.2.6）.注意到eiLαRf，i＝1，2.由引理2.9可得Re1∩Lf和Re2∩Lf都包含α 的逆元.不妨分別設(shè)為α1與α2，則eiRαi（i＝1，2），從而（α1，α2）?R.由αiReiLα可知，αiJα，從而｜im（αi）｜＝｜im（α）｜＝r.因此αi∈Jr.

引理2.12 設(shè)2≤r≤n－1，α∈Jr，則Mα＝POP（n，r－1）∪（Jr＼Rα）是POP（n，r）的極大正則子半群.

證明 首先，證明Mα是POP（n，r）的子半群.由引理1.1知，對任意β，γ∈Jr＼Rα，有βγRβ或βγ∈POP（n，r－1）.因此，Mα是POP（n，r）的子半群.

其次，證明Mα是POP（n，r）的正則子半群.任意取β∈Mα.（?。┤籀隆蔖OP（n，r－1），由引理2.2知，POP（n，r－1）是正則的，于是POP（n，r－1）中存在β的逆元，從而β在Mα中存在逆元；（ⅱ）β∈Jr＼Rα，則由引理2.11知，存在β的逆元β1 與β2，使得（β1，β2）?R，且β1，β2∈Jr，從而β1，β2 中至少有一個屬于Mα.因此β是正則的.Mα是POP（n，r）的正則子半群得證.

最后，證明Mα是極大正則子半群.設(shè)T 是POP（n，r）的正則子半群，且Mα?T.任意取β∈T＼Mα，則β∈Rα.由引理2.10知，｜E（Lβ）｜≥2，于是存在e∈E（Jr）∩Lβ，使得e?Rα，從而Re?Mα?T.由引理1.1可得，Rα＝Rβ＝βRe?T.因此，T＝POP（n，r）.至此引理2.12得證.

下面為本文的主要結(jié)果.

定理2.2 設(shè)2≤r≤n－1，則POP（n，r）的極大正則子半群有且僅有如下形式：

證明 設(shè)A1，A2，…，Am是Xn的所有基數(shù)為r 的子集，其中m＝Cnr.記

其中i＝1，2，…，m，則R（A1），R（A2），…，R（Am）是Jr的一些互不相同的R－類.對任意j∈｛1，2，…，m｝，顯然有｜E（R（Aj））｜＝1.我們用εj表示R類R（Aj）中唯一的冪等元（事實(shí)上，εj是Aj上的恒等變換）.

由引理2.12可知，Mα是POP（n，r）的極大正則子半群.我們將用反證法證明POP（n，r）的極大正則子半群僅有定理2.2中的形式.假設(shè)S 是POP（n，r）的極大正則子半群，且不是定理中的形式，則

否則，存在α∈Jr，使得Rα?Jr＼S，于是Mα是POP（n，r）的包含S 的正則子半群，由S 的極大性可得S＝Mα，這與S 不是定理2.2中的形式矛盾.我們斷言

事實(shí)上，如果存在α∈Jr，使得La?Jr＼S.設(shè)im（α）＝Ai，考察R－類R（Ai）中唯一的冪等元εi，則εi∈E（R（Ai））∩Lα，于是εi?S，從而S∩Rεi＝?；否則，由S 的正則性及引理2.8可推出R（Ai）中唯一的冪等元εi∈S，與條件（2.1）矛盾.

我們將證明E（Jr）?E（S）.假設(shè)E（Jr）＼E（S）≠?.任意取e∈E（Jr）＼E（S）?Jr.由條件（2.1）及（2.2）可知，S∩Le≠?，S∩Re≠?.任意取β∈S∩Le，γ∈S∩Re，由引理2.8 及S 的正則性可得，Lβ∩E（S）≠?，Rγ∩E（S）≠?，進(jìn)而存在f∈E（S）∩Lβ＝E（S）∩Le，ɡ∈E（S）∩Rγ＝E（S）∩Re，使得f，ɡ?He（因?yàn)閑?E（S））.再由引理1.1可得，fɡ∈S∩Rf∩Lɡ（因?yàn)閑∈E（S），且e∈Lβ∩Rγ＝Lf∩Rɡ）.注意到f，ɡ∈E（S），fɡ∈S，fRfɡLɡ.由引理2.9可知，存在fɡ的逆元δ，使得δ∈S∩Lf∩Rɡ＝S∩Lβ∩Rγ＝S∩Le∩Re，從而δ是一個群元素.進(jìn)而存在自然數(shù)n，使得e＝δn∈E（S），與e∈E（Jr）＼E（S）矛盾.因此E（Jr）?E（S）.

由E（Jr）?E（S）及定理2.1可得，S＝POP（n，r），與S 的極大性矛盾.至此定理2.2得證.

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