Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間的有界性

周淑娟

（青島大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東 青島266071）

Hardy空間的理論是調(diào)和分析的主要內(nèi)容.隨著對Hardy空間的原子和分子刻畫的研究，奇異積分算子在其上的有界性問題有了長足的發(fā)展.由于加權(quán)Hardy空間的原子和分子刻畫的出現(xiàn)，使得對奇異積分算子在加權(quán)Hardy空間上有界性的討論有了更簡潔的方法［1－5］.

文獻(xiàn)［6］定義了高維的Marcinkiewicz積分算子μΩ，并證明了若Ω 滿足球面Sn－1上的Lipγ（0＜γ≤1）條件，那么算子μΩ 是弱（1，1）型和強(qiáng)（p，p）型的，1＜p＜2.文獻(xiàn)［7］得到若Ω 在Sn－1上是連續(xù)可微的，則算子μΩ 是（p，p）型（1＜p＜∞）的結(jié)論.文獻(xiàn)［8］證明了Ω∈H1（Sn－1）時，μΩ 在Lp（Rn）（1＜p＜∞）上有界.文獻(xiàn)［9］則得到了Marcinkiewicz積分算子μΩ 是從H1（Rn）到L1（Rn）和從H1，∞（Rn）到L1，∞（Rn）有界的結(jié)論.文獻(xiàn)［10］證明了Marcinkiewicz積分μΩ是（Hp，Lp）型和（Hp，∞，Lp，∞）型的算子（0＜p＜1）.文獻(xiàn)［11］研究了Marcinkiewicz積分算子的加權(quán)有界性.

基于以上的研究，本文討論了函數(shù)Ω∈Lipγ（Sn－1）時，Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間的有界性問題，借助于權(quán)函數(shù)的性質(zhì)及不等式估計，證明了Marcinkiewicz積分在加權(quán)Hardy空間上是有界的.

1 基本知識和理論

記Sn－1為Rn上的單位球面，其標(biāo)準(zhǔn)Lebesgue測度為dσ，設(shè)Ω 為Rn上的零次齊次函數(shù)，滿足Ω∈L1（Sn－1），且

Marcinkiewicz積分算子μΩ 定義為

其中

稱Ω 滿足Lipγ（0＜γ≤1）條件，是指存在常數(shù)C＞0，對任意的x′，y′∈Sn－1有

Ap（1≤p＜∞）權(quán)函數(shù)的定義參見文獻(xiàn)［12－13］用Lpω（Rn）表 示空 間Lp（Rn，ω（x）dx），且

定義1［1］設(shè)ω∈A∞（Rn），且0＜p≤1.加權(quán)Hardy空間Hpω（Rn）定義為Hpω（Rn）＝｛f∈S′（Rn）；其中φ∈S（Rn）為固定函數(shù)且t＞0.進(jìn)一步定義‖f‖Hpω（Rn）＝‖φ＊（f）‖Lpω（Rn）.

定義2［1］設(shè)稱Lqω（Rn）中的函數(shù)a（x）是一個ω－（p，q，s）原子，如果滿足：

（1）supp a?Q，Q 是Rn上以x0為中心的方體；

（2）‖a‖Lqω（Rn）≤ω（Q）1／q－1／p；

定義3［3］設(shè)0＜p≤1≤q≤∞，p≠q，qω＝inf｛q≥1；ω∈Aq｝，rω≡｛r＞1：ω 滿足r 階反向H?lder不等式｝，s≥s0，ε＞max｛srω（rω－1）－1n－1＋（rω－1）－1，1／p－1｝，a1＝1－1／p＋ε，b＝1－1／q＋ε，s0＝稱Lqω（Rn）中的函數(shù)M 是一個中心x0的ω－（p，q，s，ε）分子，如果滿足：

加權(quán)Hardy空間的原子和分子分解如下：

引理1［1］令ω∈Aq，則每個ak（x）都是一個ω－（p，q，s）原子進(jìn)一步其中下確界取遍f 的所有分解.

引理2［3］令ω∈Aq，則每個Mk（x）都是一個ω－（p，q，s，ε）原 子進(jìn)一步其中下確界取遍f 的所有分解.

引理3［11］設(shè)1＜q＜∞，μΩ是Marcinkiewicz積分算子，則μΩ是Lq上的加權(quán)有界算子.

2 結(jié)論及其證明

本文的主要結(jié)果如下：

證明 只需證明，存在常數(shù)C＞0，使得對每一個ω－（p，2，s）原子a（x），μΩ 是一個中心ω －（p，2，s，ε）分子即可.由題設(shè)可知消失距條件成立，下面驗(yàn)證大小條件.

首先，由引理3，即μΩ的L2ω有界性，以及原子的大小條件知

對于另一部分，有

對于I1，同樣由μΩ 的L2ω有界性及原子的大小條件得

再估計I2.

對于I21，因 為 當(dāng)x∈（2Q）c，y∈Q 時，有注意到當(dāng)0＜γ≤1 時，Lipγ（Sn－1）?L∞（Sn－1），由Jensen不等式，以及a（y）的大小條件有

對于I22，因?yàn)棣福▁）滿足Lipschitz條件，并且0＜γ≤1，所以有

從而，利用a（y）的消失距等條件，有

這就證明了

又因?yàn)?/p>

所以

定理得證.

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