一類具有1∶－3共振奇點的復(fù)七次系統(tǒng)的可積性條件

桑 波

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城252059）

1 研究背景

當(dāng)線性孤立奇點是中心時，其非線性項的影響可使相圖是非退化中心，或穩(wěn)定焦點，或不穩(wěn)定焦點，這類判定問題稱為中心焦點問題.自1904年H.Dulac研究二次系統(tǒng)的中心判定以來，中心焦點問題受到一些學(xué)者的廣泛關(guān)注.它對Arnold問題、可積性問題和Hilbert第16問題后半部分的解決都具有重要意義.N.N.Bautin完整解決了二次系統(tǒng)的中心焦點判定問題；K.S.Sibirskii解決了缺少二次項的三次系統(tǒng)的中心判定問題；A.P.Sadovskii和T.V.Shcheglova利用Cherkas方法解決了一類可約化為Liéard系統(tǒng)的三次系統(tǒng)的中心判定問題［1］.但對于一般三次及三次以上系統(tǒng)，目前還沒有徹底的結(jié)論.

H.Zoladek將中心問題推廣到具有p∶－q共振奇點的復(fù)多項式微分系統(tǒng)［2］

其中p，q∈N；（p，q）＝1；x，y，t∈C.而且

盡管對于p∶－q＝1∶－1，p∶－q＝1∶－2，p∶－q＝1∶－3，p∶－q＝2∶－3，p∶－q＝1∶－q等情形下的特殊多項式系統(tǒng)的可積性問題，已有大量的研究成果［3－10］，但對于高次多項式系統(tǒng)的可積性問題，仍需作進(jìn)一步的研究.

對于系統(tǒng)（1），由文獻(xiàn)［11］，可逐項確定形式冪級數(shù)

使得

其中Wn稱為系統(tǒng)（1）在原點的第n階廣義奇點量，其計算方法見文獻(xiàn)［12］.

引理1［13］系統(tǒng)（1）在原點可積的充要條件是該系統(tǒng)存在如（2）式的形式首次積分.

2 主要結(jié)果及其證明

考慮一類以原點為1∶－3共振奇點的復(fù)七次系統(tǒng)

通過計算，我們得到系統(tǒng)的前9階廣義奇點量W1，W2，…，W9.其中：

定理1 系統(tǒng)（4）在原點可積的充要條件是下列八組條件之一成立：

證明 必要性只需在次數(shù)反字典序tdeg （a3，b3，a2，b2，a1，b1）下，計算前9 階廣義奇 點量的Gr?bner基［14］

然后使用無特征集法對多項式組G 進(jìn)行完全零點分解，便得到定理中的8組系數(shù)條件.

充分性 條件（1）成立時，系統(tǒng)（4）化為

當(dāng)vn－6（x），vn－3（x）取定時，上述遞推公式是關(guān)于未知函數(shù)vn（y）的一階線性方程.令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通過逐項求解，我們依次得到

然后通過數(shù)學(xué)歸納法和遞推公式，不難證明vn（x）是次數(shù)為3n 的多項式.因此系統(tǒng)（5）具有形式首次積分，由引理1，系統(tǒng)是可積的.

當(dāng)條件（2）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（3）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

令v－5（x）＝v－4（x）＝…＝v0（x）＝0，通過逐項求解，我們依次得到

當(dāng)條件（4）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（5）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（6）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（7）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

當(dāng)條件（8）成立時，系統(tǒng)（4）變?yōu)?/p>

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