沿軸向飛行粘彈性夾層梁熱彈耦合振動響應(yīng)分析*

王金梅 李映輝

(1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031)(2.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

引言

隨著飛行器速度的提高，氣動加熱現(xiàn)象嚴(yán)重，因此在高速飛行結(jié)構(gòu)中的局部熱彈耦合振動問題備受關(guān)注［1-2］.溫度場的不均勻變化使結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)溫度梯度，較高溫度梯度會引起熱應(yīng)變和熱應(yīng)力從而使結(jié)構(gòu)的振動特性發(fā)生改變，熱彈耦合動力學(xué)就是研究溫度場和應(yīng)變場耦合時彈性體的動力學(xué)行為.

關(guān)于熱對結(jié)構(gòu)振動的影響，一些學(xué)者用不同的方法對非耦合［3-6］和耦合［7-10］振動特性和響應(yīng)進(jìn)行了研究.同時，由熱彈性引起的阻尼也是各種阻尼器［11-13］工作中能量損失的一個重大部分.這些問題的計算相當(dāng)?shù)貜?fù)雜，在對計算精度要求不高的情況下，可以不考慮耦合項，只把熱效應(yīng)以等效載荷的形式作用于振動方程［14-15］.在對計算精度要求高的結(jié)構(gòu)設(shè)計中，熱彈耦合作用不能忽略，必須同時求解熱傳導(dǎo)方程和振動方程，關(guān)于耦合求解，一些學(xué)者通過將離散的控制方程轉(zhuǎn)化為模態(tài)坐標(biāo)以減少求解方程的數(shù)目［4-6］，并且認(rèn)為沿結(jié)構(gòu)長度和厚度方向溫度均勻分布.然而由于熱傳導(dǎo)的速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于彈性波的傳播速度，采用上述方法要同時得到熱彈耦合振動方程的解相當(dāng)困難，需要大量的計算時間，而且可能得不到收斂解.針對這個問題，Emil［16］結(jié)合有限差分法和模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法，推導(dǎo)了一種新的數(shù)值方法，分析了承受機械載荷和熱載荷的梁的大幅熱彈耦合振動問題.目前粘彈性夾層結(jié)構(gòu)在航天航空領(lǐng)域也得到廣泛的應(yīng)用，但對于這類結(jié)構(gòu)在飛行狀態(tài)下的熱彈耦合響應(yīng)研究較少.

本文將基于Emil發(fā)展的數(shù)值方法，結(jié)合伽遼金法對承受機械載荷及熱沖擊載荷的軸向飛行粘彈性夾層梁的振動響應(yīng)和溫度分布進(jìn)行研究.

1 基本方程

圖1為粘彈性夾層梁幾何模型，長L，寬b，上下約束層彈性模量E，厚度均為h/2，密度ρ，中間粘彈性軟夾層彈性模量E'，密度ρ'，厚度H，粘性常數(shù)η.梁沿x方向的軸向飛行速度為v，且不考慮軸向慣性力的影響.

圖1 梁的幾何尺寸和坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.1 The viscoelastic sandwich beam dimensions and coordinate system

小變形情況下，考慮溫度效應(yīng)時，約束層和夾層的幾何方程分別為

本構(gòu)方程分別為

式中ΔT=T-T0，T=T(x，z，t)(假設(shè)溫度在y方向均勻分布)為瞬時溫度，T0為初始溫度，α、α'分別為約束層和夾層材料的熱膨脹系數(shù)，w=w(x，t)為梁在z方向的位移，w，(·)表示w對(·)求偏導(dǎo).梁截面彎矩

式中I1、I2、I3分別為梁上中下三層對y軸的慣性矩.Mt為熱力矩，定義為

式中δ1=bαE，δ2=bα'E'.

在載荷激勵F(x，t)作用下描述沿軸向飛行夾層梁的溫度分布和振動問題的方程為

式(1)和(3)代入式(5)得由位移場和溫度場表示的控制方程

式中，A1=EI1+EI3+E'I2，A2=ηI2，A3=A(ρh+ρ'H)/(h+H).

2 邊界方程和初始條件

假設(shè)梁的下表面以及x=0和L的兩端面絕熱，在梁的上表面作用有一集度為Q(x，t)的熱流.則熱邊界方程和界面方程為

式中dt為對流傳熱系數(shù)，t0為熱流持續(xù)時間.對自由梁，邊界條件為(其它邊界可同樣處理)

初始條件

3 數(shù)值求解方法

3.1 振動方程求解

設(shè)振動方程(6c)的位移解為

式中，wn(x)為滿足邊界條件的特征函數(shù)，qn(τ)為模態(tài)坐標(biāo)，Nf為模態(tài)截斷階數(shù).

將(10)代入(6c)中，兩端同乘以wn(x)后對x在［0，L］上積分得

M、D、K分別定義為廣義質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣，在每一時間步內(nèi)的虛加荷載{F-G}可由以時間為變量的二次多項式插值得到［16］:

定義

式中，A、B和C是關(guān)于Fi、Gi(i=0～2)的表達(dá)式.mLt代表Lt時間間隔內(nèi)的一個中間點.則式(11)可寫為

式中，

由方程(9)定義的初始條件轉(zhuǎn)換為關(guān)于qn(0)和(0)的形式:

求解方程組(14)得每一時間步［ti，ti+1］內(nèi)的qn(t)，代入式(10)得到位移解.

3.2 熱傳導(dǎo)方程的離散和求解

用中心差分法對方程(6a，6b)進(jìn)行空間離散，得到

式中i=1，…，Nx，j=1，…，Nz，j'=1，…，N_z，Δx=L/(Nx-1)，Δz=H/(Nz-1)，Δz'=H/(N_z-1)，a1=a/［1+α2ET0/ρCv］，a2=a1，a3=α/［ρCv+α2ET0］，a'1=a'/［1+α'2E'T0/ρ'C'v］，a'2=a'1，a'3=α'/［ρ'C'v+α'2E'T0］.Nx、Nz、N_z分別為沿x軸及沿z軸約束層和夾層所取離散點的數(shù)目.

初始條件和熱邊界的離散形式為

式中i=1，…，Nx;j=1，…，2Nz+N_z.

熱力耦合的效應(yīng)由系數(shù)δ1、δ2、a3確定，如果δ1=δ2=a3=0就轉(zhuǎn)化為非耦合問題.

3.3 求解流程

在每一個時間段［ti，ti+1］內(nèi)，進(jìn)行如下迭代:

1)形成載荷向量P0、P1、P2及G0.

2)任選非零常數(shù)r1、r2計算G1=r1G0和G2=r2G0.

3)由方程(12)、(15)計算A、B和C，an、bn和cn.

4)由方程(14)和(10)計算qn(t)和w.

5)以方程(10)、(17)為基礎(chǔ)，求解熱傳導(dǎo)問題并得到G的新值.

6)檢查結(jié)果是否收斂:

其中，‖G‖為向量G的歐式范數(shù)，k+1和k分別為當(dāng)前和先前的迭代次數(shù).

如果式(19)不滿足，令Gk=Gk+1，并用虛載荷向量G的新值從3)到6)重新進(jìn)行迭代.如果式(19)滿足，令t=ti+1為初始條件進(jìn)行下一時間步的迭代.

4 數(shù)值計算與討論

由于軸向運動和熱流沖擊會改變結(jié)構(gòu)的振動特性，本文將使用數(shù)值仿真討論軸向速度和熱流沖擊對梁振動響應(yīng)的影響.數(shù)值計算中夾層梁的幾何參數(shù)和材料參數(shù)如表1和表2.

表1 粘彈性夾層梁幾何參數(shù)Table 1 Geometry size of viscoealstic sandwich beam

設(shè)作用于梁上表面的熱脈沖沿梁長度以正弦分布，其幅值隨時間衰減，關(guān)系如下:

式中，Q0=106W/m2，t0=0.01s.

表2 粘彈性夾層梁材料參數(shù)Table 2 Material parameters of viscoelastic sandwich beam

作用于梁上的外激勵為F=F0sin(ωt).計算中，取滿足邊界條件的特征函數(shù)wn(x)=chβnx+cosβnx-(shβnx+sinβnx)(chβnL-cosβnL)/(shβnL-sinβnL)，其中，chβnL cosβnL-1=0.其余相關(guān)參數(shù)取值:Nx=61，Nz=5，N_z=11，Nf=5，r1=1.5，r2=0.8，m=0.5，數(shù)值結(jié)果及討論如下.

4.1 速度的影響

軸向運動會誘發(fā)結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定振動和顫振失穩(wěn)［7］.基于文［7］的方法得到梁的頻率隨時間的變化曲線如圖2.在0≤v＜365m/s時，夾層梁的頻率為實數(shù)，虛部為零，為穩(wěn)定振動，且隨著速度的增大，振動頻率隨之減小;當(dāng)365≤v≤521m/s(發(fā)散速度區(qū)間)時，一階頻率實部等于零，其虛部呈正負(fù)兩個分支，這時一階模態(tài)發(fā)散失穩(wěn)，最小發(fā)散速度(v=365m/s)為臨界速度;當(dāng)571≤v≤700m/s時，一階和二階頻率實部相等，虛部呈正負(fù)兩個分支，稱為耦合顫振.

圖2 頻率隨軸向速度的變化(a)頻率實部;(b)頻率虛部Fig.2 The variation of the frequency with the axially speed(a)The real part of the frequency;(b)The imaginary part of the frequency

圖3為穩(wěn)態(tài)振動時，梁左端點的位移響應(yīng)和上接觸面中點溫度變化曲線，計算中F0=100N，ω=100rad/s.可見，臨界速度之前，隨著軸向運動速度的增大，梁的橫向振動位移也隨之增大;而溫度隨速度的改變基本沒有變化.

圖4和圖5分別給出了發(fā)散速度及一階和二階耦合顫振時速度下梁左端點的位移響應(yīng)和上接觸面中點的溫度變化曲線，計算中F0=100N，ω=100rad/s.可見，這時結(jié)構(gòu)的運動失穩(wěn)發(fā)散，溫度也隨之發(fā)散.

圖3 穩(wěn)態(tài)速度對位移場和溫場的影響(a)響應(yīng)(x=0);(b)上接觸面中點的溫度Fig.3 The influence of the stable speed on the displacement and temperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

圖4 發(fā)散速度對位移場和溫場的影響(a)響應(yīng)(x=0);(b)上接觸面中點溫度Fig.4 The influence of divergence speed on the displacement and mperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

圖5 顫振時速度對位移場和溫場的影響(a)響應(yīng)(x=0);(b)上接觸面中點溫度Fig.5 The influence of flutter speed on the displacement and mperature fields(a)Time history of response;(b)The temperature at the upper contact face of the beam＇s middle cross section

4.2 熱作用影響

圖6為外激勵頻率接近一階固有頻率時，有無熱流沖擊兩種情況下夾層梁的強迫振動響應(yīng)，其中F0=100N，ω=1500rad/s，v=5m/s.當(dāng)沒有熱流沖擊時，由于激振頻率接近一階固有頻率，梁的振動出現(xiàn)拍現(xiàn)象.當(dāng)有短暫熱流脈沖時，由于溫度的連續(xù)傳播，以及沿梁的橫截面垂直于y軸的方向不均勻的溫度分布引起的彎矩，導(dǎo)致梁的平衡狀態(tài)隨時間而改變，振動圍繞另一新的平衡狀態(tài)進(jìn)行，且振幅量級明顯增大.與無熱流情況相比，熱流沖擊時段，出現(xiàn)了更劇烈的跳動現(xiàn)象.

圖7為梁在x=0點處不同脈沖時間下的響應(yīng)，其中F0=100N，ω=100rad/s，v=5m/s，Q0t0=104Ws/m2為常數(shù)，表示熱流總量為定值.可見，短脈沖引起更大幅值的振動，即在一個固定的短時期內(nèi)，有更多能量傳輸給了梁.

圖6 熱沖擊對振動響應(yīng)的影響(a)響應(yīng)曲線(x=0);(b)相圖(1)Q0=0;(2)Q0=106W/m2，t0=0.01sFig.6 The influence of heat flow on the beam＇s response(a)Time history of the beam＇s response;(b)Phase plot

圖7 熱脈沖參數(shù)對梁振動響應(yīng)的影響Fig.7 The influence of the heat pulse parameters on the beam＇s response

圖8 速度對溫度場的影響Fig.8 The influence of axially speed on the temperature field

圖9 梁縱截面溫度分布Fig.9 Distribution of the temperature in the longitudinal section

圖8給出了熱沖擊時間t0=0.01s時梁上中點的溫度隨時間的變化曲線，其中F0=100N，ω=100rad/s，v=5m/s.由于約束層金屬材料傳熱性能好，夾層粘性材料一般為熱的不良導(dǎo)體并且散熱條件較差，導(dǎo)致溫度在夾層內(nèi)的傳播遠(yuǎn)小于約束層，能量蓄積在梁內(nèi)，引起較大的溫度梯度，且一段時間后，由于阻尼層對溫度傳播的阻礙，約束層的溫度達(dá)到一個平衡狀態(tài)，并保持一段較長時間.不同時刻下，梁上縱截面溫度分布如圖9(為觀察更清晰，圖中僅截取了從梁上表面開始的部分梁厚度).

5 結(jié)論

在考慮熱彈耦合的情況下，研究了簡諧外激勵載荷與其上表面有短暫熱流作用下軸向運動粘彈性夾層梁的振動.結(jié)果表明:

(1)在穩(wěn)態(tài)振動階段，隨著軸向速度的增大梁的振幅增大，軸向運動對位移場影響較大，對溫場影響較小;過大的軸向運動會誘發(fā)結(jié)構(gòu)振動失穩(wěn).

(2)由于約束層和夾層傳熱的差異性，導(dǎo)致梁沿厚度方向上產(chǎn)生較大的溫度梯度，從而使梁內(nèi)產(chǎn)生應(yīng)力，改變了梁的動力學(xué)行為.同時，短暫熱流會引起梁的振動位移大幅增大.

1 楊炳淵，史曉鳴，梁強.高超聲速有翼導(dǎo)彈多場耦合動力學(xué)的研究和進(jìn)展.強度與環(huán)境，2008，35(6):55～62(Yang B Y，Shi X M，Liang Q.Investigation and development of the multi-physics coupling dynamics on the hypersonic winged missiles.Structure＆Environment Engineering，2008，35(6):55～62(in Chinese))

2 范緒箕.高速飛行器熱結(jié)構(gòu)分析與應(yīng)用.北京:國防工業(yè)出版社，2009(Fan X J.Thermal structure analysis and applications of high-speed vehicles.Beijing:National Defense Industry Press，2009(in Chinese))

3 Xue D Y，Mei C.Finite element nonlinear panel flutter with arbitrary temperatures in supersonic flow.American Institute of Aeronautics and Astronautics，1993，31(1):154～162

4 Dhainaut JM，Duan B，Mei C，Spottswood C SM，Wolfe H.Non-linear response of composite panels to random excitations at elevated temperatures.In:Proceedings of Seventh International Conference on Recent Advances in Structural Dynamics，2000，2:769～784

5 Zhou R C，Xue D Y，Mei C.Finite element time domain modal formulation for nonlinear flutter of composite panels.American Institute of Aeronautics and Astronautics，1994，32(10):2044～2052

6 Shi Y，Lee R Y Y，Mei C.Thermal post buckling of composite plates using the finite element modal coordinate method.Journal of Thermal Stresses，1999，22(6):595～614

7 Guo X X，Wang Zh M，Wang Y，Zhou Y F.Analysis of the coupled thermoelastic vibration for axially moving beam.Journal of Sound and Vibration，2009，325:597～608

8 Trajkovski D，Cukic R.A coupled problem of thermoelastic vibrations of a circular plate with exact boundary conditions.Mechanics Research Communications，1999，26:217～224

9 Karagiozova D，Manoach E.Coupling effects in an elasticplastic beam subjected to heat impact.Nuclear Engineering and Design，1992，135:267～276

10 李智勇，劉錦陽，洪嘉振.作平面運動的二維平面板的熱耦合動力學(xué)問題.動力學(xué)與控制學(xué)報，2006，4(2):114～121(Li Z Y，Liu J Y，Hong J Z.Coupled thermoelastic dynamics of a two-dimensional plate undergoing planar motion.Journal of Dynamics and Control，2006，4(2):114～121(in Chinese))

11 Nayfeh A，F(xiàn)aris W.Dynamic behavior of circular structural elements under thermal loading.In:44th AIAA/ASME/ASCE/AHS Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference，Virginia，2003

12 Arafat H，F(xiàn)aris W，Nayfeh A.Vibrations and buckling of annular and circular plates subjected to a thermal load.In:44th AIAA/ASME/ASCE/AHSStructures，Structural Dynamics，and Materials Conference，Virginia，2003

13 Sun Y X，F(xiàn)ang D N，Soh A K.Thermoelastic damping in micro-beam resonators.International Journal of Solids and Structures，2006，43(10):3213～3229

14 史曉鳴，楊炳淵.瞬態(tài)加熱環(huán)境下變厚度板溫度場及熱模態(tài)分析.計算機輔助工程，2006，15(s):15～18(Shi X M，Yang B Y.Temperature field and mode analysis of flat plate with thermal environment of transient heating.Computer Aided Engineering，2006，15(s):15～18(in Chinese))

15 王宏宏，陳懷海，崔旭利，等.熱效應(yīng)對導(dǎo)彈翼面固有振動特性的影響.振動、測試與診斷，2010，30(3):275～279(Wang H H，Chen H H，Cui X L et al.Thermal effect on the natural vibration characteristics of the missile wing surface.Journal of Vibration，Measurement＆Diagnosis，2010，30(3):275～279(in Chinese))

16 Manoach E，Ribeiro P.Coupled，thermoelastic，large amplitude vibrations of Timoshenko beams.International Journal of Mechanical Sciences，2004，46:1589～1606