移動(dòng)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)非線性無(wú)限長(zhǎng)地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)*

時(shí)伉麗 丁虎? 陳立群，2 儲(chǔ)德林

(1.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072)(2.上海大學(xué)力學(xué)系，上海 200444)(3.陸軍軍官學(xué)院應(yīng)用物理研究所，合肥 230031)

引言

近一個(gè)世紀(jì)來(lái)，鐵路、公路運(yùn)輸已發(fā)展成為我國(guó)乃至世界主要的交通形式之一.車輛在運(yùn)行過(guò)程中對(duì)路面、路基造成破壞，而路面的破壞又反過(guò)來(lái)影響到車輛的運(yùn)行，對(duì)行車的舒適性、安全性能造成威脅.所以研究路面在車輛作用下的振動(dòng)對(duì)于交通運(yùn)輸方面有很重要的現(xiàn)實(shí)意義.通過(guò)移動(dòng)載荷激勵(lì)下地基梁的響應(yīng)模擬鐵路、公路動(dòng)力學(xué)的研究工作引起多方關(guān)照［1-5］.

對(duì)于地基梁動(dòng)力學(xué)的研究，學(xué)者們主要關(guān)注于線性地基模型.例如，Sun等研究分布式激勵(lì)的地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)［6］.時(shí)伉麗等的研究表明，地基對(duì)梁的剪切力不能忽略［7］.隨著移動(dòng)載荷激勵(lì)的線性地基梁動(dòng)力學(xué)的研究深入，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際路基是高度非線性的，因此非線性是一個(gè)不可忽略的因素.非線性地基梁的響應(yīng)問(wèn)題逐漸得到關(guān)注.由于移動(dòng)載荷在數(shù)學(xué)處理上的特殊性，研究非線性地基梁響應(yīng)的方法比較單一.龍述堯［8］和Ding等［9］運(yùn)用模態(tài)截?cái)喾?，通過(guò)有限長(zhǎng)地基梁模型研究了移動(dòng)集中恒力作用下的地基梁響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)地基的非線性彈性影響顯著.Wu和Thompson［10］用有限元的方法研究了非線性地基對(duì)輪、軌相互作用的影響.為了豐富非線性地基梁的研究手段，Hryniewicz和Koziol借助無(wú)線長(zhǎng)地基梁模型，通過(guò)小波方法研究了非線性地基梁對(duì)移動(dòng)集中力的響應(yīng)［11］.Ding等通過(guò)無(wú)限長(zhǎng)非線性地基梁，比較攝動(dòng)方法和Adomian分解法對(duì)移動(dòng)集中力響應(yīng)的近似解析解［12］.研究表明，無(wú)限長(zhǎng)地基梁模型能夠用于研究移動(dòng)載荷作用下的非線性地基梁響應(yīng)問(wèn)題的研究.Kargarnovin通過(guò)無(wú)限長(zhǎng)地基梁模型，運(yùn)用攝動(dòng)方法研究了移動(dòng)簡(jiǎn)諧力作用下非線性地基梁的響應(yīng)［13］.研究發(fā)現(xiàn)，移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率對(duì)地基梁的響應(yīng)有著顯著影響.

本文綜合考慮了地基中的非線性彈性以及地基對(duì)梁的剪切力的影響，研究了移動(dòng)簡(jiǎn)諧力作用下4參數(shù)非線性黏彈性地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).擴(kuò)展非線性地基梁的研究方法，應(yīng)用Adomian多項(xiàng)式分解方法，處理移動(dòng)簡(jiǎn)諧力作用下立方非線性地基梁響應(yīng).研究地基中的非線性彈性和剪切模量，以及移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率以及移動(dòng)速度的影響.

1 模型建立

車與路相互作用是個(gè)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，為了考察移動(dòng)車輛激發(fā)的路面動(dòng)態(tài)響應(yīng)，本文將路面模型化為無(wú)限長(zhǎng)的Euler-Bernoulli梁，考慮地基中的非線性以及黏彈性因素，并計(jì)入路基的剪切變形影響，將車輛簡(jiǎn)化成一個(gè)移動(dòng)的集中簡(jiǎn)諧力.其力學(xué)模型如圖1所示.圖中的u為梁的橫向變形，x為沿著路面水平軸線方向的空間坐標(biāo)，t為時(shí)間，F(xiàn)0為移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的恒定幅值，v為移動(dòng)簡(jiǎn)諧力沿路面移動(dòng)的定常速度，ω為移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的振動(dòng)頻率.

圖1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)下粘彈性Euler-Bernoulli梁模型Fig.1 A model for an Euler-Bernoulli beam on a nonlinear viscoelastic foundation under a moving harmonic load

基于Euler-Bernoulli梁理論的假設(shè)，移動(dòng)集中簡(jiǎn)諧力作用下非線性黏彈性地基梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的控制方程可以寫(xiě)成如下形式［9］

其中EI為梁的剛度，ρ為梁的密度，A為梁的橫截面積，變量x前面的逗號(hào)表示對(duì)空間坐標(biāo)x求偏導(dǎo)數(shù)，t前面的逗號(hào)表示對(duì)時(shí)間坐標(biāo)t求偏導(dǎo)數(shù)，P為地基對(duì)路面的作用力，假設(shè)地基為4參數(shù)立方非線性黏彈性Pasternak模型［13］

其中k1為地基的線性彈性系數(shù)，k3為地基的非線性彈性系數(shù)，c為地基的阻尼系數(shù)，Gp為地基的剪切系數(shù).式(1)中的δ(x-vt)為迪利克雷函數(shù)，定義如下

其中f(x)為任意函數(shù).

2 Adomian多項(xiàng)式求解

Adomian方法是一種半解析半數(shù)值的迭代方法，已經(jīng)成功應(yīng)用于求解非線性方程［14］.Adomian方法是將非線性項(xiàng)展開(kāi)為Adomian多項(xiàng)式，運(yùn)用遞歸方法計(jì)算方程的近似解.該方法應(yīng)用廣泛，能夠解決弱線性問(wèn)題，強(qiáng)線性問(wèn)題，邊界值問(wèn)題，隨機(jī)問(wèn)題等.該方法的主要優(yōu)點(diǎn)是在保持高精度的同時(shí)縮減計(jì)算量.下面將通過(guò)運(yùn)用Adomian方法處理移動(dòng)簡(jiǎn)諧力作用下的無(wú)限長(zhǎng)非線性路基上Euler-Bernoulli梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題.

假設(shè)控制方程(1)式的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)u(x，t)可以寫(xiě)成如下無(wú)窮個(gè)多項(xiàng)式的和的形式

將上式帶入式(1)中，得到

將非線性項(xiàng)g(u)=u3寫(xiě)成無(wú)窮展開(kāi)的形式

其中序列Aj為關(guān)于u0，u1，u2，…的Adomian多項(xiàng)式.將式(6)代入式(5)，并寫(xiě)成遞歸的形式，當(dāng)j=0時(shí)，有

當(dāng)j≥1時(shí)，有

Adomian方法將非線性項(xiàng)分解為如下多項(xiàng)式

因此，這里的Aj可以寫(xiě)為

考慮到道路模型為無(wú)限長(zhǎng)，而且移動(dòng)載荷沿著x正方向以常速v運(yùn)動(dòng)，因此，進(jìn)行如下坐標(biāo)變換

假設(shè)式(7)解的形式為

其中的撇號(hào)代表對(duì)η求導(dǎo)數(shù).應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t［13-14］，將u0(x，t)的偏導(dǎo)數(shù)展開(kāi)為

將式(14)代入式(8)，并應(yīng)用傅里葉變換可得

其中U0-EB(ξ)為格林函數(shù)，另外

對(duì)式(15)應(yīng)用傅里葉逆變換，可得

根據(jù)留數(shù)定理可知，函數(shù)的積分可以寫(xiě)成被積函數(shù)的留數(shù)和的形式.因此可求得在復(fù)數(shù)域上的封閉解:

當(dāng)η≥0時(shí)，

其中ξj為U0-EB(ξ)在復(fù)平面上半平面的極點(diǎn);

當(dāng)η≤0時(shí)，

其中ξj為U0-EB(ξ)在復(fù)平面下半平面的極點(diǎn).式(17)存在高階極點(diǎn)時(shí)，封閉解的形式為如下形式:

其中ξl為U0-EB(ξ)的二階極點(diǎn)，ξ1，ξ2為U0-EB(ξ)的一階極點(diǎn).

通過(guò)以上推導(dǎo)，已經(jīng)給出j=0時(shí)的封閉解.接下來(lái)考慮j=1和2時(shí)的解.將式(9)展開(kāi)為

通過(guò)相似的過(guò)程，對(duì)于式(21)和(22)，引入格林函數(shù)并應(yīng)用卷積定理，可以求解系統(tǒng)的響應(yīng)

綜合以上推導(dǎo)，結(jié)合式(17)、(23)和(24)，再給定各個(gè)物理參數(shù)值，即可以計(jì)算地基梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng).

3 算例分析

接下來(lái)通過(guò)計(jì)算軟件計(jì)算式(24)，引入算例計(jì)算地基梁的近似穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并分析不同參數(shù)對(duì)地基梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響.采用UIC60歐洲高速鐵軌的路面、路基以及載荷參數(shù)［9，15］，如表1所示.

表1 地基梁以及載荷的參數(shù)值Table 1 Properties of the beam，foundation and load Table 1 Example

圖2給出了移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率變化以及速度變化對(duì)梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響.圖2(a)給出了4組不同的移動(dòng)速度下、零時(shí)刻梁坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨簡(jiǎn)諧力頻率的變化.由圖2(a)可知，在低頻區(qū)，零時(shí)刻梁坐標(biāo)原點(diǎn)處的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨著移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率以及速度的增大而減小，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)在頻率ω=0時(shí)達(dá)到最大.另外，當(dāng)簡(jiǎn)諧力的頻率較大時(shí)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)受簡(jiǎn)諧力的頻率和速度的影響較小.由圖2(a)還可以看出，當(dāng)簡(jiǎn)諧力的速度較大時(shí)，當(dāng)簡(jiǎn)諧力的頻率變化對(duì)梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響不如簡(jiǎn)諧力的速度較小時(shí)的影響大.圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)分別在取不同移動(dòng)簡(jiǎn)諧力速度時(shí)，比較了頻率對(duì)梁時(shí)間響應(yīng)歷程的影響.觀察圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)可知，當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)諧力速度恒定時(shí)，對(duì)應(yīng)于較高的移動(dòng)簡(jiǎn)諧力頻率，梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)的變化呈震蕩狀，而且最大的橫向變形量較小.縱觀圖2，在移動(dòng)簡(jiǎn)諧力下的非線性Euler-Bernoulli地基梁的響應(yīng)中，移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率和速度對(duì)梁橫向變形的影響不能忽略.

圖2 頻率變化、速度變化對(duì)梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.2 Effects of the frequency and the speed of moving harmonic load on the deflection of the beam

圖3 移動(dòng)簡(jiǎn)諧力下地基的剪切系數(shù)、非線性彈性系數(shù)的變化對(duì)梁橫向變形的影響Fig.3 Effects of the shear modulus and the nonlinear elasticity parameter of foundations on the deflection of the beams

圖3給出了地基的剪切系數(shù)和非線性彈性系數(shù)對(duì)移動(dòng)簡(jiǎn)諧力下地基梁橫向變形的影響.其中，外激勵(lì)的頻率為ω=5 Hz.從圖3(a)可以看出，隨著地基剪切系數(shù)的增大，梁的最大穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其遲延都逐漸減小.從圖3(b)則顯示隨著地基非線性彈性系數(shù)的增大，梁的最大穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及其遲延都逐漸增大.當(dāng)?shù)鼗募羟辛εc非線性彈性系數(shù)較小時(shí)，在t=0.1～0.2s時(shí)出現(xiàn)了負(fù)撓度，且這種負(fù)撓度隨著地基剪切力和非線性彈性系數(shù)的增加而逐漸不明顯.

4 結(jié)論

研究移動(dòng)集中簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的無(wú)限長(zhǎng)道路響應(yīng)問(wèn)題.通過(guò)將路面模型化為Euler-Bernoulli彈性梁，將路基模型化為彈性支撐地基，并計(jì)入地基彈性的立方非線性項(xiàng)以及地基的黏性和剪切系數(shù)，建立非線性地基上Euler-Bernoulli梁橫向振動(dòng)響應(yīng)的控制方程.應(yīng)用Adomian分解方法處理控制方程中的非線性項(xiàng)，再通過(guò)Fourier變換與Fourier逆變換得到控制方程解的近似解析表達(dá)式，最后，對(duì)解的積分表達(dá)式應(yīng)用留數(shù)定理得到復(fù)數(shù)域上的近似解析解.通過(guò)數(shù)值算例分析表明，地基的非線性彈性系數(shù)和剪切系數(shù)的變化對(duì)地基梁的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)影響明顯，并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的速度比較低時(shí)，移動(dòng)簡(jiǎn)諧力的頻率對(duì)地基梁穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響最為顯著.

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