預(yù)變形對(duì)非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征的影響*

王珺 趙環(huán)迪 陳力奮

(復(fù)旦大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系，上海 200433)

引言

局部非線性在許多復(fù)雜機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)中都存在，通常位于部件的結(jié)合處，例如軸承［1，2］、套管［3］、齒輪［2，4］等.關(guān)于局部非線性的理論研究方法，姚紅良等［5］做出了突出的貢獻(xiàn).然而實(shí)際情況中，整個(gè)系統(tǒng)尤其是非線性元件除了受動(dòng)態(tài)激勵(lì)外，還常常受到其它載荷，如重力、裝配缺陷等引起的預(yù)載等.這些載荷大小的變化會(huì)改變系統(tǒng)的靜平衡點(diǎn)，進(jìn)一步影響非線性元件的動(dòng)態(tài)特性.例如，在零靜載時(shí)對(duì)稱的非線性彈簧，在預(yù)載荷作用下會(huì)成為非對(duì)稱［6］，由此使得一些適用于處理對(duì)稱非線性的方法，例如描述函數(shù)［7］等不再適用.與此同時(shí)，外激勵(lì)的類型和幅值也多種多樣，導(dǎo)致非線性結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出非常復(fù)雜的響應(yīng)特征.

已經(jīng)有一些學(xué)者對(duì)存在預(yù)載和復(fù)雜外激勵(lì)的非線性系統(tǒng)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，典型的是一種T字型的梁結(jié)構(gòu)，最初由Ferreira［8］采用，此后Siller［9］和Ozge［10］等也將其應(yīng)用于各自的研究.研究表明，當(dāng)響應(yīng)位移較大時(shí)，實(shí)驗(yàn)中的裝配缺陷會(huì)對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)有明顯的影響，包括縫隙，預(yù)變形等.例如，存在預(yù)變形的立方剛度彈簧會(huì)表現(xiàn)得像一個(gè)不對(duì)稱的軟彈簧［8］;這些研究初步揭示了帶預(yù)變形非線性系統(tǒng)復(fù)雜的響應(yīng)特征，但沒(méi)有關(guān)注在不同的外激勵(lì)和預(yù)變形下非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征的變化過(guò)程.

本文在與實(shí)驗(yàn)結(jié)合的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了仿真分析.在仿真計(jì)算過(guò)程中，通過(guò)自動(dòng)判斷穩(wěn)定性、遞歸細(xì)分和并行計(jì)算，極大地減少了計(jì)算時(shí)間.仿真結(jié)果表明，不同參數(shù)下的非線性系統(tǒng)存在豐富的非線性現(xiàn)象，預(yù)變形和外激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)的非線性特征影響顯著，進(jìn)一步揭示了在不同的外激勵(lì)和預(yù)變形下非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征的演變過(guò)程.

1 實(shí)驗(yàn)梁的非線性頻響特征

本文采用文獻(xiàn)［8-10］中的T字型結(jié)構(gòu)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究，實(shí)驗(yàn)試件和激振器如圖1a所示.其中，矩形截面主梁尺寸1000×12×8，二個(gè)橫梁尺寸500×13×1.42(單位:mm);材料常數(shù)E=2.1×1011Pa，ρ=7.8×103kg/m3.外激勵(lì)下橫梁的大變形使得主梁的一端受到非線性約束支撐.實(shí)驗(yàn)裝置搭建過(guò)程中，由于重力、裝配誤差等因素的影響，使得T字型梁成為一個(gè)帶預(yù)變形的非線性結(jié)構(gòu)，如圖1b所示.

圖2為改變外激勵(lì)幅值的大小，進(jìn)行恒力控制下從低到高的單向掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖3為當(dāng)外激勵(lì)幅值逐漸從增大到時(shí)，分別從高頻到低頻(黃色)、再?gòu)牡皖l到高頻(其他顏色)掃頻，測(cè)量到的離端點(diǎn)250mm處的位移響應(yīng).

圖1 T字型梁結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 The experiment equipment of the T–beam structure

圖2 恒力控制下端點(diǎn)處自頻響應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 The experimental results of the self-excited response under constant force amplitude

圖3 離端點(diǎn)250mm處的位移響應(yīng)Fig.3 The displacement response 250mm away from the beam’s end

2 含預(yù)變形非線性結(jié)構(gòu)的理論與計(jì)算

對(duì)于帶預(yù)變形的T字型梁，從圖2中可以看出，存在著明顯的軟特性.而在圖3中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)外激勵(lì)幅值較小(如0.4N)時(shí)就已經(jīng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.為此，本文接下來(lái)對(duì)含預(yù)變形的非線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論和數(shù)值的仿真分析.

2.1 基本理論

考慮圖4所示的單自由度質(zhì)量—阻尼—彈簧系統(tǒng)，其中大變形產(chǎn)生的非線性彈簧同時(shí)具有線性和立方剛度，即彈簧的變形x(取彈簧自然伸長(zhǎng)時(shí)為x=0)與彈簧對(duì)m的作用力F存在如下關(guān)系:

式中，k為線性剛度系數(shù)，k*為立方剛度系數(shù);負(fù)號(hào)則表示結(jié)構(gòu)受到的彈簧力方向與位移方向相反.

圖4 含非線性彈簧的單自由度質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)Fig.4 A mass-damp-string system of one dimension with a nonlinear string

若因?yàn)橹亓Φ仍?，系統(tǒng)靜平衡狀態(tài)時(shí)彈簧存在一個(gè)預(yù)變形x0，則此時(shí)彈簧對(duì)m的作用力為:

當(dāng)m相對(duì)靜平衡位置有一個(gè)位移Δx，彈簧對(duì)m作用力的增量為:

不難發(fā)現(xiàn)，式(3)中線性項(xiàng)的系數(shù)是隨x0變化的.如果m受到的其它作用力(如重力)不會(huì)因?yàn)棣的產(chǎn)生而有任何改變，則上式即是m受到的合力.于是系統(tǒng)在外激勵(lì)P作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

由于Δx的一次項(xiàng)系數(shù)隨著x0而變化，系統(tǒng)理論上的線性頻率表達(dá)式為:

顯然，也與預(yù)變形x0相關(guān).

對(duì)于式(4)可以作如下簡(jiǎn)要分析:

1.當(dāng)Δx為小量時(shí)，二次項(xiàng)和三次項(xiàng)相對(duì)于一次項(xiàng)可以忽略，系統(tǒng)主要表現(xiàn)線性行為;隨著Δx的增大，二次項(xiàng)影響逐漸顯著;Δx繼續(xù)增大，三次項(xiàng)開(kāi)始占據(jù)主導(dǎo)地位.

2.當(dāng)x0=0時(shí)，系統(tǒng)只存在三次項(xiàng)的非線性;隨著x0的增大，二次項(xiàng)開(kāi)始體現(xiàn)作用.x0繼續(xù)增大，則非線性項(xiàng)相對(duì)線性項(xiàng)越來(lái)越不重要，系統(tǒng)又呈線性特征.

因此，對(duì)于這樣一個(gè)同時(shí)存在平方和立方非線性的模型，隨著預(yù)變形x0和外激勵(lì)幅值F的變化，將會(huì)出現(xiàn)跳躍、超諧波共振、次諧波共振等豐富的非線性現(xiàn)象.

2.2 計(jì)算方法的改進(jìn)

為模擬掃頻實(shí)驗(yàn)中從低頻到高頻，以及從高頻到低頻的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，本文在matlab計(jì)算平臺(tái)上進(jìn)行了仿真計(jì)算，主要步驟有:

1)采用經(jīng)典的5階定步長(zhǎng)龍格-庫(kù)塔法，計(jì)算系統(tǒng)在某一初始條件、一定預(yù)變形和恒力幅值簡(jiǎn)諧外激勵(lì)作用下的響應(yīng).

2)待系統(tǒng)穩(wěn)定后，截取一段時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行傅利葉變換;考慮到弱非線性時(shí)的主頻響應(yīng)占主導(dǎo)，以及與掃頻實(shí)驗(yàn)相匹配，取幅值最大的一個(gè)頻率作為主頻響應(yīng)，并以這個(gè)幅值與激勵(lì)力幅值之比作為擬線性的頻響.

3)為模擬實(shí)驗(yàn)時(shí)的掃頻，初始頻率點(diǎn)時(shí)以位移和速度均為0作為初始條件，此后的頻率點(diǎn)均以系統(tǒng)在上一個(gè)頻率點(diǎn)(已達(dá)到穩(wěn)定)最后時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(位移和速度)作為初始條件;參照實(shí)驗(yàn)進(jìn)行從低到高和從高到低改變外激勵(lì)頻率的大小，并比較計(jì)算結(jié)果.

龍格-庫(kù)塔法計(jì)算時(shí)域響應(yīng)時(shí)，關(guān)鍵在于如何判斷系統(tǒng)是否達(dá)到穩(wěn)定，是第2步計(jì)算的前提，也是最主要的計(jì)算耗費(fèi)所在.文獻(xiàn)［11］中對(duì)任意參數(shù)都采用固定的計(jì)算周期數(shù).事實(shí)上，系統(tǒng)在不同頻率點(diǎn)達(dá)到穩(wěn)定需要的時(shí)間是很不一致的;一般地，在初始點(diǎn)(零初始條件，而其它點(diǎn)是一個(gè)較接近穩(wěn)態(tài)的初始條件)和突變點(diǎn)需要較長(zhǎng)的時(shí)間，而在曲線光滑的位置只需要很短的時(shí)間就能達(dá)到穩(wěn)定;在一些特殊的點(diǎn)比如次諧波共振點(diǎn)則需要非常長(zhǎng)的時(shí)間.文獻(xiàn)［11］采用固定周期數(shù)的方法，在大部分點(diǎn)上浪費(fèi)計(jì)算時(shí)間，而在某些點(diǎn)處又不能真實(shí)地反映穩(wěn)態(tài)情況.針對(duì)上述情形，本文在計(jì)算中采用了自動(dòng)判斷穩(wěn)定性的方法，基本思想是:以外激勵(lì)周期截取系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)，比較鄰近幾段的差異，以此來(lái)判斷系統(tǒng)是否達(dá)到穩(wěn)定.由此，在曲線的光滑點(diǎn)可以極大地減少計(jì)算時(shí)間;而對(duì)長(zhǎng)時(shí)間不收斂的參數(shù)點(diǎn)則可認(rèn)為是可能的特殊點(diǎn).

為了進(jìn)一步減少計(jì)算量，在掃頻范圍內(nèi)首先采用較大的初始頻率間隔進(jìn)行掃頻計(jì)算，當(dāng)發(fā)現(xiàn)頻響曲線出現(xiàn)“異?！?，即斜率的絕對(duì)值變化很大或者斜率的正負(fù)號(hào)改變(峰值或谷值)時(shí)，進(jìn)行遞歸細(xì)分，直到斜率變化平緩或細(xì)分到設(shè)定的下限值.由此，既準(zhǔn)確地描述了頻響曲線的整體形狀和關(guān)鍵位置細(xì)節(jié)信息，又大大加快了計(jì)算速度.

此外，由于不同物理參數(shù)(預(yù)變形和外激勵(lì)幅值)取值的頻響曲線計(jì)算時(shí)，相互之間沒(méi)有影響，因此，本文在matlab計(jì)算平臺(tái)上采用并行計(jì)算，又一次極大地節(jié)約了計(jì)算時(shí)間.

隨著高等教育的不斷改革，高校也更注重對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)。而實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)是高校對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)培養(yǎng)必不可少的課程之一，現(xiàn)如今各個(gè)高校均配有實(shí)驗(yàn)室，對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)備要求也越來(lái)越高，都希望采購(gòu)先進(jìn)的實(shí)驗(yàn)儀器設(shè)備來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)。而學(xué)生通過(guò)一次次的實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蛏羁痰亓私饫碚撝R(shí)，鍛煉自己的動(dòng)手能力，也能夠通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行創(chuàng)新，所以實(shí)驗(yàn)教學(xué)儀器在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。也可以說(shuō)沒(méi)有實(shí)驗(yàn)儀器的實(shí)驗(yàn)課程是無(wú)法開(kāi)展的。

綜上所述，本文在仿真計(jì)算過(guò)程中，通過(guò)自動(dòng)判斷穩(wěn)定性、遞歸細(xì)分和并行計(jì)算，極大地減少了計(jì)算時(shí)間.

2.3 參數(shù)設(shè)置

仿真計(jì)算中物理參數(shù)的取值，是以T字型梁的靜力學(xué)和掃頻實(shí)驗(yàn)測(cè)得的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的.圖5a為T字型梁的靜力學(xué)實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的力和位移關(guān)系曲線，圖5b是外激勵(lì)幅值為F=0.025N時(shí)的恒力掃頻實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線.按照(3)式將圖5a中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，求出線性剛度系數(shù)k=3.4324N/mm和立方剛度系數(shù)k*=0.1533N/mm3.根據(jù)k和圖5b的線性掃頻實(shí)驗(yàn)得到的一階固有頻率，取定等效質(zhì)量m=0.1kg.

圖5 確定T字型梁物理參數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果ig.5 The experimental results to identify the physical parameters of the T-beam

3 仿真結(jié)果的非線性現(xiàn)象分析

在計(jì)算結(jié)果中，對(duì)任意4個(gè)外激勵(lì)頻率相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)(fi，xi)，i=1，2，3，4，(f1＜f2＜f3＜f4)，其中xi為對(duì)應(yīng)于頻率fi激勵(lì)下的響應(yīng)，令:

計(jì)算結(jié)果中，當(dāng)|d2|＞n|d1|且|d2|＞n|d3|時(shí)，其中n為給定的常數(shù)，定義頻率點(diǎn):

處為一個(gè)跳躍點(diǎn)，d2為f*處的斜率，本文分析中取n=2.通過(guò)計(jì)算結(jié)果中跳躍點(diǎn)的篩選，能有效地反映頻響曲線跳躍的位置.

3.1 硬化和軟化的跳躍

對(duì)于不同的預(yù)變形和激勵(lì)力幅值的取值，系統(tǒng)表現(xiàn)出了硬化和軟化的跳躍現(xiàn)象.

圖6是固定激勵(lì)力幅值F=10N時(shí)，跳躍點(diǎn)f*位置隨預(yù)變形的變化，圖7是此時(shí)幾條典型的頻響曲線.從圖中可以清晰地看出，隨著預(yù)變形的增大，系統(tǒng)由硬化逐漸過(guò)渡到軟化，臨界點(diǎn)在大約x0=5mm處;最終跳躍消失，呈線性特征.這與理論分析完全符合.

圖6 跳躍點(diǎn)位置隨預(yù)變形的變化Fig.6 The change of the jump point in terms of the initial deformation

圖7 F=10N時(shí)幾條典型的頻響曲線Fig.7 Some typical frequency response curve while F=10N

圖8 跳躍點(diǎn)位置隨外激勵(lì)幅值的變化Fig.8 The change of the jump point in terms of the external exciting amplitude

(顏色表示跳躍點(diǎn)的斜率，其中從高到低掃頻時(shí)的斜率為通常意義下斜率的相反數(shù))

圖8是固定預(yù)變形x0=5mm時(shí)，跳躍點(diǎn)位置隨激勵(lì)力幅值的變化.圖9是此時(shí)幾條典型的頻響曲線.由圖中可以看出，隨著激勵(lì)力幅值的增大，系統(tǒng)由線性逐漸過(guò)渡到軟化，最終呈現(xiàn)硬化.考慮到本模型中各項(xiàng)系數(shù)均為正，則激勵(lì)力幅值與系統(tǒng)響應(yīng)幅值呈單調(diào)關(guān)系，這些結(jié)果也與理論完全符合.

圖9 x0=5mm時(shí)幾條典型的頻響曲線Fig.9 Some typical frequency response curve while x0=5mm

3.2 超諧波共振

圖10是固定激勵(lì)力幅值F=10N時(shí)，峰值位置隨預(yù)變形的變化.由圖中可以看出，左端的峰值正好對(duì)應(yīng)于約線性固有頻率1/2處的超諧波共振，這是平方非線性的特征，隨著預(yù)變形的增大最終消失;兩種掃頻方式在此處是完全重合的.而兩種掃頻方式的主共振峰值相對(duì)位置的變化也體現(xiàn)了系統(tǒng)硬化→軟化→線性的變化.

圖10 峰值位置隨預(yù)變形的變化Fig.10 The change of the peak position in terms of the initial deformation

圖11是固定預(yù)變形x0=5.1mm時(shí)，峰值位置隨激勵(lì)力幅值的變化.左上角的峰值對(duì)應(yīng)于線性固有頻率1/3處的超諧波共振，這是立方非線性的特征，在激勵(lì)力幅值比較大時(shí)才開(kāi)始出現(xiàn);兩種掃頻方式在此處也是完全重合的.

圖11 峰值位置隨外激勵(lì)幅值的變化Fig.11 The change of the peak position in terms of the external exciting amplitude

3.3 次諧波共振

計(jì)算過(guò)程中通過(guò)觀察時(shí)域收斂的情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)預(yù)變形x0=1.8～2.6mm，外激勵(lì)幅值超過(guò)臨界值F*≈15N時(shí)，固有頻率2倍處出現(xiàn)了次諧波共振的現(xiàn)象，如圖12所示.這一現(xiàn)象與文獻(xiàn)［11］中的理論預(yù)測(cè)相符.另一方面，次諧波共振隨著x0的增加從無(wú)到有再消失的變化過(guò)程，也體現(xiàn)了二次項(xiàng)的影響逐漸增大再減小的變化過(guò)程.

圖12 次諧波共振示例Fig.12 An example of subharmonic resonance

(所取參數(shù)下，系統(tǒng)線性固有頻率為35.31Hz，約為外激勵(lì)頻率70Hz的一半左右)

4 結(jié)論

本文在實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)建立單自由度仿真模型，數(shù)值求解過(guò)程中通過(guò)計(jì)算方法的改進(jìn)，極大地減少了計(jì)算量，成功地對(duì)存在預(yù)變形的立方剛度非線性進(jìn)行了仿真.隨著預(yù)變形和激勵(lì)力幅值的變化，觀察到了豐富的時(shí)域和頻域的非線性響應(yīng)現(xiàn)象，并揭示了其變化的過(guò)程，得到了與理論推測(cè)相符的結(jié)果.進(jìn)一步需要研究的問(wèn)題是如何更有效地提高計(jì)算速度，以更完整地體現(xiàn)非線性現(xiàn)象;并擴(kuò)展到多自由度系統(tǒng)，直至模擬連續(xù)系統(tǒng)(如梁)的非線性效應(yīng).可以預(yù)見(jiàn)，多自由度系統(tǒng)將出現(xiàn)內(nèi)共振等更加豐富的非線性現(xiàn)象，但也對(duì)程序和算法的優(yōu)化提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn).

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