對(duì)《理論力學(xué)教程》中一個(gè)問題的再討論

尹海峰

(凱里學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 貴州 凱里　556011)

對(duì)《理論力學(xué)教程》中一個(gè)問題的再討論

尹海峰

(凱里學(xué)院物理與電子工程學(xué)院, 貴州 凱里556011)

摘要關(guān)于“一張錯(cuò)誤的插圖”問題，文獻(xiàn)[1-3]對(duì)經(jīng)典教材《理論力學(xué)教程》中描述剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的公式(3.7.3)的理解有誤. 教材中公式(3.7.3)是剛體上任一點(diǎn)的速度在動(dòng)坐標(biāo)系中的分量形式. 由于對(duì)坐標(biāo)系與參考系概念的區(qū)分不清楚，參考文獻(xiàn)[1-3]的作者以及部分學(xué)生和教師認(rèn)為動(dòng)坐標(biāo)系是在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中建立的. 本文作者認(rèn)為研究剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的3.7節(jié)沒有選擇轉(zhuǎn)動(dòng)參考系；為了研究的方便，以地面為參考系中建立了兩個(gè)坐標(biāo)系來描述剛體的平面平行運(yùn)動(dòng).

關(guān)鍵詞運(yùn)動(dòng)學(xué)；參考系；坐標(biāo)系

REDISCUSSION OF ONE PROBLEM IN “THEORETICAL MECHANICS TUTORIAL”

Yin Haifeng

(College of Physics and Electronic Engineering, Kaili University, Kaili, Guizhou 556011)

AbstractRegarding “an error illustration” problem, references [1-3] misunderstand the formula (3.7.3), which describes the plane parallel motion of rigid body, in classic textbook “theoretical mechanics tutorial”. The formula (3.7.3) of classic textbook is the velocity component of anyone point of rigid body in the moving coordinate system. Because of the unclear distinguishing of coordinate system and reference system, authors of references [1-3], some students and teachers think the moving coordinate system is established in the rotating reference. In this paper, we think rotating reference is not chosen in 3.7 section, which study the plane parallel motion of rigid body. For the convenience of research, taking the ground as a frame of reference, two coordinate systems are established to describe the plane parallel motion of rigid body.

Key wordskinematics; frame; coordinate system

《物理與工程》第16卷第5期、第18卷第3期和第22卷第2期，分別刊登了“對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論”[1]和“對(duì)‘對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論’一文的質(zhì)疑”[2]以及“關(guān)于‘對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論’的討論”[3]3篇文章(以下分別簡(jiǎn)稱“文章一”、“文章二”和“文章三”). 仔細(xì)研讀3篇文章后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“一張錯(cuò)誤的插圖”問題，3篇文章作者對(duì)周衍柏先生編著的經(jīng)典教材《理論力學(xué)教程》[4]中相應(yīng)部分內(nèi)容的理解不全面或者有誤. 同樣考慮到周先生的教材影響面比較大，目前仍被許多高校采用，因此，對(duì)于該問題的繼續(xù)探討，就顯得非常必要和有意義. 本文再次對(duì)“一張錯(cuò)誤的插圖”相關(guān)問題展開討論.

1教材中的插圖

《理論力學(xué)教程》教材中插圖3.7.2(如圖1所示)，涉及剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)[4].

圖1　《理論力學(xué)教程》中插圖3.7.2

當(dāng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為它的運(yùn)動(dòng)是隨基點(diǎn)的平動(dòng)以及繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng)所合成. 設(shè)A為基點(diǎn)，在某一時(shí)刻，其速度為VA,又在此時(shí)刻，薄片(即剛體)繞轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則薄片上任一點(diǎn)的速度(見圖1)為

(1)

式中，r′為P對(duì)A的位矢，r為P對(duì)固定坐標(biāo)系原點(diǎn)O的位矢，而r0為基點(diǎn)A對(duì)O的位矢，故ω×r′是P點(diǎn)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度.

設(shè)P相對(duì)于固著在固定平面上的坐標(biāo)系O-xy而言，其坐標(biāo)為(x，y);相對(duì)于固著在薄片上并隨薄片一同運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′而言，其坐標(biāo)為(x′，y′)；而A相對(duì)于O-xy系的坐標(biāo)為(x0，y0).因ω恒垂直于固定平面和薄片，即沿z和z′軸，故式(1)的分量表達(dá)式相對(duì)于O-xy系和相對(duì)于A-x′y′分別為

(2)

(3)

23篇文章對(duì)于插圖的分析

文章一對(duì)周先生教材中圖3.7.2提出的問題是: 圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾[1]. 文章一還認(rèn)為: “如果選擇固連于薄片的坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′,那么該動(dòng)坐標(biāo)系為轉(zhuǎn)動(dòng)參照系,應(yīng)該屬于該教材后面一章的內(nèi)容. 顯然本章應(yīng)用的仍是該教材第一章平動(dòng)參照系中的知識(shí),即P點(diǎn)的絕對(duì)速度等于牽連速度加上在平動(dòng)參照系A(chǔ)-x′y′中的相對(duì)速度.”

文章二指出，文章一中“圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾”這一結(jié)論是錯(cuò)誤的；文章一提到的關(guān)系式y(tǒng)-y0=y′和x-x0=x′，在周先生的教材中是不存在的，更為重要的是這兩個(gè)關(guān)系式也是錯(cuò)誤的[2]. 同時(shí)，文章二引入了“本體坐標(biāo)系”，認(rèn)為： “周先生的教材中在討論剛體平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)已將該運(yùn)動(dòng)等效為基點(diǎn)的平動(dòng)加繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)這兩部分運(yùn)動(dòng)的疊加. 這樣,如果取本體坐標(biāo)系,剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)就可以等同于本體坐標(biāo)系相對(duì)于空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)”.

文章三同樣認(rèn)為，文章一中的結(jié)論“圖1與公式(2)和(3)(即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)相矛盾”和文章一中的觀點(diǎn)“在研究剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)的3.7節(jié)，不用選擇固連于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)參照系，宜采用平動(dòng)參照系”都是錯(cuò)誤的. 同時(shí)，文章三提出： “選擇轉(zhuǎn)動(dòng)參照系是研究剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心、本體極跡的需要.事實(shí)上《理論力學(xué)教程》正是利用式(3.7.3),令，得到‘轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心在A-xyz系中的坐標(biāo)’”.

3對(duì)于原問題的分析

對(duì)于教材中所涉及的剛體平面平行運(yùn)動(dòng)部分的討論，文章一、文章二、文章三以及部分學(xué)生和教師對(duì)于坐標(biāo)系與參照系概念的區(qū)分不清楚. 文章一認(rèn)為： “如果選擇固連于薄片的坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′,那么該動(dòng)坐標(biāo)系為轉(zhuǎn)動(dòng)參照系,應(yīng)該屬于該教材后面一章的內(nèi)容”. 這種把坐標(biāo)系等同于參照系的認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的. 文章二雖然認(rèn)為文章一中“轉(zhuǎn)動(dòng)參照系應(yīng)該屬于該教材后面一章的內(nèi)容”的觀點(diǎn)過于牽強(qiáng)，但是并沒有對(duì)坐標(biāo)系與參考系概念進(jìn)行區(qū)分. 文章三，同樣存在對(duì)于坐標(biāo)系與參考系概念區(qū)分不清楚的問題. 對(duì)于經(jīng)典力學(xué)，選擇不同的參考系，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律會(huì)有所不同(比如物體的軌道形狀取決于參考系的選取)；但是對(duì)于相同的參考系，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與選擇的坐標(biāo)系無關(guān)，即物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與選擇的“靜止”直角坐標(biāo)系、“轉(zhuǎn)動(dòng)”極坐標(biāo)系和“動(dòng)”自然坐標(biāo)系無關(guān).

參考文獻(xiàn)[1-3]以及部分學(xué)生和教師，對(duì)于教材中剛體平面平行運(yùn)動(dòng)部分公式(3) (即周先生教材中 (3.7.3)公式)的理解不全面或者有誤. 這主要是由于，他們認(rèn)為動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′是在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中建立的. 實(shí)際上，筆者認(rèn)為周先生教材中的坐標(biāo)系O-xy和坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′都是在同一個(gè)參考系中建立的，即可以認(rèn)為都是在以地面為參考系中建立的. 若坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′是在固連于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中建立的，則剛體相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系靜止，即剛體上的任意一點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′中始終靜止；在任意時(shí)刻P點(diǎn)的速度都為零，即vx′=0,vy′=0. 坐標(biāo)系O-xy與坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′的關(guān)系，類似于在同一個(gè)參考系中建立的直角坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系的關(guān)系. 相對(duì)于同一個(gè)參考系，公式(2)和(3) (即分別為周先生教材中的(3.7.2)和(3.7.3)兩公式)分別是P點(diǎn)的速度在靜坐標(biāo)系o-xy和動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′中的分量形式. 在任意時(shí)刻，不同坐標(biāo)系中P點(diǎn)的速度方向相同，大小也相同). 以地面為參考系建立的動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′，是研究剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心、本體極跡的需要. 在不同時(shí)刻t，動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′的坐標(biāo)軸方向會(huì)有所不同. 在時(shí)刻t，坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′的坐標(biāo)軸方向是一定的，周先生教材中剛體平面平行運(yùn)動(dòng)部分公式(3.7.3)考慮的是，在時(shí)刻t，以地面為參考系，P點(diǎn)的速度v在坐標(biāo)系A(chǔ)-x′y′中的分量形式.

[1]呂剛，宮衍香.對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論[J].物理與工程,2006,16(5):56-58.

[2]鞠國(guó)興. 對(duì)“對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論”一文的質(zhì)疑[J].物理與工程,2008,18(3):60-64.

[3]蔣小勤. 關(guān)于“對(duì)《理論力學(xué)教程》中兩個(gè)問題的討論”的討論[J].物理與工程, 2012,22(2):1-3.

[4]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].3版. 北京:高等教育出版社,1986:144-150.

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作者簡(jiǎn)介：尹海峰，男，副教授，主要從事理論物理的教學(xué)和研究工作，研究方向?yàn)榧{米材料的光學(xué)特性.yinhaifeng1212@126.com

基金項(xiàng)目：貴州省2013年物理學(xué)專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目，凱里學(xué)院原子與分子物理重點(diǎn)學(xué)科項(xiàng)目，國(guó)家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào)：11464023).

收稿日期:2014-10-02