創(chuàng)新“面積”教學(xué)的三個(gè)舉措

江蘇海安縣教師進(jìn)修學(xué)校附屬小學(xué)（226611） 王向紅

“面積”教學(xué)是小學(xué)中年級(jí)數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何初步知識(shí)教學(xué)、建立空間觀念的重要內(nèi)容，是由長(zhǎng)度一維向兩維發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，是對(duì)于面作數(shù)值計(jì)量的重要體現(xiàn)，為立體空間的考察、研究奠定基礎(chǔ)。因此，“面積”的教學(xué)具有特別重要的承上啟下的建構(gòu)意義，需要教師在教學(xué)中創(chuàng)新設(shè)計(jì)，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的落實(shí)。

“面積”教學(xué)主要涉及面積和面積單位的概念與意義，長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形以及圓形等平面圖形面積的計(jì)算。它以點(diǎn)、線、角的知識(shí)為基礎(chǔ)，與圖形的對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、密鋪等運(yùn)動(dòng)變化的知識(shí)相交織。

一、強(qiáng)化“面積”概念的理解性教學(xué)

應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，學(xué)生初次接觸“面積”概念時(shí)，一般都不容易理解“面積”是怎么一回事，這是由于“面”的概念是個(gè)基礎(chǔ)性概念不需要說(shuō)，而且也不易說(shuō)清楚。加之，“面積”定義中主要指的是平面——可無(wú)限延展，但不排斥有限范圍的物體的表面——曲面，因?yàn)樾枰莺图骖櫰浜笊婕皥A柱側(cè)面積、圓錐漏斗等展開的面的計(jì)算，所以定義“面積不涉及曲面”，將會(huì)使后面的圓柱體、圓錐體等表面和側(cè)面的面積計(jì)算不能自圓其說(shuō)。所謂“面積”，其實(shí)就是有限部分面的大小。衡量面的大小，并用數(shù)值表達(dá)衡量的結(jié)果就是其面積。

在“面積”表述的這個(gè)“面”中，含有兩種情況：一是物體的表面與平面封閉圖形有限部分的面；二是有長(zhǎng)度、寬度，無(wú)厚度。在實(shí)際教學(xué)中，不少教師把握不住“面積”這一實(shí)質(zhì)，往往過(guò)多地讓學(xué)生進(jìn)行手摸物體表面、比較兩個(gè)物體表面大小的操作探究活動(dòng)，以此來(lái)代替對(duì)“面積”的意義抽象、概括和歸納的解讀思維。加之，有的教材不出現(xiàn)“面積”定義的明確結(jié)語(yǔ)，師生在教學(xué)中缺乏依據(jù)及多數(shù)課堂忽視“面積”定義形成的思維過(guò)程，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于“面積”概念不甚了解。

課堂教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生多舉出對(duì)于面的理解的實(shí)例，然后運(yùn)用多媒體投影，生動(dòng)形象地呈現(xiàn)這些生活現(xiàn)象，如卷席子、剝橘皮、擦黑板、掃地面、潑墨涂色、觀察水面、鋪地磚、刷墻壁、壓路機(jī)壓路面等，以此強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于面的感知，使他們積累生活經(jīng)驗(yàn)，夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，牢固支撐對(duì)于面和面積的理解。在“面積”教學(xué)中，教師要安排學(xué)生強(qiáng)化“面積”單位意義的體驗(yàn)，這需要一個(gè)有序的發(fā)展過(guò)程。

1．讓學(xué)生產(chǎn)生“面積”單位這一概念的自我需要

課堂教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生對(duì)給出的一個(gè)個(gè)待測(cè)范圍有限的面，自己直接說(shuō)出其大小，使之發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用中介替代物來(lái)計(jì)量。如教師提供方桌、文具盒、芭蕉扇、磁盤和郵票等常用物品，讓學(xué)生想辦法說(shuō)出這些物品表面的大小。學(xué)生紛紛回答：“黑板有一或兩個(gè)方桌面的大小?！薄昂诎迕嬗薪淌议T般的大小?！薄罢n桌面有七八本課本封面的大小。”“課桌面有一二十個(gè)信封的大小?！薄皶久婕s有三四塊瓷磚面的大小?！薄皶痉饷嬗袔资畯堗]票面的大小?！薄?/p>

2．讓學(xué)生關(guān)注自己所說(shuō)進(jìn)行優(yōu)劣的比較評(píng)價(jià)

通過(guò)群體評(píng)價(jià)，使學(xué)生明白以下三點(diǎn)：（1）覆蓋排列時(shí)應(yīng)當(dāng)正好密鋪——不重疊、不留空隙，就像點(diǎn)數(shù)物體個(gè)數(shù)一樣，要依次不重復(fù)、不遺漏地有序數(shù)過(guò)；圓形、芭蕉扇面作為比照對(duì)象不可取，不可能實(shí)現(xiàn)密鋪。（2）長(zhǎng)方形作為比照對(duì)象時(shí)，在兩條相鄰的邊上衡量的單位長(zhǎng)度不一致，實(shí)際使用不方便，只有正方形最合適。（3）在確定單位面積的形狀后，引導(dǎo)學(xué)生明確面積單位與基本長(zhǎng)度單位之間的聯(lián)系，由此根據(jù)基本長(zhǎng)度單位厘米、分米、米，推導(dǎo)出面積單位可以分別用邊長(zhǎng)為1厘米、1分米、1米的正方形來(lái)衡量，并分別出現(xiàn)1平方厘米、1平方分米和1平方米的面積單位名稱。

3．認(rèn)識(shí)“面積”計(jì)量由動(dòng)手?jǐn)[量走向動(dòng)腦計(jì)算

也就是說(shuō)，通過(guò)分別測(cè)量長(zhǎng)度，了解豎直方向與水平方向可擺多少個(gè)面積單位，再計(jì)算出它們的乘積，以此得知一共可以擺滿多少個(gè)面積單位，就得知待測(cè)面積有多大了。這就實(shí)現(xiàn)面積計(jì)量策略的根本性轉(zhuǎn)變，由擺鋪面積單位的手“量”走向了腦“算”，使得面積計(jì)量過(guò)程變得便捷、簡(jiǎn)單。另外，課堂教學(xué)中，教師可讓學(xué)生觀看革命斗爭(zhēng)影視片，重點(diǎn)讓學(xué)生觀察土改分田工作組拿步弓和算盤丈量土地、測(cè)算土地面積的畫面。

二、顯露“面積”計(jì)算的共同性關(guān)聯(lián)

1．顯露“面積”計(jì)算中的基本算法思想

因?yàn)閳D形面積的計(jì)量不論形狀如何，其實(shí)都是算出豎直方向和水平方向各有多長(zhǎng)來(lái)求其積。課堂教學(xué)中，教師要把這一思想貫徹于各種圖形面積計(jì)算之中，這樣不管是長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，還是圓形，都要想方設(shè)法在面積不變的情況下，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形（正方形）的面積計(jì)算方法，即二維長(zhǎng)度求其積，其基本的計(jì)算方法都是乘法。在各種圖形面積計(jì)算教學(xué)中，這一思想應(yīng)當(dāng)一以貫之的凸顯。

2．凸顯計(jì)算公式中共同的乘法運(yùn)算

教師應(yīng)當(dāng)從幾種圖形面積計(jì)算公式的不同表達(dá)中，讓學(xué)生找出和發(fā)現(xiàn)公式中基本是乘法運(yùn)算這一共同點(diǎn)。如要把三角形和梯形面積計(jì)算公式中出現(xiàn)的加法與“除以2”，都作為在某一方向（比如水平方向）求取確認(rèn)數(shù)值，通過(guò)取均值，以獲得正如我國(guó)古人所說(shuō)的“半廣”和“半高”。最終，這些圖形面積公式基本的計(jì)算方法仍然是運(yùn)用兩維長(zhǎng)度相乘求積。圓形也一樣，實(shí)際上是將半徑與半周相乘求積。

3．揣測(cè)“面積”概念和名稱的來(lái)龍去脈

課堂教學(xué)中，教師可通過(guò)對(duì)圖形的剪拼、割補(bǔ)來(lái)實(shí)現(xiàn)圖形的等積變形，幫助學(xué)生理解“面積”概念的實(shí)質(zhì)。同時(shí)，正因?yàn)槊娣e計(jì)量都是借助二維長(zhǎng)度算其乘積，這就規(guī)定了共同的基本計(jì)算方法是乘法，結(jié)果都是積，是對(duì)于面大小的計(jì)量數(shù)值，所以叫做“面積”。這樣教學(xué)，既引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)“面積”概念及其命名來(lái)由的理解，又使學(xué)生掌握了其中的來(lái)龍去脈，用以突出對(duì)各種圖形面積計(jì)量中共同點(diǎn)的把握，提高課堂教學(xué)的效率。

三、突出圖形“面積”的發(fā)展性延伸

平面圖形面積計(jì)算的教學(xué)，需要引領(lǐng)學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)和空間觀念建立不斷拓展，在面積計(jì)算中積極實(shí)現(xiàn)發(fā)展性延伸，以獲得可持續(xù)的發(fā)展。這就要求教師從改革創(chuàng)新教學(xué)出發(fā)活用教材，抓好“面積”計(jì)算教學(xué)中的幾個(gè)改進(jìn)性舉措。

1．密鋪知識(shí)教學(xué)適當(dāng)前置

教學(xué)“面積”的計(jì)量，起初需要讓學(xué)生用具有一定面積作為單位的替代物來(lái)度量待測(cè)面的面積。“面積”度量操作時(shí)應(yīng)當(dāng)實(shí)行密鋪，使得每次擺放與下一次擺放都能覆蓋待測(cè)面，要求不重疊、不遺漏，這與點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)不重復(fù)、不遺漏的要求其實(shí)是相通的。而小學(xué)數(shù)學(xué)中的“密鋪”概念在這之前并未出現(xiàn)過(guò)，雖然學(xué)生憑生活經(jīng)驗(yàn)可以接受和理解，但是從知識(shí)安排的序列邏輯要求出發(fā)，還是應(yīng)當(dāng)事先予以交代，做好鋪墊為宜，這是“面積”度量操作學(xué)習(xí)中存在的一個(gè)小小缺失。因此，“密鋪”教學(xué)可以提前到“面積”概念出現(xiàn)前，至少要在教材中做好滲透處理，免得出現(xiàn)時(shí)學(xué)生覺(jué)得突然。而且，在這里安排“密鋪”教學(xué)，才會(huì)讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)密鋪知識(shí)的實(shí)際意義。教師可于此適時(shí)提及，也可在后來(lái)再教學(xué)密鋪知識(shí)，免得學(xué)生感覺(jué)知識(shí)出現(xiàn)突如其來(lái)，不知就里。

2．等積變形操作務(wù)求落實(shí)

我們知道，關(guān)于圖形面積計(jì)算方法的推導(dǎo)教學(xué)，一般課堂對(duì)投影課件演示圖形變化很是注重，這往往是把學(xué)生放在觀察者的地位上。其實(shí)，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形變化的自主操作，強(qiáng)化其切身體驗(yàn)。因此，圖形計(jì)算的推導(dǎo)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，通過(guò)折紙、剪割、拼擺等方式，讓學(xué)生獨(dú)自進(jìn)行圖形等積的變化。學(xué)生在自己動(dòng)手中必然會(huì)思考“如何動(dòng)手”“為什么要這樣做”“出現(xiàn)的圖形有何變化”“說(shuō)明了什么”等問(wèn)題，這就是自悟面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生加深體驗(yàn)和理解。筆者以為，課堂教學(xué)中的課件投影雖然其觀賞性較強(qiáng)，但是它顯示的是教師的工夫，是工具形式的新穎，論起它對(duì)學(xué)生的接受效果而言，遠(yuǎn)非親自操作所能比較的。因此，在“面積”教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生圖形變化運(yùn)動(dòng)的操作技能，不應(yīng)當(dāng)把工夫花在提高課堂教學(xué)的觀賞性上。

3．圖形轉(zhuǎn)化思路多途打通

在多種平面圖形面積的計(jì)算推導(dǎo)教學(xué)中，教材往往是先安排長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)量，再安排平行四邊形的面積計(jì)算，推導(dǎo)中將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，然后以平行四邊形為基礎(chǔ)，將三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，最后將圓形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或長(zhǎng)方形。筆者以為，中間設(shè)置的平行四邊形面積計(jì)算可以略化，突出長(zhǎng)方形面積的計(jì)量，三角形和梯形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)完成面積計(jì)算的推導(dǎo)。而且，進(jìn)行了如此的有序推導(dǎo)后，教師要在階段復(fù)習(xí)中著意安排學(xué)生進(jìn)行自我探究，任其隨意推導(dǎo)，探究新的推導(dǎo)思路。比如，將各種平面圖形都轉(zhuǎn)化為三角形或者梯形，推導(dǎo)出各自的面積計(jì)算公式，這里教師可以放手讓學(xué)生自由探究。又如，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)折三角形紙片，將三個(gè)內(nèi)角拼成一個(gè)平角，這樣三角形紙片就變?yōu)殡p層的小長(zhǎng)方形了，其中的長(zhǎng)和寬分別是原三角形底與高的一半，面積的推導(dǎo)就不難借助算式變形實(shí)現(xiàn)了。事實(shí)上，各種基本平面圖形都是可以相互轉(zhuǎn)化的，教師要讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，實(shí)行多通道、多途徑的圖形靈活轉(zhuǎn)化，而不是局限于教材的一種固定思路，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、獨(dú)創(chuàng)性很有價(jià)值。同時(shí)，這樣教學(xué)，可大大深化學(xué)生對(duì)面積計(jì)算方法的理解，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握水平。

4．公式理解運(yùn)用靈活發(fā)散

對(duì)于各種基本平面封閉圖形的面積計(jì)算公式的理解，其核心是乘法，是兩維長(zhǎng)度求其積。要讓學(xué)生真正理解這一點(diǎn)，教師可以在幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中精心凸顯一些細(xì)節(jié)的安排。如：（1）圓形可以寫成半徑與半周相乘的形式。（2）對(duì)三角形和梯形面積計(jì)算公式中的“加法”與“除以2”，相對(duì)于基本核心計(jì)算的乘法而言，屬于另類計(jì)算。這里要說(shuō)明是為了取得一個(gè)方向上長(zhǎng)度的平均值，屬于基本核心計(jì)算方法的先導(dǎo)和輔助部分。（3）對(duì)于公式中“除以2”的部分，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生突破固化的理解。“除以2”，不總是理解為將平行四邊形面積除以2，可以是將底長(zhǎng)除以2，為求底的一半，即“半底”（古人稱為“半廣”）；或者是將高除以2，求高的一半，即“半高”?！俺?”這一部分，在公式中可以前后靈活移動(dòng)的。（4）要通過(guò)對(duì)公式中“除以2”部分的靈活移動(dòng)變形，賦予意義的靈活理解，再現(xiàn)實(shí)際對(duì)應(yīng)的圖形形象，以強(qiáng)化圖形的運(yùn)動(dòng)和變化觀念，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

如果平面圖形面積果真能夠如此教學(xué)，將會(huì)大大提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握水平，促進(jìn)他們空間觀念高效、快速、可持續(xù)的建立與發(fā)展。