中考解題三步驟

鄒少揚

（福建莆田荔城區(qū)中山中學(xué)）

認真研究數(shù)年的中考真題，發(fā)現(xiàn)對于任何一種題型，要想將問題迎刃而解，必須掌握好以下三個步驟：

一、透徹理解數(shù)學(xué)概念——明確解題的方向及范圍

要想進行正確的思維活動，獲得關(guān)鍵的解題思路，必須明確其中的各個數(shù)學(xué)概念，那么就要清晰地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，概念的內(nèi)涵：即這個概念所反映的事物的本質(zhì)的屬性。如，（1）等邊三角形：三角形，三邊相等；（2）矩形：平行四邊形，一個角是直角；（3）相反數(shù)：兩個數(shù)，只有符號相反……概念的外延：即適合這個概念的一切對象。如，（1）復(fù)數(shù)：實數(shù)和虛數(shù)；（2）實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)；（3）有理數(shù)：整數(shù)和分數(shù)……

所以，學(xué)生在對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)時需要注意每個概念的內(nèi)涵和外延，要善于解剖概念中的關(guān)鍵詞語，只有明確了概念，才能在解題的過程中尋找關(guān)鍵的信息，了解了考查對象的本質(zhì)及范圍，就明確了解題的方向及深度，等于找到了黑暗的道路中的一盞明亮指路燈，茂密的森林中的一個指明方向的指路牌。

二、聯(lián)想相關(guān)知識信息——利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知轉(zhuǎn)為已知

研究教材中的知識體系時，常常會用到一個數(shù)學(xué)思想方法：轉(zhuǎn)化的思想。

如，在我們的教材中：

七年級時，將有理數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算；將有理數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算；將一元二次方程的解法轉(zhuǎn)化為解一元一次方程；將解分式方程轉(zhuǎn)化為解整式方程……

八年級時，將四邊形的問題轉(zhuǎn)化為三角形的問題；將復(fù)雜的、不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形進行解決……

九年級時，將銳角三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題；將圓的問題轉(zhuǎn)化為相似的問題；將內(nèi)心問題轉(zhuǎn)化為角平分線的問題……

在平時的教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)對于知識的生成過程，新問題的解決方法的尋找，利用的都是轉(zhuǎn)化的思想，在尋找問題的解題思路中，也可以遵循這個規(guī)則：透徹理解數(shù)學(xué)概念之后，將孤立的知識點與已學(xué)過的知識相聯(lián)系，整合，尋找其異同點，繼而復(fù)雜的簡單化，繁復(fù)的簡潔化，彎曲的直接化等，將難以解決的問題轉(zhuǎn)化為已知的、已會的問題來解決。

三、利用基本模型得到方法——尋找已知的基本模型，得到解題的方法

在平時的教學(xué)過程中，將各個題型的解題規(guī)律進行歸納總結(jié)，讓學(xué)生的知識體系系統(tǒng)化，故數(shù)學(xué)具有較多的基本模型：

在學(xué)習(xí)方程時，握手問題、賀卡問題、比賽問題、路程問題、增長率問題、優(yōu)惠問題等；

在學(xué)習(xí)角平分線時：角平分線、等腰、平行，三個中“知二得一”模型；

在學(xué)習(xí)圓的垂徑定理時：過圓心的直徑、平分弦、垂直于弦、平分弦所對的優(yōu)弧、劣弧，五個中“知二求三”模型；

在學(xué)相似三角形中，有射影定理、兩兩相似等等。

認真研究這些基本模型，在做題的過程中往往可以達到事半功倍的效果。

本文從中考真題中一道三角形的四心的問題進一步解析這三個步驟，對于三角形的四心，一則學(xué)生無法區(qū)別四心的概念，二則因為四心定義的簡單，學(xué)生無法從中獲得有用的信息，而對題目束手無策。

例：拋物線C1：y=ax2+bx+c 的開口向下，頂點為D 點，與y 軸交于點C，且經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，若△ABD 的面積為8.

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）Q 是拋物線C1上的一個動點，當(dāng)△QBC 的內(nèi)心落在x 軸上時，求此時點Q 的坐標。

（1）易求拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3

（2）師：看到這道題，你們有什么想法？

生甲：先找到三角形的內(nèi)心。

生乙：Q 點是動點，則△QBC 是動態(tài)的，內(nèi)心無法確定其準確位置。

學(xué)生在這時候，就斷了思路，其實這是對內(nèi)心還沒有了解透徹，而是把內(nèi)心孤立看成一點。以下我們來解析解題三步驟：

步驟一，透徹理解數(shù)學(xué)概念——明確解題的方向及范圍。

內(nèi)心是三角形內(nèi)切圓的圓心。

步驟二，聯(lián)想相關(guān)知識信息——利用轉(zhuǎn)化的思想，將未知轉(zhuǎn)為已知。

內(nèi)切圓圓心，聯(lián)想到半徑，就容易聯(lián)想到到三角形三邊距離相等，進而得到內(nèi)心即為三角形角平分線的交點。

可以很容易將內(nèi)心的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已有的角平分線的性質(zhì)。

如點I 是△ABC 的內(nèi)心（角平分線的交點）則：

性質(zhì)：基本模型（1）具有角平分線的性質(zhì)。

基本模型（2）可以利用角平分線的幾何模型，構(gòu)造輔助線：

如上圖，∠MAB=∠AON

ON∥AB，∠1=∠2圯OA=AB

基本模型（3）因為角度相等所以可以構(gòu)造圖形的對稱性，添加輔助線：

等腰三角形；

全等三角形；

全等的直角三角形。

步驟三，利用基本模型得到方法——尋找已知的基本模型，得到解題的方法

本題中已知內(nèi)心在x 軸上，說明x 軸即為本三角形的一條角平分線，利用角平分線的原始性質(zhì)，分兩個角相等，而由∠CBO=45°，可得∠CBQ=90°

利用以上基本模型（3）中等腰直角三角形的性質(zhì)，可得E 點的坐標，那么直線BE 的解析式即可得，直線BE 與拋物線的交點Q 也就可求了。

所以如果知道內(nèi)心的性質(zhì)即為角平分線的性質(zhì)，那么本題就可以迎刃而解。

唐瑞芬.數(shù)學(xué)教學(xué)理論選講.華東師范大學(xué)出版社，2001.