淺談大學(xué)物理中微積分思想的應(yīng)用

文/朱軍芳

淺談大學(xué)物理中微積分思想的應(yīng)用

文/朱軍芳

摘要:微積分是大學(xué)物理學(xué)習(xí)中重要的數(shù)學(xué)工具，也是初學(xué)大學(xué)物理時(shí)遇到的一個(gè)困難。我們?yōu)槭裁匆梦⒎e分，如何使用微積分，應(yīng)用微積分時(shí)應(yīng)注意哪些問(wèn)題?這都是我們大學(xué)物理學(xué)習(xí)中應(yīng)用微積分應(yīng)該注意的問(wèn)題。本文逐次闡述這幾個(gè)問(wèn)題，并從實(shí)際例子中加以說(shuō)明。

關(guān)鍵詞:大學(xué)物理;微積分;應(yīng)用

物理現(xiàn)象和規(guī)律的研究是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的［1］，而我們實(shí)際解決的問(wèn)題往往更為復(fù)雜。那么怎樣才能從簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律入手，解決復(fù)雜的問(wèn)題呢?其中微積分工具和思想及其重要。微積分作為大學(xué)物理學(xué)習(xí)中重要的數(shù)學(xué)工具，是初學(xué)大學(xué)物理時(shí)遇到的一個(gè)困難。那么我們?cè)诖髮W(xué)物理的學(xué)習(xí)和教學(xué)中怎樣應(yīng)用好這個(gè)重要工具并解決遇到的困難呢?下面我們從幾個(gè)方面說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。

一、為什么要用微積分?

首先，要認(rèn)識(shí)到微積分的思想本質(zhì)和重要性。微積分思想和方法是一種辯證的思想和分析方法，它包含了有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一，近似于精確的對(duì)立統(tǒng)一［2］。其基本思想是將整體進(jìn)行無(wú)限分割，分割后的每一小部分可以近似于簡(jiǎn)單問(wèn)題的情況，這就是微分。把簡(jiǎn)單解決，然后進(jìn)行求和，無(wú)限求和即是積分。我們知道的是簡(jiǎn)單問(wèn)題的處理，而大多數(shù)問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜。借助于微積分，我們可以通過(guò)微積分的思想將我們知道的有限的簡(jiǎn)單問(wèn)題應(yīng)用到復(fù)雜問(wèn)題的解決當(dāng)中，使我們對(duì)各種復(fù)雜問(wèn)題的現(xiàn)象及背后規(guī)律有更加深刻而清晰的認(rèn)識(shí)。所以微積分不僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具，更是我們理解和探索世界的一個(gè)重要思想。

二、如何使用微積分

微積分在運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、以及電磁學(xué)等各個(gè)分支都有應(yīng)用，那么，微積分的應(yīng)用究竟要遵循什么樣的方法?我們以下面的例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。大家都熟知恒力做功W =珗F(tuán)·Δ珒r(jià)。如圖1，如果物體在變力下做曲線運(yùn)動(dòng)，則可將運(yùn)動(dòng)曲線分割成許多足夠小的位移元d珒r(jià)做。對(duì)于每一段位移元，對(duì)應(yīng)的力變化很小，可以看做是恒力珗F(tuán)，所以對(duì)每一段位移元有元功dW =珗F(tuán)·d珒r(jià)，而外力作用下從初始點(diǎn)a到末尾位置b共做功為每一段位移元上力所做功之和，即又比如，在靜電場(chǎng)中求解電場(chǎng)強(qiáng)度，電場(chǎng)強(qiáng)度通量，電勢(shì)，磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度通量等物理量時(shí)，微積分也是常用的方法。例如，求均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖2，我們可以取帶點(diǎn)線元dq =λd珒l作為電荷元，每個(gè)電荷元可以近似為一個(gè)點(diǎn)電荷。

三、應(yīng)用微積分應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)如果計(jì)算的物理量是矢量［3］。那么，矢量既有大小又有方向。在物理中，我們通常要建立坐標(biāo)系，把微元對(duì)應(yīng)的物理量計(jì)算出來(lái)，然后將其投影到坐標(biāo)分量上，每個(gè)坐標(biāo)分量可以視為標(biāo)量，分別進(jìn)行積分。最后再寫(xiě)成矢量形式。

(2)微積分運(yùn)算中經(jīng)常遇到積分困難的情況，可以根據(jù)具體情況解決［3］。如果是積分號(hào)內(nèi)變量不統(tǒng)一問(wèn)題，需要根據(jù)實(shí)際情況將找到變量之間的關(guān)系，使得變量統(tǒng)一，然后進(jìn)行積分。比如，求載流直導(dǎo)線在空間中與直導(dǎo)線為距離為r0某一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度［4］。如圖2，我們建立坐標(biāo)系，先寫(xiě)出電流元Idz在空間該點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，積分為，其中涉及到變量z，r，θ。我們找出這三個(gè)變量的關(guān)系，并將變量統(tǒng)一到角變量θ上來(lái)，最終實(shí)現(xiàn)積分

如果是微分式兩邊變量個(gè)數(shù)多而不能直接積分，那么需要通過(guò)變量代換，減少變量數(shù)，然后進(jìn)行積分。比如，加速度是x的顯函數(shù)a = a(x)，求v。由a == a(x)，可知式子兩邊包含三個(gè)變量v，x，t，直接積分顯然積不出來(lái)。這時(shí)我們把需要求解的v和已知的x變量保留，根據(jù)v =得到dt =，從而將dt變量用替換。這樣式子就變?yōu)関dv = a(x) dx，式中只有兩個(gè)變量，左右積分即可求出變量v。

四、結(jié)論

綜上所述，我們針對(duì)大學(xué)物理學(xué)習(xí)和教學(xué)中比較重要但又是難點(diǎn)的微積分思想和應(yīng)用進(jìn)行了闡述，說(shuō)明應(yīng)用微積分的原因、意義，怎樣使用微積分，以及使用微積分應(yīng)注意的問(wèn)題。微積分作為解決物理問(wèn)題的基本工具和思維方法，我們只有掌握好它，才能夠使得大學(xué)物理的學(xué)習(xí)和教學(xué)得到鞏固和發(fā)展。

(作者單位:西南科技大學(xué)理學(xué)院)

參考文獻(xiàn):

［1］黎定國(guó)，鄧玲娜，劉義寶，潘小青．大學(xué)物理中微積分思想和方法教學(xué)淺談，大學(xué)物理，第14卷第12期，2005，51－54．

［2］龔昇．對(duì)微積分中主要矛盾的粗淺認(rèn)識(shí)［J］，高等數(shù)學(xué)研究，1999，3，9－12．

［3］馬文蔚，殷實(shí)，沈才康，包剛．物理學(xué)習(xí)題分析與解答(第五版)，高等教育出版社，2006，6．

［4］鄺向軍，劉昌富，任學(xué)藻．大學(xué)物理學(xué)下冊(cè)，高等教育出版社，2015，4．

作者簡(jiǎn)介:朱軍芳(1980－)，女，漢族，山西忻州，博士，講師，統(tǒng)計(jì)物理。

中圖分類(lèi)號(hào):G4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):2095－9214 (2015) 12－0130－01