一類含p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程多點(diǎn)邊值問題解的存在性

鄭春華，劉文斌(．陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西咸陽　7000;．中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇徐州　6)

?

一類含p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程多點(diǎn)邊值問題解的存在性

鄭春華1，劉文斌2
(1．陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西咸陽712000;2．中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇徐州221116)

摘要:利用上下解方法和緊向量場(chǎng)方程的解集連通理論研究了一類含p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程多點(diǎn)邊值問題．得到了這類邊值問題解存在的充分條件，并在允許非線性項(xiàng)變號(hào)的情況下得到了該邊值問題非負(fù)解的存在性，推廣和改進(jìn)了一些已有結(jié)果．

關(guān)鍵詞:p-Laplace算子;時(shí)滯;多點(diǎn)邊值問題;上下解方法;連通性

引用格式:鄭春華，劉文斌．一類含p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程多點(diǎn)邊值問題解的存在性［J］．安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2015，38(2) : 117－122．

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，在醫(yī)學(xué)、生態(tài)學(xué)、自動(dòng)控制等應(yīng)用研究領(lǐng)域中提出了大量具有時(shí)滯的微分方程，它們一直受到科學(xué)研究人員的廣泛關(guān)注［1］．由于時(shí)滯微分方程的周期邊值問題和兩點(diǎn)邊值問題相對(duì)比較簡(jiǎn)單，研究工作相對(duì)較多，也比較深入，已經(jīng)出現(xiàn)不少有代表性的結(jié)果［2－5］．在多點(diǎn)邊值問題方面，常微分方程的相關(guān)問題的研究已經(jīng)進(jìn)行了幾十年，也已取得不少出色的結(jié)果［6－8］，但關(guān)于時(shí)滯微分方程相應(yīng)邊值問題的結(jié)果還不是很多．在文獻(xiàn)［9］中，作者利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問題正解的存在性．

對(duì)于含有p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程的非局部邊值問題，文獻(xiàn)［10］的作者利用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理和Leggett-Williams不動(dòng)點(diǎn)定理研究了問題正解的存在性．

上下解方法是微分方程邊值問題研究中的一種經(jīng)典方法，在時(shí)滯微分方程的多點(diǎn)邊值問題的工作中，利用上下解方法開展研究的還不多．在本文中，我們以上下解方法和緊向量場(chǎng)方程的解集連通理論為工具研究含有p-Laplace算子的時(shí)滯微分方程的多點(diǎn)邊值問題

解的存在性，得到了邊值問題(1)解存在的充分條件，進(jìn)一步我們還得到了它存在非負(fù)解的條件，其中p(s)且φ(0) = 0，m為大于

2的整數(shù)．

1　預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)u∈C［－τ，1］∩C1［0，1］且p(u')∈C1［0，1］，若u(t)滿足則稱u(t)為邊值問題(1)的下解，類似可以給出其上解的定義．

下面列出兩個(gè)文中經(jīng)常用到的條件，

(A1) BVP(1)存在下解珋x0(t)和上解珋y0(t)且珋x0(t)≤珋y0(t)，

(A2) f∈C(［0，1］×R×R，R)且f(t，珋x0(t)，y)和f(t，珋y0(t)，y)關(guān)于y單調(diào)遞增．

引理1［11］設(shè)Ω為Banach空間X中的有界閉凸集，T:［a，b］×Ω→Ω為全連續(xù)映射，則集合

S = { (λ，x) | T(λ，x) = x，λ∈［a，b］}

包含一條連接{ a}×Ω與{ b}×Ω的連通分支Σ．

引理2 珋x(t)為邊值問題(1)的解的充要條件是x(t) =珋x(t)－x*(t)是問題的解，其中

引理2的證明是容易的，在此略去．

由引理2知，要研究問題(1)解的情況只需討論邊值問題(2)解的情況即可．若珋x0(t)和珋y0(t)分別為BVP(1)的下解和上解且珋x0(t)≤珋y(t)，容易驗(yàn)證x0(t) =珋x0(t)－x*(t)和y0(t) =珋y0(t)－x*(t)分別為BVP(2)的下解和上解且x0(t)≤y0(t)．

定義修正函數(shù)

f*(t，x(t)，x(t－τ) + x*(t－τ) )

有下面的引理3．

引理3 若條件(A1)和(A2)成立，則對(duì)BVP(3)的解x(t)有x0(t)≤x(t)≤y0(t)，t∈(0，1)成立．

證明 設(shè)x(t)為BVP(3)的任意一個(gè)解，若x(t)≥x0(t)不成立，則存在t0∈［0，1］使得x(t0)－．由于x(0)－x0(0) = 0，故t0∈(0，1］．如果t0= 1，則

x'(t)－x'0(t)＜0 t∈(t0－δ，t0)，

再結(jié)合p的單調(diào)性可知

p(x'(t) )＜p(x'0(t) ) t∈(t0－δ，t0)，從而有(p(x')－p(x'0) ) '(t0)≥0．

另一方面，由BVP(3)中的第一個(gè)方程、修正函數(shù)及下解的定義可知

(1)若x(t0－τ)≤x0(t0－τ)，則

(2)若x(t0－τ)＞x0(t0－τ)，則利用條件(A2)可知

顯然和前面的結(jié)論矛盾，因此，x(t)≥x0(t)成立．類似可以證明x(t)≤y0(t)．

2　主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)條件(A1)－(A2)成立，則邊值問題(1)有解．

證明 利用引理2和引理3可知，要證明邊值問題(1)有解，只需證明邊值問題(3)有解即可．將邊值問題(3)和下解轉(zhuǎn)化為方程組的形式，

(4)有解．

為了利用引理1證明BVP(4)有解，引入以下幾個(gè)定義．

并定義范數(shù)

首先證明x2(t)在［0，1］上有零點(diǎn)．事實(shí)上，如果x2(t)＞0，t∈［0，1］由BVP(4)中的第二個(gè)方程可知x'1(t)＞0，t∈［0，1］，故x1(1)＞x1(t)≥x1(0) = 0．另一方面，利用

(1)可得x1(1)≤0，矛盾．類似可證x2(t)＜0，t∈［0，1］也不可能，故x2(t)在［0，1］上有正有負(fù)，利用微分中值定理知結(jié)論成立．

再利用的有界性和BVP(4)中的第二個(gè)方程可得M的存在性．

定義算子:

其中D(L) = { x | x∈X∩C1［0，1］×C1［0，1］}．易證

定義算子

易知X = KerLKerP，Y = ImLR，對(duì)任意的x∈X有x = C + W，其中

則Lp具有連續(xù)的逆算子，記Kp= Lp－1，KPQ= KP(I－Q)．由于Kp全連續(xù)，I－Q和連N續(xù)，從而KPQ全連續(xù)．

容易驗(yàn)證問題(4)等價(jià)于

若記T(c，W) = KP(I－Q) N(C + W)，利用F的有界性可得N也是有界算子，進(jìn)一步可知存在有界閉凸集Ω KerP使得T(c，Ω)Ω，進(jìn)而利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理容易證明對(duì)任意的c∈R都有W∈Ω滿足(5)中的第一個(gè)方程，即

W(c) = { W | W = KP(I－Q) N(C + W) }≠?．

由引理1可知對(duì)任意的m，n∈R且m＜n，集合S = { (c，W) | T(c，W) = W，c∈［m，n］}包含一條連接{ m}×W(m)與{ n}×W(n)的連通分支Σ．

對(duì)于任意的c∈R，由于集合W(c)Ω有不依賴于c的界，故可以選c1∈R取使得c1+ w2(t)＞y02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c1)，這里y0(t) = (y01(t)，y02(t) )T為相應(yīng)于邊值問題(4)的上解．

可知要使(5)中的第二個(gè)方程成立，只需證明存在(c0，W0)使得式子

成立即可，其中W0= (w01(t)，w02(t) )T∈W(c0)．利用上解的定義和q的單調(diào)性可得

同理可選常數(shù)c2＜c1使得c2+ w2(t)＜x02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c2)．類似于上面的證明可知

成立．再利用Σ的連通性和介值定理可知存在c0∈［c2，c1］及相應(yīng)的W0使得(c0，W0)∈Σ且方程(5)中的第二個(gè)方程也成立．記C0=［0，c0］T，則C0+ W0為方程(5)的解，也為BVP(4)的解，w01(t)為問題(2)的解，進(jìn)而利用引理2可知BVP(1)有解．

推論1 設(shè)f(t，x，y)滿足

(B1)且存在常數(shù)b＞0滿足

(B2) f(t，0，y)和f(t，bt，y)關(guān)于y單調(diào)遞增; 則BVP(1)有非負(fù)解．

分別為BVP(1)的下解和上解且x珋0(t)≤y珋0(t)，利用定理1可知BVP(1)存在解x(t)滿足0≤x(t)≤bt，t∈［0，1］，即BVP(1)存在非負(fù)解．

易驗(yàn)證條件(B1)、(B2)成立，利用推論1可知邊值問題(6)存在非負(fù)解x(t)滿足0≤x(t)≤t，t∈［0，1］．

參考文獻(xiàn):

［1］Jack Hale．泛函微分方程理論［M］．北京:世界圖書出版公司2003．

［2］ SHU X B，HUANG L H，LI Y J．Triple positive solutions for a class of boundary value problems for second-order neutral functional differential equation［J］．Nonlinear Analysis．2006，65(4) :825－840．

［3］ WANG Y Y，ZHAO W X，GE W G．Multiple positive solutions for boundary value problems of second order delay differential equations with onedimensional p-Laplacian［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，326(1) 641－654．

［4］ BAI D Y，XU Y T．Periodic solutions of first order functional differential equations with periodic deviations［J］．Computers＆Mathematics with Applications，2007，53(9) :1361－1366．

［5］ MA R Y Xu Jia，Han X L．Global structure of positive solutions for superlinear second order periodic boundary value problems［J］．Applied Mathematics and Computation，2012，218(10) :5982－5988．

［6］ WANG Y M．The iterative solutions of 2nth-order nonlinear multi-point boundary value problems［J］．Applied Mathematics and Computation，2010，217(5) :2251－2259．

［7］ SUN Bo，GE W G．Existence and iteration of positive solutions to a class of Sturm–Liouville-like p-Laplacian boundary value problems［J］．Nonlinear Analysis，2008，69(4) :1454－1461．

［8］ LI F F，SUN J T，JIA Mei．Monotone iterative method for the second-order three-point boundary value problem with upper and lower solutions in the reversed order［J］．Applied Mathematics and Computation，2011，217(9) :4840－4847．

［9］ WANG W B，SHEN J H．Positive solutions to a multi-point boundary value problem with delay［J］．Applied Mathematics and Computation，2007，188(1) :96－102．

［10］ DU Bo，HU X P，GE W G．Positive solutions to a type of multi-point boundary value problem with delay and one-dimensional p-Laplacian［J］．Applied Mathematics and Computati-on，2009，208(2) : 501－510．

［11］徐登洲，馬如云．線性微分方程的非線性擾動(dòng)［M］．北京:科學(xué)出版社，1994．

Existence of Solutions for a Multi-Point Boundary Value Problem With Delay and p-Laplace Operator

ZHENG Chun-hua1，LIU Wen-bin2
(1．Basic Department，Shaanxi Polytechnic Institute，Xianyang 712000，China; 2．Department of Mathematics，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China)

Abstract:In this paper，a class of multi-point boundary value problem with p-Laplace operator and delay is studied．By using the method of upper and lower solutions and the connected theory of solutions set to compact vector field defined by equation，some sufficient conditions on the existence of solutions for this boundary value problem are obtained．Besides，the nonnegative solutions of this problem are obtained when the nonlinear item is allowed to change sign．Some known results are extended and improved．

Key words:p-Laplace operator; delay; multi-point boundary value problem; method of upper and lower solutions; connectivity

作者簡(jiǎn)介:鄭春華(1982－)，男，河南漯河人，講師，碩士，研究方向:微分方程邊值問題．

基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(NO．11271364) ;陜西工院科研項(xiàng)目(NO．zk13－40)．

收稿日期:2014－03－05

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．2015．02．003

文章編號(hào):1001－2443(2015) 02－0117－06

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

中圖分類號(hào):O175．8