高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對稱性教學(xué)研究

唐英平

（長順縣民族高級中學(xué) 550700）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中函數(shù)的對稱性教學(xué)研究

唐英平

（長順縣民族高級中學(xué) 550700）

對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的環(huán)節(jié)，而函數(shù)的對稱性是高中函數(shù)教學(xué)中非常重要的環(huán)節(jié)，本文重點對高中函數(shù)對稱性教學(xué)的重點和南段進行了詳細(xì)的分析，在此基礎(chǔ)上對函數(shù)對稱性的關(guān)鍵問題進行了詳細(xì)分析。

高中數(shù)學(xué) 教學(xué) 函數(shù) 對稱性

一、前言

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對稱性的教學(xué)是考試和發(fā)展學(xué)生思維的關(guān)鍵，而高中函數(shù)對稱性教學(xué)中，對常見對稱函數(shù)的梳理是非常重要的，本文針對該問題進行了詳細(xì)的探索，供高中數(shù)學(xué)老師參考。

二、高中函數(shù)對稱性教學(xué)的重點和難點

函數(shù)模塊是高中數(shù)學(xué)的重點也是難點，函數(shù)的性質(zhì)是歷年高考數(shù)學(xué)試題的重點和熱點。其中函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、單調(diào)性和奇偶性之后，已經(jīng)能由圖像的直觀性理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。學(xué)生需要通過函數(shù)對稱性的學(xué)習(xí)，提高綜合運用知識及方法技巧分析問題、解決問題的能力。具體講，就是要通過函數(shù)知識的運用，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力；通過探究思考，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力、觀察能力、判斷能力；通過實際問題的解決，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和表達交流的能力。下面將從兩個方面來討論函數(shù)的對稱性。

中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的形成和發(fā)展過程，揭示人類探索真理的艱辛與反復(fù)。要通過典型例題的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論產(chǎn)生的背景和逐步形成的經(jīng)歷，體會蘊含在其中的思想，體驗尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡。下面筆者將給出一些例題。

三、常見函數(shù)的對稱性

第一，常數(shù)函數(shù)。y=c（c∈R）。既是軸對稱又是中心對稱，與該直線垂直的直線均為其對稱軸，直線上所有點均為其對稱中心。

第二，一次函數(shù)。y=kx+b（k為一次項系數(shù)≠0，k≠0，b為常數(shù)）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱中心為原點，對稱軸為與該直線相垂直的直線。

第三，反比例函數(shù)。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是軸對稱又是中心對稱，對稱軸為y=x與y=-x，對稱中心為原點。

第四，二次函數(shù)。y=ax2+bx+c（a≠0）。是軸對稱，不是中心對稱，對稱軸為x軸。

第五，指數(shù)函數(shù)。y=ax（a＞0且a≠1）（x∈R）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第六，對數(shù)函數(shù)。y=logax（a＞0，且a≠1）。既不是中心對稱也不是軸對稱。

第七，冪函數(shù)。y=xa（a為常數(shù)）。冪函數(shù)中非奇非偶函數(shù)不具有對稱性；冪函數(shù)中的奇函數(shù)中心對稱，對稱中心為原點；冪函數(shù)中的偶函數(shù)為軸對稱，對稱軸為x=0。

第八，正弦函數(shù)。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中心對稱又是軸對稱，對稱軸為方程ωx+φ=kπ+的解。

第九，正切函數(shù)。y=tanx。是中心對稱，不是軸對稱，對稱中心為（0，0）。

第十，三次函數(shù)。三次函數(shù)中的奇函數(shù)中心對稱，對稱中心為原點，其他三次函數(shù)的對稱性通過求導(dǎo)得極值點進行作圖判斷。

以上就是對常見函數(shù)的對稱性總結(jié)歸納，要理解掌握，不能死記硬背，這就需要學(xué)生結(jié)合實際的習(xí)題及函數(shù)圖像，自己體會，理解記憶，活學(xué)活用，在實踐中體會以上常見函數(shù)的對稱性特點，真正做到舉一反三，思維發(fā)散。

四、實例分析

舉例分析：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師都意識到函數(shù)自身對稱性極其重要，其教學(xué)難度也給教學(xué)過程帶來極大的挑戰(zhàn)。

2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試題）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點P（a、b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”。

（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖像向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g（x）圖像對稱中心的坐標(biāo)；

（2）求函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對稱中心的坐標(biāo)；

分析：函數(shù)圖像的平移，對于學(xué)生來說是從初中認(rèn)識二次函數(shù)的圖像就已經(jīng)掌握的一個重要知識點。結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點對稱的特點，學(xué)生應(yīng)該很容易理解題設(shè)的正確性。

解析：（1）通過平移容易得到所求函數(shù)的解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2。

由題設(shè)可知，對稱中心的研究可以歸結(jié)為研究原來函數(shù)是否為奇函數(shù)或者是如何將原函數(shù)看做某個奇函數(shù)通過適當(dāng)?shù)钠揭谱儞Q得到的。這就要求學(xué)生對于一些常見的奇函數(shù)的例子必須清楚，如僅含奇數(shù)次的多項式函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等。由題發(fā)現(xiàn)，研究的對象是一個多項式函數(shù)，要使其成為奇函數(shù)，就必須只留下奇數(shù)次的項。

因此，假設(shè)g（x）=x3-3x2經(jīng)過適當(dāng)平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b

由以上討論可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2。從而g（x）=x3-3x2關(guān)于點（1，-2）對稱。

由上面的證明方法，我們可以得到一個關(guān)于三次函數(shù)的重要結(jié)論：

三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點（-b13a，f（-b13a））。

（2）同（1），假定經(jīng)過適當(dāng)平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此時要求該函數(shù)為一奇函數(shù)。由不等式2x+2a14-a-x＞0的解集關(guān)于原點對稱，得a=2。此時f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）。任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數(shù)h（x）=log22x14-x圖像對稱中心的坐標(biāo)是（2，1）。

五、結(jié)束語

綜上所述，本文重點對高中數(shù)學(xué)中對稱函數(shù)教學(xué)的重點和難點進行了詳細(xì)的分析，在此基礎(chǔ)上對常見的對稱函數(shù)進行了歸納總結(jié)，同時針對具體的例題，提出了相應(yīng)的教學(xué)解決策略，供相關(guān)的數(shù)學(xué)教師參考。

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