基于導航恒星幾何分布的天文導航定姿系統(tǒng)誤差建模及誤差特性研究

王麗娜，趙慧，熊智，郁豐，施麗娟

(1.北京航空航天大學 計算機學院 數(shù)字媒體北京市重點實驗室，北京100191;2.北京航天自動控制研究所 宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京100854;3.南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京210016)

0 引言

天文導航是指利用測量設備觀測天體，確定載體導航信息的技術［1-2］。起源于航海，因其精度高、誤差不隨時間累積、抗干擾能力強等特點，在現(xiàn)代航空、航天領域獲得迅速發(fā)展［3］。隨著大視場星敏感器技術的日益成熟，天文導航系統(tǒng)由傳統(tǒng)單一的天文定位技術逐步發(fā)展成可提供載體位置、姿態(tài)全方位導航信息的綜合導航系統(tǒng)。天文定姿作為天文導航系統(tǒng)中的重要組成部分，其通過大視場星敏感器觀測天體，獲得本體系下天體矢量信息;進一步通過星圖匹配、星光識別和恒星提?。?］，獲得天體在地心慣性坐標系中的坐標參數(shù);結合二者信息，經(jīng)過天文定姿計算，即可獲得載體相對于地心慣性坐標系的姿態(tài)信息［5］。

天文定姿系統(tǒng)包含多種誤差源，包括透鏡畸變誤差、像平面移位誤差等傳感器器件誤差，星點質心提取誤差等圖像處理誤差以及定姿算法所帶來的轉換誤差等。不少文獻對星敏感器器件誤差、圖像處理誤差等開展了研究。文獻［6 -8］建立了透鏡畸變誤差模型，研究了消除透鏡畸變影響的標定校正方法。文獻［9 -10］研究了采用小孔成像模型校正星敏感器像平面移位誤差的方法，并基于透鏡畸變模型消除小孔成像模型固有的模型誤差。文獻［11 -12］研究了影響星點質心提取誤差的因素，分析星點光強分布、采樣窗口大小、像點成像位置等對星點質心提取的影響規(guī)律。針對天文定姿算法研究其誤差特性及誤差影響因素的文獻較少，從恒星空間分布角度分析其對定姿性能影響的文獻亦是少見。與此同時，天文定姿系統(tǒng)常作為慣性/天文等組合導航系統(tǒng)中的子系統(tǒng)，可有效校正因慣性傳感器件漂移所帶來的慣導姿態(tài)誤差，而目前 如文獻［13 -15］等在研究慣性/天文姿態(tài)組合時，一般將天文定姿誤差認為是白噪聲，忽略其實際姿態(tài)誤差特性。

因此，為有效分析天文定姿誤差特性，本文研究給出了天文定姿誤差模型，以此為基礎分析了恒星幾何分布對天文定姿性能的影響，并通過仿真對所建立的模型進行了測試驗證。

1 天文定姿導航系統(tǒng)誤差建模

星敏感器作為一種高精度的姿態(tài)測量傳感器，以恒星作為測量參考源，通過CCD 元件拍攝星空，獲得拍攝到的恒星在星敏感器坐標系中的位置，以及恒星相對于慣性坐標系的位置，進一步計算得到載體相對于地心慣性坐標系的姿態(tài)角。其基本測量原理如圖1所示。

圖1中:Osxsyszs為該星敏感器坐標系(簡記為s 系)，Ouvw 為CCD 成像平面坐標系;f 為光學透鏡的焦距，OsO 為光軸方向，Osys軸、Ow 軸均與光軸方向一致;(uk，vk)為某顆恒星在CCD 陣面上的像點位置信息。根據(jù)該像點位置，可以計算得到該恒星單位矢量在星敏感器坐標系中的位置信息。計算公式為

圖1 天文定姿基本原理圖Fig.1 Schematic diagram of attitude determination

式中:sk即為第k 顆恒星在s 系的單位向量坐標。

當s 系與載體坐標系(簡記為b 系)重合時，即不考慮傳感器安裝誤差的情況下，通過星敏感器即可獲得到恒星相對于b 系的坐標為s1，s2，…，sn，其中sk=［xskyskzsk］T，k=1，2，…，n. 與此同時，通過導航星歷可以計算得到這些恒星在地心慣性坐標系(簡記為i 系)中的坐標為v1，v2，…，vn，其中vk=［xikyikzik］T，則sk與vk的關系為

式中:矩陣Cis為s 系到i 系的姿態(tài)轉換矩陣;矩陣為b 系到i 系的姿態(tài)轉換矩陣;s 系與b 系重合，兩個矩陣等價。

式中:

為簡化問題分析，本文將透鏡畸變誤差等器件誤差以及星點質心提取誤差等圖像處理誤差等統(tǒng)一認為是天文觀測誤差，以便于研究定姿算法所帶來的轉換情況，分析天文定姿誤差特性。

由于天文觀測誤差的存在，恒星相對于s 系的實際矢量信息應為

式中:ΔS 即為天文觀測誤差。

根據(jù)(4)式可解算得到實際姿態(tài)轉換矩陣為

式中:

以b 系為參考坐標系，記天文定姿誤差矢量為δφ，δφ=［δφ1δφ2δφ3］T. 當天文定姿誤差角均為小量時，姿態(tài)轉換矩陣~Cib可表示為

式中:b'表示為含誤差的計算載體坐標系。

結合(7)式、(9)式可得

式中:

記誤差矩陣ΔCib的協(xié)方差矩陣為PΔ，則

記矩陣M 的協(xié)方差矩陣為PM，則

記天文定姿誤差矢量δφ 的協(xié)方差矩陣為Pφ，則

由(13)式和(14)式可得

假設天文觀測誤差ΔS 一定且其為高斯白噪聲時，根據(jù)(5)式、(8)式、(12)式可得

式中:σ2S為觀測誤差ΔS 的方差。

由此，天文定姿誤差方差為

式中:A=(VTV)*，為3 ×3 的方陣，是矩陣VTV 的伴隨矩陣為天文定姿誤差均方差系數(shù)，即誤差權系數(shù)，表明了由天文測量誤差到天文定姿誤差的轉換關系。從(17)式看，采用多矢量方法定姿時，天文定姿性能與以下兩方面因素有關:

1)觀測誤差。天文觀測ΔS 的方差σ2S越大，天文定姿誤差的方差就越大。該誤差項取決于傳感器器件誤差以及前期圖像處理誤差等。

2)恒星的分布。定姿誤差權系數(shù)K 完全取決于矩陣V，而矩陣V 是由多顆恒星相對于慣性坐標系的單位矢量構成的，從而說明定姿權系數(shù)K 和恒星的分布存在一定聯(lián)系。

下面將針對多矢量天文定姿中的3 星定姿方法，分析恒星分布對其定姿性能的影響。

2 恒星空間分布對天文定姿性能的影響分析

2.1 3 星觀測條件下天文定姿誤差特性分析

當采用多矢量定姿中的3 星定姿時，即選擇3 顆恒星作為導航星進行天文定姿解算，(17)式可以寫為

以地心慣性坐標系原點Oi為頂點，3 顆恒星相對于慣性系的單位矢量v1、v2、v3為棱線，構建恒星4 面體，如圖2所示。

圖2 恒星4 面體示意圖Fig.2 The tetrahedron composed of star vectors

圖2中，Oiv1、Oiv2、Oiv3即為對應的恒星相對于i 系的單位矢量v1、v2、v3.

根據(jù)4 面體體積計算公式可得該恒星4 面體Oiv1v2v3的體積為

將(19)式代入(18)式可得

從(20)式中可知，在3 星定姿條件下，當觀測誤差σ2S一定時，天文定姿誤差方差主要取決于恒星矢量構成的4 面體體積以及矩陣A 的跡。

2.2 歐拉角定義下天文定姿誤差特性分析

在前面的誤差模型推導過程中，所定義的天文姿態(tài)誤差矢量δφ=［δφ1δφ2δφ3］T是計算載體坐標系b'坐標系相對于真實載體坐標系b 系的偏差角，并非為傳統(tǒng)意義上的姿態(tài)誤差角誤差。一般情況下，常以按一定旋轉順序的歐拉角定義姿態(tài)角，其誤差角定義為姿態(tài)誤差角。為此，本小節(jié)在上述誤差模型的基礎上，研究以歐拉角定義的姿態(tài)誤差角的誤差特性。

定義載體坐標系b 系的坐標指向為右前上，定義地心慣性坐標系i 系為J2000 地心慣性坐標系，定義由地心慣性坐標系到載體坐標系的旋轉順序為z(-ψ)→x(θ)→y(γ)，ψ、θ、γ 則為對應的一組載體姿態(tài)角，那么地心慣性坐標系和體坐標系的轉換矩陣如(21)式所示。對應的，定義載體的姿態(tài)角誤差為Δψ、Δθ、Δγ，則實際計算得到的含誤差的姿態(tài)角如(22)式所示，實際姿態(tài)轉換矩陣如(23)式所示。

將(22)式代入(23)式，忽略Δψ、Δθ、Δγ 的2 階小量，并與展開后(9)式中的元素進行一一對應，可以得到

將(24)式改寫為矩陣形式，即

記以歐拉角定義的姿態(tài)角誤差協(xié)方差矩陣為Perr，則

通過(25)式、(26)式即可實現(xiàn)姿態(tài)偏差角矢量δφ 與已按z(-ψ)→x(θ)→y(γ)旋轉順序定義的歐拉角姿態(tài)誤差［Δγ Δθ Δψ］之間的轉換。需注意的是，當采用不同的旋轉順序實現(xiàn)從i 系到b 系之間的轉換時，對應的歐拉角不同，即姿態(tài)角不同，因而其對應的姿態(tài)誤差角與偏差角δφ 之間的轉換關系Hφ亦是不同的，需要重新對應計算。計算方法與上類似。當然，上述分析僅研究了b 系和i 系之間的姿態(tài)誤差特性，若需分析b 系和其他坐標系之間的誤差特性，如與東北天地理坐標系，還需引入轉換矩陣Cei(i 系到地固坐標系e 系的轉換矩陣)、(地固坐標系e 系到東北天地理坐標系n 系的轉換矩陣)來進行進一步的研究。

3 天文定姿誤差仿真分析

為驗證本文所提出的天文定姿誤差模型的正確性，本節(jié)首先結合飛行器動態(tài)飛行過程中的觀星情況，采用多矢量方法進行定姿解算，并將解算結果與本文所建立的誤差模型進行比對;繼而針對多矢量定姿中的3 星定姿情況，通過靜態(tài)仿真和動態(tài)仿真，分析影響3 星定姿性能的主要因素。仿真基本條件如表1所示，飛行器動態(tài)飛行航跡如圖3所示，圖4為飛行器觀測到的恒星數(shù)目情況，隨著飛行器飛行，其觀測到的恒星情況不斷變化。

表1 仿真基本條件Tab.1 Simulation parameters

3.1 多矢量天文定姿誤差特性仿真分析

在上述飛行航跡和傳感器仿真條件下，結合每一時刻星敏感器觀測到的恒星情況，采用多矢量定姿方法進行天文定姿解算。此時，天文定姿誤差均方差曲線、誤差權系數(shù)K 曲線如圖5所示。

從圖5左側全程仿真曲線及右側局部放大曲線上均可看出，天文定姿誤差均方差曲線與誤差系數(shù)K 曲線的特性基本一致。由此可見，所建立的天文定姿誤差模型能較好地反映天文定姿誤差特性，誤差模型正確有效。

3.2 3 星天文定姿誤差特性仿真分析

通過2.1 節(jié)研究發(fā)現(xiàn)，在3 星定姿條件下，定姿誤差主要和所選擇導航星的4 面體體積和誤差模型中的矩陣A 的跡有關，為做進一步分析，本節(jié)首先分析比較靜態(tài)條件下3 星定姿誤差模型中矩陣A的跡以及恒星4 面體體積平方的倒數(shù)1/V2s對天文定姿影響的量級，繼而比較隨機選星和以恒星4 面體體積為依據(jù)選星條件下的天文定姿性能。

3.2.1 天文定姿誤差特性靜態(tài)分析

首先結合飛行器初始時刻的恒星觀測情況進行天文定姿靜態(tài)仿真分析，此時飛行器觀測到的恒星情況如表2所示，共10 顆。

圖5 多矢量天文定姿誤差特性Fig.5 The error characteristics curves by multi-star attitude determination

表2 初始時刻觀測到的恒星信息Tab. 2 The star information in initial moment

在上述恒星觀測情況下，選擇3 顆恒星作為導航星，共計有120 種選星方案。不同選星方案下姿態(tài)誤差模型中矩陣A 的跡如圖6所示，不同選星方案下恒星4 面體體積平方的倒數(shù)1/V2s如圖7所示。

圖6 不同恒星選取下矩陣A 的跡Fig.6 The trace of matrix A under the conditions of various star selections

圖7 不同恒星選取下1/V2sFig.7 The value of 1/V2s under the conditions of various star selections

從數(shù)字仿真結果中發(fā)現(xiàn)，矩陣A 對角線元素之和分布在區(qū)間［0.013 67，0.474 2］，均值0.161 3.恒星矢量構成的4 面體體積平方的倒數(shù)1/V2s，其數(shù)量級分布在區(qū)間［103，1010］，最小值為1 883，均值為2.539 ×108. 由此可見，1/V2s的量級遠大于矩陣A 對角線元素之和，因而恒星4 面體體積為影響3 星觀測情況下天文定姿性能的主要因素。

圖8給出了靜態(tài)不同恒星選擇方式下，天文定姿誤差均方差、誤差權系數(shù)K、恒星4 面體體積的倒數(shù)1/Vs三者之間對應的關系。

圖8 不同恒星選取方式下天文定姿性能Fig.8 The attitude performance curves under the conditions of various star selections

觀察圖8中的各類仿真曲線，首先比較天文定姿均方根誤差曲線與誤差權系數(shù)K 的曲線，發(fā)現(xiàn)二者特性基本一致，由此可見，本文所建立的天文定姿誤差模型是正確的。繼而，比較天文定姿誤差均方差曲線和恒星4 面體體積倒數(shù)1/Vs的曲線可發(fā)現(xiàn)，雖然二者沒有完全對應，但1/Vs的曲線大體反應了天文定姿誤差均方差特性，從而進一步說明在天文定姿過程中，所選擇的恒星構成的4 面體體積是影響定姿性能的重要因素。

3.2.2 動態(tài)飛行下天文定姿誤差特性分析

為進一步驗證本文所建立的天文定姿誤差模型的正確性，同時分析影響3 星定姿性能的關鍵因素，本節(jié)結合空天飛行器動態(tài)飛行航跡，采用3 星定姿方法，針對動態(tài)飛行過程設計了以下兩種選星方案:1)以恒星4 面體體積為標準，選擇導航恒星;2)采用隨機選星方式進行選擇，分析比較天文定姿性能。其中，圖9為恒星4 面體體積選星情況下天文定姿性能曲線，圖10 為隨機選星方案下天文定姿性能曲線。

從圖9、圖10 中可看出，不論是以恒星4 面體體積為依據(jù)進行恒星選擇，或采用隨機選星方式，天文定姿誤差均方差曲線與誤差系數(shù)K 曲線的特性基本一致。由此可見，本文所建立的天文定姿誤差模型是正確的。與此同時，與4.1 節(jié)靜態(tài)初始條件下仿真相似，恒星4 面體體積倒數(shù)1/Vs的曲線雖未和天文定姿誤差均方差曲線特性一一對應，但大致也能反應其變化特性，呈現(xiàn)出較大的關聯(lián)性。

對比圖9、圖10 可發(fā)現(xiàn)，以恒星4 面體為依據(jù)選擇導航星進行天文定姿解算，其定姿性能明顯優(yōu)于隨機選星下定姿性能。從表3中3 星觀測定姿中的兩種不同選星方案下天文定姿性能看，恒星4 面體選星下的天文定姿均方誤差量級較隨機選星下定姿均方差小2 個量級。對應的，其誤差系數(shù)K、恒星4 面體體積倒數(shù)1/Vs之間量級基本上也相差2 個量級。由此可見，恒星空間分布中的4 面體這一因素是影響天文定姿性能的關鍵要素，以恒星4 面體體積為依據(jù)選擇導航星能夠有效提高天文定姿性能。

表3 天文定姿性能統(tǒng)計表Tab.3 Celestial attitude determination performance

圖9 恒星4 面體積選星下天文定姿性能Fig.9 The attitude performance curve under the conditions of star selections by tetrahedron

圖10 隨機選星下天文定姿性能Fig.10 The attitude performance curves under the condition of random star selection

比較圖5多矢量天文定姿與圖9以恒星4 面體體積為選星依據(jù)的3 星定姿，可發(fā)現(xiàn)這兩種情況下天文定姿誤差量級較接近。對比表3中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，多矢量天文定姿與以恒星4 面體體積為選星依據(jù)的3 星定姿誤差均方差量級、誤差系數(shù)K 量級均類似，其中以恒星4 面體體積為選星依據(jù)的3 星定姿性能稍優(yōu)。由此說明，以恒星4 面體體積為依據(jù)的導航星選擇方法在一定程度上可提高天文定姿性能。

3.3 歐拉角定義下天文定姿誤差特性仿真分析

在2.2 節(jié)中，本文針對以歐拉角定義的姿態(tài)誤差角和相對于載體坐標系的偏差角之間的轉換關系進行了推導分析，為證明模型的正確性，本節(jié)結合飛行動態(tài)飛行過程，針對3 星定姿中以恒星4 面體體積為選星依據(jù)這一情況進行仿真測試。圖11 為直接計算得到的歐拉角定義下的3 軸姿態(tài)誤差與由偏差角轉換得到的姿態(tài)誤差對比曲線。圖12 為兩種情況下均方差結果對比曲線。

圖11 3 軸姿態(tài)誤差轉換對比曲線Fig.11 Three-axis attitude error curves

圖12 誤差均方差轉換對比曲線Fig.12 Error variance curves

表4 歐拉角定義下姿態(tài)誤差統(tǒng)計表Tab.4 Euler attitude errors

4 結論

姿態(tài)作為飛行器導航參數(shù)中的重要組成部分，其精度直接影響導航系統(tǒng)的性能品質。天文導航作為一種隱蔽、可靠的導航方式，其可為飛行器提供高精度、高可靠性的姿態(tài)信息。為有效分析天文定姿誤差特性，本文建立了天文定姿誤差模型，得到了天文定姿誤差權系數(shù)K 的表達式，發(fā)現(xiàn)恒星分布中的恒星4 面體體積是影響定姿性能的關鍵因素，并在一系列仿真實驗中得到驗證，為進一步提高天文定姿性能提供了一定的理論依據(jù)和參考。

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