線性時不變系統(tǒng)特性的教學方法探討

唐普英，陳鵬宇

(電子科技大學 a.光電信息學院;b.通信與信息工程，成都 610054)

·課程教學改革·

線性時不變系統(tǒng)特性的教學方法探討

唐普英a，陳鵬宇b

(電子科技大學 a.光電信息學院;b.通信與信息工程，成都 610054)

線性時不變LTI系統(tǒng)是一種很重要的系統(tǒng)，它具有4個特性：無記憶性、因果性、穩(wěn)定性和可逆性。按常用的信號與系統(tǒng)教材中介紹的方法講授LTI系統(tǒng)特性，學生不容易理解所講授的內(nèi)容。授課過程中發(fā)現(xiàn)，若利用卷積和的交換律，把LTI系統(tǒng)的輸出分為3個部分：與將來的輸入有關的輸出、與當前的輸入有關的輸出和與過去的輸入有關的輸出；然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，結(jié)合系統(tǒng)的輸出與輸入關系，先推導離散時間LTI系統(tǒng)的特性，再將其結(jié)論應用到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，則LTI系統(tǒng)特性教師既容易講解清楚，學生也容易理解透徹，取得了良好的教學效果。

線性時不變系統(tǒng)系統(tǒng); 系統(tǒng)特性; 離散時間; 連續(xù)時間

在信號與系統(tǒng)課程中，LTI系統(tǒng)是一類非常重要的系統(tǒng)。LTI系統(tǒng)具有4個特性：無記憶性、因果性、穩(wěn)定性和可逆性。LTI系統(tǒng)又分連續(xù)的和離散的，按常用的信號與系統(tǒng)教材[1-6]中介紹的方法講授LTI系統(tǒng)特性時，學生不容易理解所講授的內(nèi)容。

已知離散時間LTI系統(tǒng)的單位數(shù)字沖激序列響應為h[n]，若輸入序列為x[n]，則系統(tǒng)的輸出序列等于單位數(shù)字沖激序列響應h[n]和輸入序列的卷積和x[n]*h[n],即：

x[-2]h[n+2]+x[-1]h[n+1]+x[0]h[n]+x[1]h[n-1]+x[2]h[n-2]+…

(1)

對于連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，已知其單位沖激響應為h(t)，若輸入為x(t)，則系統(tǒng)的輸出信號等于x(t)與h(t)的卷積積分，即：

(2)

常用的信號與系統(tǒng)教材根據(jù)式(1)和式(2)的表示，就直接給出LTI系統(tǒng)特性對系統(tǒng)沖激響應h[n]或h(t)應該滿足的條件，學生覺得不容易理解這些條件。授課過程中每次講授到此部分內(nèi)容時，總有學生提出疑問。

在教學過程中發(fā)現(xiàn)：若利用“卷積和”的交換律，則可以把式(1)的系統(tǒng)輸出分為3個部分(如式(4)所示)：與將來的輸入有關的輸出、與當前的輸入有關的輸出和與過去的輸入有關的輸出。

實際上，利用“卷積和”的交換律，式(1)可以表示為：

y[n]=x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=

(3)

把式(2)右邊的“求和表達式”展開后，得到：

(4)

由式(4)可以很容易地識別出，LTI系統(tǒng)的輸出由3個部分組成：第1部分是與將來的輸入有關的輸出；第2部分是與當前的輸入有關的輸出；第3部分是與過去的輸入有關的輸出。

然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，結(jié)合系統(tǒng)的輸出與輸入關系，先推導離散時間LTI系統(tǒng)的特性，其次再將其結(jié)論推廣到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，則教師容易講解清楚LTI系統(tǒng)特性，學生也容易理解這些特性。

1 LTI系統(tǒng)的無記憶性

根據(jù)LTI系統(tǒng)無記憶性的定義：若系統(tǒng)的輸出僅僅與當前時刻的輸入有關，則該系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)。也就是說：無記憶系統(tǒng)的輸出與過去的輸入，以及將來的輸入均無關。那么LTI系統(tǒng)的無記憶性對系統(tǒng)的沖激響應的要求條件是什么？

從式(4)可以看出，為了使得系統(tǒng)的輸出y[n]只與x[n]有關，則式(4)等號右邊的第1部分和第3部分應該不出現(xiàn)，即要求：h[n]=0，n≠0。因此，離散時間LTI無記憶系統(tǒng)的輸出y[n]=h[0]x[n]，其中h[0]表示某一參量，可用K來表示。所以離散時間LTI無記憶系統(tǒng)的輸出也可以表示為y[n]=Kx[n]。故離散時間LTI系統(tǒng)的無記憶性應滿足條件：

h[n]=Kδ[n]

(5)

式中，δ[n]表示離散時間的單位沖激信號。把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的無記憶性應滿足條件：

h(t)=Kδ(t)

(6)

式中，δ(t)表示連續(xù)時間的單位沖激信號。

2 LTI系統(tǒng)的因果性

根據(jù)LTI系統(tǒng)因果性的定義：若系統(tǒng)的輸出與當前時刻的輸入和過去的輸入有關，或系統(tǒng)的輸出僅與當前時刻的輸入有關則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。也就是說：因果系統(tǒng)的輸出與將來的輸入無關。那么LTI系統(tǒng)的因果性對系統(tǒng)的沖激響應有何要求？

從式(4)可以看出，為了使得系統(tǒng)的輸出y[n]與將來的輸入x[n]無關，則式(4)等號右邊的第1部分應該不出現(xiàn)，即要求：h[n]=0，n<0，或h[n]=h[n]u[n]。因此，離散時間LTI系統(tǒng)的因果性應滿足條件：

h[n]=h[n]u[n]

(7)

式中，u[n]表示離散時間的單位階躍信號，把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的因果性應滿足的條件：

h(t)=h(t)u(t)

(8)

式中，u(t)表示連續(xù)時間的單位階躍信號。

3 LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性

根據(jù)LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：若當系統(tǒng)的輸入有界時，系統(tǒng)的輸出也有界，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。那么LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性對系統(tǒng)的沖激響應有什么要求？

(9)

即離散時間LTI系統(tǒng)的沖激響應是絕對可和的。

把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性應滿足的條件：

(10)

即連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的沖激響應是絕對可積的。

4 LTI系統(tǒng)的可逆性

根據(jù)LTI系統(tǒng)可逆性的定義：若LTI系統(tǒng)對不同的輸入得到不同的輸出，則該系統(tǒng)具有可逆性。若具有可逆性的LTI系統(tǒng)的沖激響應是h[n]，可以找到該系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的沖激響應h1[n]，則原系統(tǒng)與其對應的逆系統(tǒng)級聯(lián)后的等效系統(tǒng)是一個恒等系統(tǒng)(逆系統(tǒng)的輸出就等于原系統(tǒng)的輸入，如圖1所示)。那么LTI系統(tǒng)的可逆性對系統(tǒng)的沖激響應的要求是什么？

圖1 LTI系統(tǒng)可逆性的表示

h[n]*h1[n]=δ[n]

(11)

把上述結(jié)論推廣到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，得到連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的可逆性應滿足的條件：

h(t)*h1(t)=δ(t)

(12)

5 結(jié)束語

利用“卷積和”的交換律，把離散時間LIT系統(tǒng)的輸出分為3個部分，然后根據(jù)LTI系統(tǒng)特性的定義，則比較容易討論清楚LTI系統(tǒng)的特性。為了能使學生容易理解和接受相關的教學內(nèi)容，就需要教師吃透教材，經(jīng)過對知識的深度加工處理，從學生的角度出發(fā)，整理出學生容易理解和接受的知識。這是對教師的最基本要求。

[1]OPPENHEIMAV,WILLSKYAS,NAWAHHS.SignalsandSystems[M].2ndEdition.北京：電子工業(yè)出版社，2002.

[2] 鄭君里，應啟珩，楊為理. 信號與系統(tǒng)[M].2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3] 陳后金，胡健，薛健. 信號與系統(tǒng)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4] 閔大鎰，朱學勇. 信號與系統(tǒng)分析[M].成都：電子科技大學出版社，2000.

[5] 呂幼新，張明友. 信號與系統(tǒng)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[6] 張小虹. 信號與系統(tǒng)[M].2版.西安：西安電子科技大學出版社，2008.

Exploration of Teaching Method on the Characteristics of Linear Time-Invariant System

TANG Puyinga,CHEN Pengyub

(a.School of Optoelectronic Information;b.School of Communication and Information Engineering,University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Linear time-invariant (LTI) system is a kind of important system. It has four characteristics such as memoryless, causality, stability and invertibility. Students are not easy to understand the system characteristics taught by teachers according to the frequently-used “Signals and Systems” textbooks. It is shown that the output of LTI system can be divided into three parts, which are the outputs related to the future inputs, the outputs related to the current input, and the outputs related to the past inputs, if the commutative property of the convolution sum is used. The characteristics of the discrete-time LTI system are derived first, and the conclusion is applied to the continuous-time LTI system according to the definitions of the LTI system characteristics associated with the relationship between system outputs and system inputs. The characteristics of LTI system can be easily taught by teachers, and easy understand by students. The good teaching effect has been achieved.

LTI system; system characteristic; discrete time; continuous time

2015-01-15；修改日期:2015-02-25

電子科技大學教學改革研究項目(2013 XJYSL011)。

唐普英(1965-), 男, 博士, 副教授, 主要從事電子技術(shù)的教學與研究工作。

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.06.056