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    基于B-(C,α)-I型廣義凸多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的充分條件

    2015-02-27 03:45:09娜,賀
    關(guān)鍵詞:最優(yōu)性充分條件式子

    李 娜,賀 莉

    (長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130012)

    基于B-(C,α)-I型廣義凸多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的充分條件

    李 娜,賀 莉

    (長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,吉林長(zhǎng)春 130012)

    本文給出了B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)和偽擬、強(qiáng)偽擬、弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)的定義,討論了偽擬、強(qiáng)偽擬、弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)間的關(guān)系,并基于此探討了一類非光滑多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效解和弱有效解的最優(yōu)性充分條件。

    B-(C,α)-Ⅰ型廣義凸函數(shù);最優(yōu)性充分條件;多目標(biāo)優(yōu)化

    為了減弱對(duì)凸性的要求,許多學(xué)者推廣了眾多廣義凸函數(shù)類[1-5].Yuan[2]推廣了(F,α,ρ,d)廣義凸函數(shù),給出了廣義凸函數(shù)(C,α,ρ,d)的定義.Yuan[3]定義了(C,α,ρ,d)-I型廣義凸函數(shù),并給出了最優(yōu)性條件.

    本文給出了B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)和偽擬、強(qiáng)偽擬、弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)的定義,并討論了它們之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上,我們探討了一類非光滑多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的有效解和弱有效解的最優(yōu)性充分條件.

    本文考慮下面多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題:

    其中,X?Rn是非空開集,f:Rn→Rp,g:Rn→Rm,J(x)={j|gj(x)=0}.

    1 預(yù)備知識(shí)

    并記f在x處廣義次梯度為?f(x)={η∈Rn|f0(x;d)≥〈η,d〉,d∈Rn}.

    定義3[3]設(shè)X是Rn中非空開集,若對(duì)任意固定的(x,y)∈Rn×Rn,?λ∈(0,1),?z1,z2∈Rn,有C(x,y;λz1+(1-λ)z2)≤λC(x,y;z1)+(1-λ)C(x,y;z2),則稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上是關(guān)于第三個(gè)變量的凸泛函.

    注 特殊地,若λ=0時(shí),則C(x,y;λz)=0,z∈Rn.

    本文采用下列記號(hào):

    α:X×X→R+{0},d:X×X→R+,u=(u1,u2,…,up),v=(v1,v2,…,vm),

    C(x,x0;α(x,x0)ξ):=(C(x,x0;α(x,x0)ξ1),…,C(x,x0;α(x,x0)ξp))T,

    C(x,x0;α(x,x0)ζ):=(C(x,x0;α(x,x0)ζ1),…,C(x,x0;α(x,x0)ζm))T,

    ξ∈?fi(x0),i∈{1,2,…,p},ζj∈?gj(x0),j∈{1,2,…,m}.

    2 主要結(jié)果

    定義4 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù),對(duì)任意x∈X,有下列式子:

    b1(x,x0)(f(x)-f(x0))C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1).

    (1)

    -b2(x,x0)g(x0)C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2).

    (2)

    成立,則稱(f,g)在x0∈X處是B-(C,α)-I型凸的.

    若(f,g)在X的任意點(diǎn)為B-(C,α)-I型凸的,則稱(f,g)為X上的B-(C,a)-I型廣義凸函數(shù).

    注 特別地,當(dāng)b1(x,x0)=b2(x,x0)=1時(shí),B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)退化為(C,α,ρ,d)-I型廣義凸函數(shù),因此B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù)擴(kuò)大了凸函數(shù)的范圍.下面的數(shù)值例子進(jìn)一步說(shuō)明了這一點(diǎn).

    例1:設(shè)X=(-1,1]

    易知,可行域X0=[0,1],?f1(0)=[0,1],?f2(0)=[0,2],?g(0)={0},

    令C(x,x0;α(x,x0)ξ)=|α(x,x0)ξ|(x+x0),C(x,x0;α(x,x0)ζ)=|α(x,x0)ζ|(x+x0),

    因此,(f,g)在x0=0處不是(C,α,ρ,d)-I型廣義凸的.

    定義5 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù),且滿足下面式子:

    b1(x,x0)(f(x)-f(x0))<0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)<0,

    (3)

    -b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

    (4)

    則稱(f,g)在x0∈X處是偽擬B-(C,α)-Ι型凸的.

    定義6 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù),且滿足下面式子:

    b1(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)<0,

    (5)

    -b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

    (6)

    則稱(f,g)在x0∈X處是弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型凸的.

    定義7 若(f,g)在x0∈X處是局部李普希茲函數(shù),且滿足下面式子:

    b1(x,x0)(f(x)-f(x0))≤0?C(x,x0;α(x,x0)ξ)+d2(x,x0)ρ(1)≤0,

    (7)

    -b2(x,x0)g(x0)≦0?C(x,x0;α(x,x0)ζ)+d2(x,x0)ρ(2)≦0.

    (8)

    則稱(f,g)在x0∈X處是強(qiáng)偽擬B-(C,α)-I型凸的.

    注 由上述定義可知,如果(f,g)在x0∈X是強(qiáng)偽擬B-(C,α)-I型凸的,則一定為弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型凸的;如果(f,g)在x0∈X是弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型凸的,則一定為偽擬B-(C,α)-I型凸的,反之,則不成立.

    基于上面討論的B-(C,α)-I型廣義凸函數(shù),建立非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(MOP)的最優(yōu)性條件.

    證明:假設(shè)x0不是(MOP)問(wèn)題的有效解,那么存在x*∈X,使得

    fi(x*)-fi(x0)≤0,i∈{1,2,…,p},且至少存在一個(gè)i0∈{1,2,…,p},使不等式嚴(yán)格成立.

    因bk:X×X→R+,所以b1(x*,x0)(fi(x*)-fi(x0))≤0,i∈{1,2,…,p},

    -b2(x*,x0)gj(x0)≦0,j∈J,

    注 將定理1中的凸性條件改為(f,g)在x0∈X是弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型凸的,且u≥0,v≥0,充分性仍然成立.

    定理2 設(shè)x0∈X是(MOP)問(wèn)題的可行解,如果滿足:

    證明:假設(shè)x0不是(MOP)問(wèn)題弱有效解,那么存在x*∈X,使得

    fi(x*)-fi(x0)<0,i∈{1,2,…,p},

    因bk:X×X→R+,b1(x*,x0)(fi(x*)-fi(x0))<0,i∈{1,2,…,p},

    -b2(x*,x0)gj(x0))x0≦0,j∈J,

    定理2其余的證明類似于定理1的證明.

    注 將定理2中的條件(2)改為下列條件之一,充分性仍成立.

    (i)(f,g)在x0∈X為強(qiáng)偽擬B-(C,α)-I型凸的,且u>0,v≥0;

    (ii)(f,g)在x0∈X為弱嚴(yán)格偽擬B-(C,α)-I型凸的.

    [1]Hanson,M.A.,andMond,B.Necessaryandsufficientconditionsinconditionsinconstrainedoptimization[J].Math.Program.,1987(37):51-58.

    [2]Yuan,D.H.,Liu,X.L.,Chinchuluun,A.,andPardalos,P.M.Nondifferentiableminimaxfractionalprogrammingproblemswith(C;a;r;d)-convexity[J].J.Optim.TheoryAppl.,2006,129(1):185-199.

    [3]Yuan,D.H.,Liu,X.L.,Chinchuluun,A.,andPardalos,P.M.OptimalityConditionsandDualityforMultiobjectiveProgrammingInvolving(C,α,ρ,d)type-IFunctions[J].J.Glob.Optim.,2006(583):73-87.

    [4]Long,X.Optimalityconditionsanddualityfordifferentiablemultiobjectivefrac-tionalprogrammingproblemswith(C;a;r;d)-convexity[J].J.Optim.TheoryAppl.,2011,148(1):197-208.

    [5]RekhaGupta,M.Srivastava.OptimalityanddualityfornonsmoothmultiobjectiveprogrammingusingG-typeIfunctions[J].AppliedMathematicsandComputation,2014(240):294-307.

    [6]林銼云,董加禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論[M].吉林:吉林教育出版社,1992.

    Optimality Conditions for a Multiobjective Programming Problem under GeneralizedB-(C,α)- typeIUnivex Functions

    LI Na,HE Li

    (School of Basic Science, Changchun University of Technology, Changchun Jilin 130012, China)

    In this paper, we introduce the definition of a new generalized class ofB-(C,α)- typeIunivex functions, and pseudo- quasi, strong pseudo-quasi, weak strictly quasi-pseudoB-(C,α)- typeIunivex functions, discusse the relationship between them, and establish sufficient optimality conditions for a nonsmooth multiobjective programming.

    B-(C,α)- typeIunivex functions; optimality conditions; multiobjective programming

    2015-01-15

    吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20130101061JC)。

    李 娜(1981-),女,河南南陽(yáng)人,長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院碩士研究生,從事最優(yōu)化理論與算法研究。

    賀 莉(1970-),女,吉林圖們?nèi)?,副教授,碩士生導(dǎo)師,從事最優(yōu)化理論與算法研究。

    O221

    A

    2095-7602(2015)04-0001-04

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