二項(xiàng)自回歸過(guò)程在裝備使用數(shù)量統(tǒng)計(jì)上的運(yùn)用

王金山，賀天宇

(陸軍軍官學(xué)院，合肥 230031)

2)參數(shù)δ和ρ的條件最小二乘(CLS)估計(jì)。根據(jù)注(ii)E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+nβ，所以參數(shù) δ，ρ的 CLS 估計(jì)則可通過(guò)極小化

軍事裝備使用數(shù)量統(tǒng)計(jì)在軍事上有著重要的現(xiàn)實(shí)意義，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)下一階段裝備的使用數(shù)量對(duì)合理安排裝備保養(yǎng)、維修等能提供非常有價(jià)值的信息。而裝備使用數(shù)量是一個(gè)隨時(shí)間變化而變化的整值數(shù)據(jù)序列。普通的預(yù)測(cè)模型都是針對(duì)連續(xù)變化數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)的，而很難用于解決離散的整值序列預(yù)測(cè)問(wèn)題。要解決此類問(wèn)題，必須利用整值時(shí)間序列模型。

對(duì)于整值時(shí)間序列的研究最早興起于上世紀(jì)80年代，近年來(lái)再次引起眾多讀者的廣泛關(guān)注。學(xué)者們建立了大量的整值時(shí)間序列模型，用以解決不同類型的整值數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)。然而，整值時(shí)間序列模型在軍事上的應(yīng)用研究卻鮮有報(bào)道。鑒于此，本文研究了一類二項(xiàng)自回歸過(guò)程及其在軍事裝備使用數(shù)量統(tǒng)計(jì)上的一個(gè)運(yùn)用。

1 模型的定義

整值時(shí)間序列模型的建立，成果頗多，其主要分為稀疏(thinning)算子;狀態(tài)空間，這兩個(gè)分支，特別是thinning算子的研究更為普遍。

關(guān)于稀疏算子最早是由Steutal＆Van Harn［1］在1979年提出的，定義為

其中:α∈(0，1);X是非負(fù)整值隨機(jī)變量;Bi為獨(dú)立同分布的Bernoulli隨機(jī)變量且獨(dú)立于X，滿足P(Bi=1)=1－P(Bi=0)=α。

基于稀疏算子的整值時(shí)間序列模型，多是在INAR(1)模型的基礎(chǔ)上建立的，其定義為

定義1 稱{Xt}為INAR(1)過(guò)程，若它滿足如下的方程:

其中 α∈［0，1)，εt為 i.i.d.的非負(fù)整值的隨機(jī)變量，其中 E(εt)= με，Var(εt)= σ2ε。

INAR(1)族的模型，雖然能夠?qū)φ禃r(shí)間序列問(wèn)題進(jìn)行很好的預(yù)測(cè)，但是這一類模型的數(shù)據(jù)上限不可控，預(yù)測(cè)出的結(jié)果可能很大，甚至超出實(shí)際的裝備數(shù)量，產(chǎn)生錯(cuò)誤預(yù)測(cè)。鑒于此問(wèn)題，本文擬用上限可控的二項(xiàng)自回歸模型對(duì)部隊(duì)裝備數(shù)量預(yù)測(cè)進(jìn)行研究。下面給出二項(xiàng)自回歸模型的定義:

其中所有的稀疏算子相互獨(dú)立。

該模型是比較易于從直觀上理解的，例如如果某系統(tǒng)由n個(gè)相互獨(dú)立的單元構(gòu)成，且每個(gè)單元所處的狀態(tài)只有0或1，令Xt表示在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)“1”的單元個(gè)數(shù)，則由兩部分組成，首先 α ?Xt－1表示在 t－1時(shí)刻處于狀態(tài)“1”的單元在時(shí)刻t仍然處于狀態(tài)“1”的個(gè)數(shù);其次，β ?(n－Xt－1)表示在t－1時(shí)刻狀態(tài)為“0”的單元在時(shí)刻t處于狀態(tài)“1”的個(gè)數(shù)。

假設(shè)某一部隊(duì)有裝備數(shù)n個(gè)，如果我們把裝備處于使用的狀態(tài)記為“1”，裝備處于閑置狀態(tài)記為“0”，則裝備的每日使用情況及預(yù)測(cè)問(wèn)題就可以很好的和二項(xiàng)自回歸模型相吻合，Xt即表示t時(shí)刻該裝備的使用數(shù)量。因此，二項(xiàng)自回歸模型理論上可以很好的應(yīng)用在部隊(duì)裝備的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)方面，這也為裝備的維護(hù)提供了可靠地依據(jù)。關(guān)于二項(xiàng)自回歸模型，不難得到如下結(jié)論:

2 模型參數(shù)估計(jì)

為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，必須要知道模型中的參數(shù)，而對(duì)參數(shù)的估計(jì)方法很多，每種都有各自的優(yōu)點(diǎn)，為了提高參數(shù)估計(jì)的精度，進(jìn)而提高數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的精度，本文擬采用Yule-Walker估計(jì)，CLS估計(jì)和QL估計(jì)3種估計(jì)方法對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，最后，以3種估計(jì)的平均值作為最終參數(shù)估計(jì)值。

假設(shè)X1，X2，…，XN是來(lái)自模型(3)的一組樣本，對(duì)于參數(shù)δ和ρ的估計(jì)，可以由注(i)和注(ii)的結(jié)論，通過(guò)Yule-Walker估計(jì)和條件最小二乘估計(jì)(CLS估計(jì))的方法給出估計(jì)值。

1)參數(shù) δ和 ρ Yule-Walker估計(jì)。Wei β［2］給出了模型(3)參數(shù)δ和ρ Yule-Walker估計(jì)，其表達(dá)式為

2)參數(shù)δ和ρ的條件最小二乘(CLS)估計(jì)。根據(jù)注(ii)E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+nβ，所以參數(shù) δ，ρ的 CLS 估計(jì)則可通過(guò)極小化

得到。

3)參數(shù)δ和ρ的擬似然(QL)估計(jì)。令θ=(η，?)，其中η=ρ(1－ρ)(1－2δ)，? =nβ(1 －β)，則根據(jù)注(iii)可以得知:?θ(Xt|Xt－1)=Var(Xt|Xt－1)= ηXt－1+ ?，另外，若進(jìn)行重新參數(shù)化 nβ?λ，則 E［Xt|Xt－1］= ρXt－1+ λ，此時(shí)，只需要對(duì)τ =(ρ，λ)'進(jìn)行估計(jì)即可。

根據(jù)擬似然函數(shù)方法可得標(biāo)準(zhǔn)的估計(jì)方程組如下:

首先假設(shè)θ是已知的，記τ為方程組的解，若θ未知，則可以先通過(guò)其他的手法求得θ的相合估計(jì)，然后求解響應(yīng)的修改的估計(jì)方程組，可以得出如下的估計(jì)因子，

3 實(shí)例分析

考慮某軍事單位共有某裝備25臺(tái)，持續(xù)記錄200 d的裝備使用情況，將這200 d的該裝備使用情況登記表看成是模型(3)的一組樣本，其樣本路徑圖如圖1所示。

圖1 樣本路徑

根據(jù)樣本值，本文分別采用 Yule-Walker估計(jì)，CLS估計(jì)，QL估計(jì)對(duì)模型參數(shù)δ和ρ進(jìn)行估計(jì)，得到估計(jì)值如表1所示。

表1 樣本參數(shù)估計(jì)表

4 結(jié)束語(yǔ)

二項(xiàng)自回歸過(guò)程對(duì)裝備數(shù)量統(tǒng)計(jì)上的預(yù)測(cè)效果良好，它不需要已知裝備使用數(shù)量之間的先驗(yàn)轉(zhuǎn)移概率，而是通過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)得到裝備使用數(shù)量之間的后驗(yàn)信息，進(jìn)而增強(qiáng)了預(yù)測(cè)客觀性、提高了預(yù)測(cè)精度。因此，該模型在軍事裝備數(shù)量統(tǒng)計(jì)等方面具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。

［1］ Steutel F，Van Harn K.Discrete analogues of self-decomposability and stability［J］.Ann.Probab，1979，7:893-899.

［3］ Wei C H.A new class of autoregressive models for time series of binomial counts［J］.Communications in Statistics-Theory and Methods，2005，38，447-460.

［2］ Wei C H.Jumps in Binomial AR(1)processes［J］.Statistics and Probability Letters，1998，79(19):2012-2019.

［4］ Wei CH，Kim H.Parameter estimation for binomial AR(1)models with applications in finance and industry［Z］.2012.

［5］ 崔帥.二項(xiàng)AR(1)模型的擬似然統(tǒng)計(jì)推斷［D］.長(zhǎng)春:吉林大學(xué)，2013.

［6］ Fokianos K.Some recent progress in count time series［J］.Statistics，2011，45(11):49-58.

［7］ Wei B C H，Pollett P K.Chain Binomial Models and Binomial Autoregressive Processes ［J］.Biometrics.2012，68(3):815-824.

［8］ Mckenzie E.Some simple models for discrete variate time series［J］.Water Resour.Bull.1985，24(4):645-650.

［9］ McKenzie E.Discrete variate time series［C］//Rao C R，Shanbhag D N.Handbook of Statistics.Amsterdam:Elsevier Science B V，573-606.

［10］ Wei B C.H.Thinning operations for modeling time series of counts-a survey［J］.Advances in Statistical Analysis，2008，92(10):319-343.

(責(zé)任編輯楊繼森)