分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步

顏閩秀, 王　哲

(沈陽化工大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽　110142)

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分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步

顏閩秀, 王哲

(沈陽化工大學 信息工程學院, 遼寧 沈陽110142)

摘要:應用分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論,設計了一個新的非線性控制器,實現(xiàn)了分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步.該方法理論嚴格,設計簡單,能夠?qū)崿F(xiàn)任意比例因子的完全狀態(tài)同步.數(shù)值仿真結(jié)果驗證了方法的有效性.

關鍵詞:分數(shù)階; 超混沌系統(tǒng); 投影同步; MATLAB仿真

早在20世紀80年代,Fujisaka和Yamada等人最早對混沌同步進行了研究. 1990年,美軍實驗室的Pecora和Carroll首次提出了混沌同步的理論并在電路設計實驗中實現(xiàn)且觀察到了混沌同步的現(xiàn)象[1].之后,各國的科學工作者對混沌同步理論進行了更加深入的研究和實驗.如今,混沌同步研究已取得了豐碩的成果,特別是在保密通信、生物醫(yī)學工程、化學以及信息科學等很多學科中有著重要的應用[2].這些成果主要是針對整數(shù)階混沌系統(tǒng)的同步,人們從不同的角度實現(xiàn)了不同類型的混沌同步,如完全同步[3]、廣義同步[4]、投影同步[5]、反同步[6]等.

分數(shù)階微積分理論已有300多年的歷史,但很長時間沒有實際的應用背景,導致發(fā)展緩慢[7]. 在整數(shù)階非線性系統(tǒng)上的研究成果很多[8].近幾年來,隨著對分數(shù)階非線性系統(tǒng)的基本特性以及分數(shù)階非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究,分數(shù)階混沌系統(tǒng)的控制與同步方面取得了不少進展. 由于應用的推廣,分數(shù)階微積分得到了比較大的發(fā)展,已被廣泛應用于數(shù)理科學、化學、工程科學等諸多領域[9-10].但由于缺乏分數(shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定理論,現(xiàn)有的分數(shù)階非線性系統(tǒng)包括分數(shù)階混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定和同步,基本都是基于主動控制的策略,而且對于分數(shù)階超混沌系統(tǒng)的同步的研究不是很豐富. 本文主要基于分數(shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性原理,構(gòu)造了相應的非線性控制器,實現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步. 此種方法可以有效地消去非線性系統(tǒng)的非線性部分,可以使得系統(tǒng)中的信號更容易跟蹤,從而更簡捷地處理非線性系統(tǒng)的同步問題.

1分數(shù)階混沌系統(tǒng)數(shù)學模型

設q階分數(shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動系統(tǒng):

(1)

式中,x(t)∈Rn為驅(qū)動系統(tǒng)的狀態(tài)矢量,A∈Rn×n,B∈Rn×m,f:Rn→Rm(m≤n)為非線性映射,Ax為分數(shù)階驅(qū)動混沌系統(tǒng)的線性部分,Bf(x)為分數(shù)階驅(qū)動混沌系統(tǒng)的非線性部分,1

分數(shù)階混沌系統(tǒng)的響應系統(tǒng)為

(2)

式中,U為待設計的響應系統(tǒng)的控制器,A1,B1,f1,q與驅(qū)動系統(tǒng)的A,B,f,q表示的意義相同.

分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)和分數(shù)階響應系統(tǒng)的同步誤差

(3)

式中,e為系統(tǒng)的誤差,α為達到投影同步的比例因子.當α=1時,為完全同步;當α=-1時,為反同步;當α(α≠0)為其他值時,為混合投影同步.

可以看出,完全同步與反同步只是投影同步的特殊情況.

2設計投影同步控制器

引理一般分數(shù)階混沌系統(tǒng)都可以表示成如下形式:

(4)

式中,1

階數(shù)為q的分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域如圖1所示,可以看出,對于分數(shù)階非線性系統(tǒng),如果在平衡點處的Jacobian矩陣的特征值都在穩(wěn)定區(qū)域內(nèi),無論狀態(tài)變量為何值,那么分數(shù)階受控系統(tǒng)的平衡點為穩(wěn)定的平衡點.

圖1　階數(shù)為q的分數(shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域

由e=x-αy可知,動態(tài)系統(tǒng)的誤差為

(5)

令

(6)

根據(jù)主動控制器的設計思路,使用控制器U來消除系統(tǒng)的混沌系統(tǒng)中的非線性部分,同時也能有效地實現(xiàn)驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的線性化.于是,控制器可以設計為

(7)

式中,M∈Rn×n為參數(shù)矩陣.

證明將式(7)代入式(5),得

(8)

式中,A為系統(tǒng)的系數(shù)矩陣,M為參數(shù)矩陣.

即

由此可知,誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定,分數(shù)階驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)就達到了投影同步,說明了控制器U設計的可行性.

3分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的完全狀態(tài)投影同步數(shù)值仿真

分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)的形式如下:

(9)

研究表明,當分數(shù)階系統(tǒng)的系數(shù)q=0.93時,該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng).如圖2所示.

圖2　q=0.93時分數(shù)階Lorenz超混沌吸引子

因此,分數(shù)階超混沌Lorenz系統(tǒng)用式(1)可寫成如下形式:

(10)

當q=0.93,投影因子α=0.9,步長為0.001時,對上述驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)選取初始值為:x1(0)=0.32,x2(0)=0.78,x3(0)=-1.08,x4(0)=-0.65;y1(0)=0.20,y2(0)=0.30,y3(0)=-0.10,y4(0)=-0.40.

對系統(tǒng)的同步誤差e=x-αy進行數(shù)值模擬仿真,最后得到系統(tǒng)狀態(tài)誤差曲線e1,e2,e3,e4,如圖3所示.

圖3　分數(shù)階超混沌系統(tǒng)投影同步誤差狀態(tài)曲線

由圖3可以看出,在設計的控制器U的作用下,投影同步誤差的狀態(tài)響應曲線在較短的時間里驅(qū)動系統(tǒng)與響應系統(tǒng)的誤差漸近趨于零,也就是說,誤差e按照比例因子實現(xiàn)了投影同步.

4結(jié)語

本文主要研究的是分數(shù)階超混沌完全狀態(tài)投影同步問題,根據(jù)分數(shù)階漸近穩(wěn)定性原理設計了控制器,從而可以將分數(shù)階超混沌系統(tǒng)更簡單地運用在同步過程中.針對超混沌Lorenz系統(tǒng)的不確定性和隨機性為驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng),通過實現(xiàn)數(shù)值仿真可以達到投影同步,驗證了控制器設計的可行性和有效性.

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【責任編輯: 李艷】

Full State Projective Synchronization of Fractional Order Hyperchaotic System

YanMinxiu,WangZhe

(College of Information Engineering, Shenyang University of Chemical Technology, Shenyang, 110142, China)

Abstract:Based on the stability theory of the fractional order system, a new nonlinear controller was designed to achieve the full projective state synchronization of fractional order hyperchaotic system. This method is simple and theoretically rigorous, which is capable to realize a full state synchronization of arbitrary scaling factor. Finally, simulation studies have verified the effectiveness of the method.

Key words:fractional-order; hyperchaotic systems; projective synchronization; MATLAB simulation

收稿日期:2014-12-03

中圖分類號:TP 391

文獻標志碼:A

作者簡介:顏閩秀(1972-),女,福建仙游人,沈陽化工大學副教授.

基金項目:國家自然科學基金資助項目(61143007); 國家科技支撐計劃資助項目(2012BAF09B01).

文章編號:2095-5456(2015)02-0135-04