薛定諤方程中分離變量常數(shù)的確定

楊春艷 吉 恒

(1.玉溪師范學院 理學院,云南 玉溪 653100；2.通?？h第二中學,云南 通海 652701)

［物 理］

薛定諤方程中分離變量常數(shù)的確定

楊春艷1吉 恒2

(1.玉溪師范學院 理學院,云南 玉溪 653100；2.通?？h第二中學,云南 通海 652701)

薛定諤方程；分離變量；常數(shù)

現(xiàn)行原子物理教材和量子力學教材中,在由含時薛定諤方程推導(dǎo)定態(tài)薛定諤方程時存在僅以“以E表示這個常量”作為分離變量常數(shù)取粒子能量的闡述,這是不夠嚴謹?shù)?。為?如果能對其進行簡單但嚴密的數(shù)學推理,則可彌補其存在的這一不足之處。

德布羅意的物質(zhì)波假設(shè)得到實驗驗證后,為解決物質(zhì)波概率的空間分布及此分布隨時間如何變化的問題,薛定諤在其導(dǎo)師拜德：“有了波,就應(yīng)有一個波動方程”［1］的啟示下,于1926年提出了薛定諤方程,其簡要過程如下。

而對于自由粒子,其波函數(shù)為

類比于波動現(xiàn)象,應(yīng)存在一個波動方程,它既要與式(1)一致,又要在V=0時其解為式(2)。于是聯(lián)立(1)、(2)得

上式即為一般粒子的含時薛定諤方程。當粒子所處力場的勢能為V=V)(定態(tài))時,上式左、右兩側(cè)顯然分別只是對空間和時間的運算,故可取分離變量式

代(4)入(3)得

顯然,(5)中的分離變量常數(shù)C1應(yīng)為一個既不依賴于時間,也不依賴于空間的常數(shù)?，F(xiàn)行原子物理教材［1～2］和量子力學教材［3］中講到此處時,均以“以E表示這個常量,其中E為粒子的能量”［3］進行描述,而未進行嚴密的邏輯驗證,此種處理方式顯然是缺乏說服力的,這體現(xiàn)了現(xiàn)行教材中的邏輯漏洞。

為彌補上述不足,授課時可作如下簡單但嚴密的數(shù)學推理：

由式(5)第二個等式得

代(6)入(4),應(yīng)用并合原則得粒子的定態(tài)波函數(shù)

對比式(7)和(2),根據(jù)物質(zhì)波三個標準條件中的單值條件,有

顯然

證畢。

［1］楊福家.原子物理學［M］.北京：高等教育出版社,2008.

［2］褚圣麟.原子物理學［M］.北京：高等教育出版社,1979.

［3］周世勛.量子力學［M］.北京：高等教育出版社,1979.

The Determination of Variable-Separating Constant of Schrodinger Equation

YANG CHun Yan1JI Heng2
(1.School of Science,Yuxi Normal University,Yuxi,Yunnan 653100；2.Tonghai No.2 Middle School,Tonghai,Yunnan 652701)

Schrodinger equation；separation variables；constant

The current atomic physics teaching materials and textbooks of quantum mechanics have not given a precise reason why the separation variable takes the constant of particle energy in the derivation of stationary Schrodinger equation from time-dependent schrodinger equation.The author believes a simple but strict mathematical reasoning can make up for the shortcomings of this place.

楊春艷,碩士,講師,研究方向：電磁場、電磁波、原子物理學和理論力學。

O434.1

A

1009-9506(2015)12-0059-02

2015年7月12日