場域中填充多介質(zhì)且存在3種以上介質(zhì)公共點或公共線的電磁場邊值關(guān)系及其應(yīng)用

王禮祥 蔡 書

(西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041)

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場域中填充多介質(zhì)且存在3種以上介質(zhì)公共點或公共線的電磁場邊值關(guān)系及其應(yīng)用

王禮祥 蔡 書

(西南民族大學預科教育學院，四川 成都 610041)

文章分析討論了場域空間填充有多介質(zhì)且存在3種以上介質(zhì)公共點或公共線上的電磁場邊值關(guān)系一般形式，就簡單可解的多介質(zhì)分界面與電場線重合和多介質(zhì)分界面與等勢面重合的特殊情況舉例說明其應(yīng)用.結(jié)果表明多介質(zhì)公共點或公共線上的邊值關(guān)系并非是簡單的兩、兩介質(zhì)分界面邊值關(guān)系的組合，多介質(zhì)公共點或公共線上的邊值關(guān)系確有必須遵循的特殊形式.

麥克斯韋方程；電磁場邊值關(guān)系；靜電場；電介質(zhì)；多介質(zhì)公共點；多介質(zhì)公共線

眾所周知，由電磁場積分形式的麥克斯韋方程組

可以導出電磁場的邊值關(guān)系

說明電磁場邊值關(guān)系只是積分形式的麥克斯韋方程組在兩介質(zhì)分界面上的特殊形式，它是因為介質(zhì)性質(zhì)的突變(ε和μ突變)或分界面上存在自由電荷面分布與電流面分布從而導致電磁場的場量突變而必須遵循的客觀規(guī)律.我們在文獻[2]、[3]中給出了它的推廣應(yīng)用形式，即在場域內(nèi)任意選取的任何曲面上式(2)同樣成立，因為普遍適用的積分形式麥克斯韋方程組在人為選取的任意曲面兩側(cè)場量可能連續(xù)也可能突變，它取決于曲面上有無點電荷、線電荷與線電流.本文分析討論給出場域內(nèi)填充多種分區(qū)均勻介質(zhì)時出現(xiàn)多介質(zhì)公共點或公共線上的電磁場邊值關(guān)系的具體形式，并就特殊可簡單求解情況舉例說明其重要應(yīng)用，為便于行文僅以靜電場邊值關(guān)系為例闡述分析.

1 多介質(zhì)填充場域時公共點或公共線上的靜電場邊值關(guān)系

靜電場的基本特征是其分布不隨時間變化，描述靜電場力的性質(zhì)的物理量電場強度矢量和描述靜電場能量性質(zhì)的物理量電勢都只是空間點的函數(shù)，在兩介質(zhì)分界處靜電場的場量點點對應(yīng)邊值關(guān)系是

或者以電勢表達為

式(3)或式(4)闡明了兩種介質(zhì)分界面上點點對應(yīng)的靜電場場量突變關(guān)系，是介質(zhì)性質(zhì)突變導致場量的突變，點點對應(yīng)或點點趨近對應(yīng)是極限關(guān)系.

場域空間總是由點、線、面構(gòu)成，當靜電場空間內(nèi)填充多種分區(qū)均勻介質(zhì)時不可避免地要出現(xiàn)3種或3種以上介質(zhì)相鄰的公共點或公共線，這時多介質(zhì)公共點或公共線上的邊值關(guān)系到底是什么樣的？各類型文獻資料中都沒有具體闡明，原因可能是:① 認為分別應(yīng)用兩兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系即可解決問題；② 是此類問題只有特殊情況下有簡單解(介質(zhì)分界面與電場線重合或介質(zhì)分界面與等勢面重合)，一般情況下不一定存在解析解.本文應(yīng)用宏觀電磁場理論中的宏觀小微觀大思想，將點、線放大分析討論多介質(zhì)公共點或公共線之邊值關(guān)系并以極限方法給出簡明結(jié)論.

圖1 多介質(zhì)公共點P圖示

如圖1所示，設(shè)靜電場空間內(nèi)填充有N種分區(qū)均勻電介質(zhì)(ε1，ε2，ε3，…，εi,…,εN)，各介質(zhì)內(nèi)的電場強度矢量分別是E1，E2，E3，…，Ei,…,EN；電勢是φ1，φ2，φ3，…，φi,…,φN；它們存在一個公共點P，以P為球心作一半徑為r(r→0)的球面，應(yīng)用靜電場高斯定理可得

式中S=S1+S2+…+SN.

且兩兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系照樣成立，即ε1與ε2分界面上有

ε2與ε3分界面處有

εN與ε1分界面處有

注意以上N個式子分別是N個介質(zhì)分界面上非公共點外的邊值關(guān)系，是空間點坐標函數(shù)關(guān)系(每個關(guān)系式為一個界面上同一點處的場量關(guān)系)，結(jié)合式(5)即得N種介質(zhì)公共點P處的邊值關(guān)系:

即多介質(zhì)公共點處的靜電場邊值關(guān)系

當多介質(zhì)公共點處存在點電荷Q時，其靜電場邊值關(guān)系為

多介質(zhì)場域存在3種以上介質(zhì)公共線時類似于多介質(zhì)公共點分析，只是要在放大公共線呈直線段后取包圍直線段的圓柱面為高斯面討論，同樣可得到相應(yīng)靜電場邊值關(guān)系:

(1)公共線上無線電荷分布,公共線上的邊值關(guān)系為

(2)公共線上存在線電荷λ，取包圍線電荷λ的圓柱高為h，公共線上的邊值關(guān)系為

特殊情況下，當介質(zhì)分界面與電場線重合時[4]，如點電荷Q位于多介質(zhì)錐公共頂點P的靜電問題或無限長直線線電荷λ位于多介質(zhì)公共線上的靜電問題，都有下面簡單電勢解:

① 點電荷Q位于N種介質(zhì)錐公共點P的簡單球?qū)ΨQ電勢解[5]

② 無限長直線線電荷λ置于N介質(zhì)無限公共直線上的柱對稱電勢解[6]

3 應(yīng)用實例——點電荷非對稱雙介質(zhì)錐問題

設(shè)圖2所示為非對稱雙介質(zhì)圓錐公共頂點O處放置點電荷Q，兩介質(zhì)圓錐公共線為y軸正半軸，真空對O點的立體角為Ω3.驗證三介質(zhì)公共點和公共線邊值關(guān)系成立.

圖2 點電荷非對稱雙介質(zhì)錐

由“帶電導體球與介質(zhì)錐靜電問題解及推廣應(yīng)用”[7]給出該問題的球?qū)ΨQ解

去證明三介質(zhì)公共點和公共線上的邊值關(guān)系成立:

① 坐標原點(公共點)O的邊值關(guān)系

把式(13)代入式(7)得

注意點電荷是理想化模型并非真正意義的r=0而r→0，所以(式(16)、(17))說明三介質(zhì)公共點處的邊值關(guān)系成立.

② 三介質(zhì)公共線y軸正半軸上的邊值關(guān)系

[1] 科學出版社名詞室合編.物理學詞典(上冊)[M].北京： 科學出版社,1988：2-3～2-5.

[2] 王禮祥.電磁場邊值關(guān)系的一種證明及其推廣應(yīng)用[J].西南民族學院學報(自然科學版)，1993(02):150-155.

[3] 王禮祥.電磁場邊值關(guān)系的推廣應(yīng)用[J].大學物理，1994(11)，8-12.

[4] 胡友秋,程福臻,葉邦角,等.電磁學與電動力學(上冊)[M].2版.北京： 科學出版社,2014： 57-61.

[5] 曲世光.點電荷位于多種介質(zhì)錐公共頂點時的勢[J].大學物理，1998(04)： 45-46.

[6] 曲世光.共頂(軸)多介質(zhì)錐(楔)中球(軸)對稱靜電場及其一般公式[J].哈爾濱電工學院學報,1987(02)：176-181.

[7] 王禮祥,蔡書.帶電導體球與介質(zhì)錐靜電問題解及推廣應(yīng)用[J].西南民族學院學報(自然科學版),2004(02):166-169.

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ELECTROMAGNETIC FIELD BOUNDARY VALUE RELATIONS ON PUBLIC POINT OR LINE OF THREE OR MORE MEDIA AND ITS APPLICATIONS

Wang Lixiang Cai Shu

(School of Preparatory Education,Southwest University for Nationalities,Chengdu,Sichuan 610041)

In this paper,we analyzed and discussed the general form of electromagnetic field boundary value relations on the public point or line of three or more media.We illustrated its applications by two simple solvable special examples,which are the superposition of multi-media interface with electrostatic field lines and the superposition of multi-media interface with equipotential surface.The results showed that boundary value relations on multi-media public point or line were not the simple combinations of the boundary value relations of two or more media interface,and there were special forms that must be followed.

Maxwell’s equations;electromagnetic boundary value relation;electrostatic field;dielectric;electrostatic field boundary relation;multi-media public point;multi-media public line

2015-02-08

王禮祥，男，西南民族大學預科教育學院副教授，主要從事物理教學、計算機基礎(chǔ)教學和科研.ykbw@163.com