2015 年高考江蘇數(shù)學(xué)卷19 題解法探究

朱允洲

（江蘇省徐州高等師范學(xué)校）

朱允洲

（江蘇省徐州高等師范學(xué)校）

題目：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），

（1）試討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若b=c-a（實(shí)數(shù)c 是與a 無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a 的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪（1）∪（，+∞），求c 的值。

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、函數(shù)的極值等知識(shí)，涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和分類討論以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)多參數(shù)問題的分析處理的能力。下面給出幾種與標(biāo)準(zhǔn)答案不同的解法。

解（1）略

（2）法1：顯然，a=0 不合題意。對(duì)（fx）求導(dǎo)，f（′x）=3x2+2ax，令f（′x）=0，得x=0，或x=-，易知0，-是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，函數(shù)（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)?（f0）·（f-）＜0，即（a-c）（a3-a+＞0，因?yàn)榇瞬坏仁降慕饧『脼椋?∞，-3）∪（1，∪，+∞），此處求解可有兩種思路：

思路一 （方程法）

方程（a-c）（a3-a+c）=0 的根應(yīng)為：a=-3，1，（二重根），將它們帶入方程得：c=-3，1，經(jīng)檢驗(yàn)只有c=1 時(shí)，上述方程的解為：-3，1。

思路二 （待定系數(shù)法）

當(dāng)c=1 時(shí)，（fx）=x3+ax2+1-a=（x+1）（a-1）x+1-a因（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故x2+（a-1）x+1-a=0 有兩個(gè)異于-1 的根，于是由Δ＞0 及1+（a-1）（-1）+1-a≠0，得a 的取值范圍（-∞，-3）∪（1，）∪，+∞）。綜上，c=1。

法2：由x3+ax2+1-a=0，得x3+ax2=a-c，令p（x）=x3+ax2，q（x）=ac，函數(shù)（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)p（x）與q（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)。p（′x）=3x2+2ax，令p（′x）=0，得x=0，或x=-，且易知其為p（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，①當(dāng)a＞0 時(shí)，p（x）極大值=p（-=-，p（x）極小值=p（0）=0，應(yīng)有0＜a-c＜，即a-＜c＜a 恒成立，?a∈（1）∪（，+∞），于是（a-）max＜c＜amin，即1≤c≤1，所以c=1。②當(dāng)a＜0 時(shí)，p（x）極大值=p（0）=0，p（x）極小值=p=，應(yīng)有＜a-c＜0，即a＜c＜a-恒成立，?a∈（-∞，-3），于是amax＜c＜（a-min，即-3≤c≤1。綜上，由①②得c=1，經(jīng)檢驗(yàn)c=1滿足題意。

法3：設(shè)函數(shù)（fx）=x3+ax2-a+c，由f（′x）=0，得x=0，或x=-，當(dāng)a＞0 時(shí)，（fx）極大值=-a+c，f（x）極小值=c-a；當(dāng)a＜0 時(shí)，f（x）極小值=-a+c，（fx）極大值=c-a。令h（a）=-a，易知其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（如圖），且h（=-1，h=0。將h（a）的圖象上下平移個(gè)單位，有：

函數(shù)（fx）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于［h（a）+c］·（c-a）＜0。考慮a＜0 情況，由h（a）＜0 得：a∈（-∞，-，而h（a）+c=-a+c＜0 的解集為（-∞，-3）（**），由（*）式知由h（a）向上平移c 個(gè)單位，同時(shí)ca＞0。由（**）式知-3 為方程-a+c=0 的根，得c=1，將c=1 帶入原函數(shù)（fx）檢驗(yàn)符合題意。

注：

1.由h（a）圖象平移的對(duì)稱性知：當(dāng)函數(shù)（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，若a∈（-∞，-∪（-，-1）∪（3，+∞），則c=-1；特別地，若a∈（-∞，-，+∞），則c=0；

2.若函數(shù)（fx）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，將h（a）的圖象向上平移（c＞0）個(gè)單位與向下平移個(gè)單位，則a 的取值范圍關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。