基于空間平滑的單快拍波達(dá)方向估計(jì)算法

劉曉娣,周新力,肖金光

(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系,山東 煙臺(tái)　264001)

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基于空間平滑的單快拍波達(dá)方向估計(jì)算法

劉曉娣,周新力,肖金光

(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系,山東 煙臺(tái)264001)

0引言

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)在雷達(dá)、無(wú)線通信、聲納等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，經(jīng)典的子空間類算法(如MUSIC算法[1]、ESPRIT算法[2])能夠?qū)崿F(xiàn)DOA的超分辨估計(jì)，但要求接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的秩等于信源個(gè)數(shù)，且估計(jì)的準(zhǔn)確性以采用大量快拍數(shù)據(jù)獲取高精度的信號(hào)子空間或噪聲子空間為前提。而在實(shí)際應(yīng)用中，相干信號(hào)普遍存在，且往往只能獲得有限的快拍數(shù)據(jù)，尤其是在處理短時(shí)突發(fā)信號(hào)或運(yùn)動(dòng)目標(biāo)信號(hào)時(shí)，只有單快拍可用，此時(shí)傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法往往失效。

近年來(lái)，采用單次快拍數(shù)據(jù)的相干信源DOA估計(jì)得到關(guān)注[3-12]，并取得了一定的研究成果。文獻(xiàn)[5]直接采用單次快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造Toeplitz矩陣實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)(簡(jiǎn)稱DTOP)，實(shí)時(shí)性好；文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，對(duì)單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)處理后再構(gòu)造Toeplitz矩陣，提高了低信噪比條件下的DOA估計(jì)性能；文獻(xiàn)[7]利用虛擬陣列接收數(shù)據(jù)構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣，并利用酉變換實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)，降低了計(jì)算復(fù)雜度。但文獻(xiàn)[5-7]中的算法要求所有入射信號(hào)均具有零初始相位，這在實(shí)際應(yīng)用中幾乎無(wú)法滿足[8]。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，以陣列的中心陣元作為參考陣元，利用單次快拍數(shù)據(jù)構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)(簡(jiǎn)稱ENDTOP)，克服了所有入射信號(hào)均需具有零初始相位的局限性，但該算法要處理M個(gè)信源，需要的接收陣元個(gè)數(shù)N≥2M-1，嚴(yán)重制約了其信號(hào)處理能力。文獻(xiàn)[13]提出一種利用單次快拍接收信號(hào)重排的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造模型，文獻(xiàn)[5-6,10]的偽協(xié)方差矩陣構(gòu)造方法可以統(tǒng)一在該模型下，該模型主要針對(duì)基于特征值分解的空間譜估計(jì)。

鑒于此，本文從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)，針對(duì)單次快拍情況下相干信源DOA估計(jì)的解相干和實(shí)時(shí)性問(wèn)題，在經(jīng)典空間平滑算法[14]的基礎(chǔ)上，提出了基于空間平滑的單快拍DOA估計(jì)算法(SS-FBSS)。

1信號(hào)模型和空間平滑算法

1.1信號(hào)模型

假設(shè)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)均勻線陣，包含N個(gè)相同的全向陣元，陣元間距d≤λ/2(λ是入射波長(zhǎng))?，F(xiàn)有M個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信源(M

(1)

式(1)中，si(t)表示第i個(gè)窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源，nk(t)表示第k陣元接收到的理想高斯白噪聲。則陣列接收的數(shù)據(jù)可以表示為：

X(t)=[x1(t),x2(t),…,xN(t)]T=AS(t)+N(t)

(2)

假設(shè)前r個(gè)信源相干，

si(t)=αis1(t)(i=1,2,…,r)

(3)

其中復(fù)常數(shù)αi表示si(t)相對(duì)于s1(t)的相干系數(shù)。

陣列的協(xié)方差矩陣表示為:

(4)

1.2空間平滑算法

空間平滑算法[15]是目前一種有效的解相干算法，它利用均勻線陣的平移不變性，將一個(gè)N元均勻線陣分成相互重疊的l個(gè)子陣，每個(gè)子陣的陣元數(shù)為m，即有N=l+m-1。采用前向空間平滑算法得到l個(gè)子陣，如圖1所示，對(duì)各個(gè)子陣的子協(xié)方差矩陣進(jìn)行算術(shù)平均，得到前向空間平滑的協(xié)方差矩陣

(5)

前后向空間平滑(FBSS)的相關(guān)矩陣為：

(6)

式中J是反對(duì)角線元素為1的交換矩陣。

圖1　前向空間平滑算法原理Fig.1　The method of forward spatial smoothingalgorithm

空間平滑算法是通過(guò)求解各個(gè)子陣協(xié)方差矩陣的均值來(lái)消除信源之間的相干性的，為保證計(jì)算精度，往往需采用大量快拍數(shù)據(jù)。

2基于空間平滑的單快拍DOA估計(jì)算法

考慮單次快拍情況下的解相干問(wèn)題，同時(shí)提高算法的實(shí)時(shí)性，本文提出基于空間平滑的單快拍DOA估計(jì)算法(SS-FBSS)。

2.1基于空間平滑的單快拍數(shù)據(jù)解相干預(yù)處理

以第1個(gè)子陣為參考子陣，第k個(gè)子陣的接收數(shù)據(jù)為:

(7)

直接采用t時(shí)刻的單次快拍數(shù)據(jù)，以l個(gè)子陣的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造維數(shù)為m×l的矩陣

(8)

同理，采用后向空間平滑技術(shù)劃分l個(gè)子陣，第i個(gè)子陣的接收數(shù)據(jù)為

(9)

采用t時(shí)刻的單次快拍數(shù)據(jù)進(jìn)行后向空間平滑，以l個(gè)子陣構(gòu)造維數(shù)為m×l的矩陣

(10)

式(10)中,J為反對(duì)角線元素為1的交換矩陣，下標(biāo)為矩陣的維數(shù)。

利用式(8)、式(10)構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣：

(11)

(12)

2.2DOA估計(jì)

考慮R為centro-Hermitian矩陣，利用酉變換可將其轉(zhuǎn)化成實(shí)矩陣。定義酉矩陣Q：

(13)

其中下標(biāo)表示矩陣的維數(shù)，上述矩陣具有如下兩個(gè)性質(zhì)：

JQ*=Q

(14)

QQH=I

(15)

由式(13)定義的矩陣Q對(duì)偽協(xié)方差矩陣RG做酉變換

(16)

(17)

在此基礎(chǔ)上，采用MUSIC、ESPRIT算法可實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。

1)MUSIC算法

變換后的導(dǎo)向向量為:

(18)

利用式(17)、(18)求解MUSIC算法的譜估計(jì)表達(dá)式為[1]:

(19)

2)ESPRIT算法

根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知，對(duì)于復(fù)值的旋轉(zhuǎn)不變性有K2US=K1USΨ，則實(shí)值的旋轉(zhuǎn)不變性有

(20)

(21)

(22)

采用總體最小二乘法(TLS)求解式(20)可得Ψ′，對(duì)Ψ′進(jìn)行特征值分解，有

(23)

2.3算法步驟總結(jié)

1)采用單次快拍數(shù)據(jù)根據(jù)式(8)、(10)、(11)構(gòu)造centro-Hermitian偽協(xié)方差矩陣RG；

2)利用式(13)定義的酉矩陣，將偽協(xié)方差矩陣RG變換到實(shí)值空間T，如式(16)；

4)采用MUSIC或ESPRIT算法求解各個(gè)信號(hào)的入射角。

2.4算法性能分析

1)計(jì)算復(fù)雜度與前后向空間平滑[15]算法相比，本文提出的SS-FBSS算法直接采用單次快拍數(shù)據(jù)的空間平滑子陣構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣RG，而無(wú)需計(jì)算各個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣，減小了運(yùn)算量；并且該算法構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣RG是centro-Hermitian矩陣，進(jìn)行酉變換處理后，算法中的奇異值分解由原來(lái)的復(fù)數(shù)域變?yōu)閷?shí)數(shù)域，計(jì)算復(fù)雜度大大降低。

2)分辨能力在SS-FBSS算法中，構(gòu)造的偽協(xié)方差矩陣RG要實(shí)現(xiàn)“解相關(guān)”需要滿足m≥M且2l≥M，而陣元數(shù)N=l+m-1。由此可知，當(dāng)有M個(gè)信號(hào)源、每個(gè)子陣的陣元數(shù)為M+1時(shí)，要分辨這些信源，SS-FBSS算法需要陣元個(gè)數(shù)N≥1.5M，其分辨能力與FBSS算法一致，比ENDTOP算法高。但該算法也是通過(guò)降低自由度來(lái)實(shí)現(xiàn)解相干的。

3)估計(jì)精度SS-FBSS算法利用前后向空間平滑子陣構(gòu)造偽協(xié)方差矩陣RG，克服了所有入射信號(hào)均具有零初始相位的局限性，且充分利用了單次快拍數(shù)據(jù)，估計(jì)精度高于DTOP算法、ENDTOP算法。

3數(shù)值仿真

仿真1假設(shè)一個(gè)均勻線陣，陣元數(shù)為5，陣元間距為λ/2。兩個(gè)相干實(shí)值信號(hào)，θ1=-20°，θ2=5°，信噪比SNR為10dB，分別采用SS-FBSS算法和DTOP[6]算法進(jìn)行解相干處理，而后采用MUSIC算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。圖2(a)、(b)分別給出了在α1=α2=1和α1=1、α2=exp(jπ/3)條件下，兩種算法處理后的MUSIC譜圖。由圖2可以看出，當(dāng)在α1=α2=1時(shí)，SS-FBSS算法與DTOP算法皆能實(shí)現(xiàn)解相干，而在α1=1、α2=exp(jπ/3)情況下，DTOP算法已經(jīng)失效，而本文提出的SS-FBSS算法能準(zhǔn)確地估計(jì)出波達(dá)角。這說(shuō)明SS-FBSS算法克服了所有入射信號(hào)均具有零初始相位的局限性，無(wú)需對(duì)入射信號(hào)的初始相位作特別假定。

圖2　SS-FBSS算法與DTOP算法的MUSIC譜圖Fig.2　MUSIC spectrum of SS-FBSS and DTOP algorithms

仿真23個(gè)完全相干信源入射到均勻線陣，陣元數(shù)為15，陣元間隔為λ/2，入射角分別為θ1=-20°、θ2=5°、θ3=43°，信噪比SNR從0dB到20dB以0.5dB的間隔變化，分別采用SS-FBSS算法、ENDTOP[11]算法和FBSS算法[15]進(jìn)行解相干處理，而后采用ESPRIT算法實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)。每個(gè)SNR做200次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，其中FBSS算法采用150次快拍數(shù)據(jù)，仿真結(jié)果如圖3所示，圖3(a)為均方根誤差隨SNR變化曲線，圖3(b)為成功概率隨SNR變化曲線(成功概率定義為均方根誤差小于0.2°的概率)。從圖3中可以看出，本文提出的SS-FBSS算法的均方根誤差、成功概率與ENDTOP算法基本一致，略優(yōu)于ENDTOP算法。在低信噪比條件下，該算法的DOA估計(jì)誤差較大，特別是信噪比在0～6dB時(shí)，隨著信噪比的增大，均方根誤差迅速減小，成功概率由不足10%迅速增大至65%。 而在信噪比大于6dB時(shí)，該算法的估計(jì)性能接近于采用150次快拍數(shù)據(jù)的FBSS算法。

圖3　對(duì)完全相干信源的估計(jì)性能隨SNR的變化曲線Fig.3　Estimation performance with SNR for coherent signals

仿真33個(gè)信源入射到一個(gè)均勻線陣，前兩個(gè)為相干信源，α1=1、α2=exp(jπ/6)，第3個(gè)信源與第1個(gè)不相關(guān)，其他條件與仿真2相同，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，該算法對(duì)部分相干信源的估計(jì)性能與對(duì)完全相干信源的估計(jì)性能基本一致，略優(yōu)于ENDTOP算法，在低信噪比情況下估計(jì)誤差較大，且隨著信噪比的增大估計(jì)誤差迅速減小。但在信噪比大于6dB時(shí)，該算法的估計(jì)性能接近于采用150次快拍數(shù)據(jù)的FBSS算法。通過(guò)比較圖3與圖4還可以發(fā)現(xiàn)，與完全相干信源相比，F(xiàn)BSS算法對(duì)部分相干且相干系數(shù)為復(fù)數(shù)的信源DOA估計(jì)性能明顯降低，在低信噪比情況下，差異尤為明顯。

圖4　對(duì)部分相干信源的估計(jì)性能隨SNR的變化曲線Fig.4　Estimation performance with SNR for partial coherent signals

4結(jié)論

本文提出了基于空間平滑的單快拍DOA估計(jì)算法。該算法直接采用單次快拍數(shù)據(jù)的前后向空間平滑子陣，構(gòu)造centro-Hermitian偽協(xié)方差矩陣，實(shí)現(xiàn)解相干，而無(wú)需對(duì)入射信號(hào)的初始相位作特別假定，也無(wú)需計(jì)算各個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣，減小了計(jì)算量；利用酉變換將復(fù)數(shù)域的奇異值分解實(shí)數(shù)化，降低了計(jì)算復(fù)雜度；最后結(jié)合MUSIC、ESPRIT等子空間類算法，實(shí)現(xiàn)了相干信源的DOA估計(jì)。數(shù)值仿真表明：該算法無(wú)需對(duì)入射信號(hào)的初始相位作特別假定；對(duì)于完全相干信源或部分相干信源，估計(jì)性能優(yōu)于ENDTOP算法，且在信噪比大于6dB的情況下，接近于采用150次快拍數(shù)據(jù)的FBSS算法，能夠有效實(shí)現(xiàn)單快拍DOA的快速估計(jì)，特別適用于對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的DOA估計(jì)場(chǎng)合。但該算法是通過(guò)降低自由度來(lái)實(shí)現(xiàn)解相干的，且在低信噪比情況下，估計(jì)誤差較大，針對(duì)這些問(wèn)題還需進(jìn)一步研究。

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摘要:針對(duì)單次快拍情況下相干信源波達(dá)方向(DOA)估計(jì)的解相干和實(shí)時(shí)性問(wèn)題，提出了基于空間平滑的單快拍DOA估計(jì)算法。該算法直接采用單次快拍數(shù)據(jù)的前后向空間平滑子陣，構(gòu)造centro-Hermitian偽協(xié)方差矩陣，實(shí)現(xiàn)解相干，而無(wú)需對(duì)入射信號(hào)的初始相位作特別假定，也無(wú)需計(jì)算各個(gè)子陣的協(xié)方差矩陣，減小了計(jì)算量；利用酉變換將復(fù)數(shù)域的奇異值分解實(shí)數(shù)化，降低了計(jì)算復(fù)雜度；結(jié)合MUSIC、ESPRIT等子空間類算法，實(shí)現(xiàn)了相干信源的DOA估計(jì)。數(shù)值仿真表明該算法無(wú)需對(duì)入射信號(hào)的初始相位作特別假定，且對(duì)于相干信源能夠有效實(shí)現(xiàn)單快拍DOA的快速估計(jì)，適用于對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的場(chǎng)合。

關(guān)鍵詞:波達(dá)方向估計(jì)；相干信源；空間平滑；單次快拍；酉變換

Single Snapshot DOA Estimation Algorithm Based on Spatial SmoothingLIU Xiaodi, ZHOU Xinli, XIAO Jinguang

(Department of Electronic Information Engineering, Naval Aeronautics and Astronautics University, Yantai 264001, China)

Abstract:A direction-of-arrival (DOA) estimation algorithm based on spatial smoothing was proposed for the decorrelation and instant problems among DOA estimation of coherent signals when there was only one valid snapshot. The forward/backward spatial smoothing subarrays of single snapshot were directly used to construct the pseudocovariance matrix to accomplish decorrelation, which does not require that signals’ natural phases must be zero, and that the covariance of every subarray must be computed. The pseudocovariance, which was a centro-Hermitian matrix, was changed into real one by unitary transformation to reduce the computational complexity. Combined with the subspace kind algorithms such as MUSIC and ESPRIT, the DOA ccould be estimated. Simulation results showed that the algorithm did not require special assumption on signal’s natural phases, and could estimate the single snapshot DOAs of coherent signals effectively, which was suitable for real-time demand higher occasion.

Key words:direction-of-arrival estimation; coherent signals; spatial smoothing; single snapshot; unitary transformation

中圖分類號(hào):TN911.23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào)：1008-1194(2015)06-0066-05

作者簡(jiǎn)介:劉曉娣(1982—)，女，山東昌邑人，工程師，博士研究生，研究方向：無(wú)線電波傳播、信號(hào)處理。E-mail：xdl_1982@163.com。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(61179016)

*收稿日期:2015-04-12