基于強(qiáng)跟蹤的平方根UKF的衛(wèi)星姿態(tài)確定算法

王松艷，李敏，張迎春，2，祝寶龍，李化義

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150001;2.深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518057）

基于強(qiáng)跟蹤的平方根UKF的衛(wèi)星姿態(tài)確定算法

王松艷1，李敏1，張迎春1，2，祝寶龍1，李化義1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150001;2.深圳航天東方紅海特衛(wèi)星有限公司，廣東深圳 518057）

針對(duì)受不確定性干擾的影響衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)，SRUKF存在跟蹤能力弱、估計(jì)精度低和魯棒性差等問題，本文根據(jù)強(qiáng)跟蹤濾波（STF）原理，提出了一種改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤平方根UKF算法。該方法中，采用基于等價(jià)變化的方法來計(jì)算自適應(yīng)漸消因子，避免了Jacobian矩陣的計(jì)算;引入兩個(gè)多重自適應(yīng)漸消因子矩陣，保證了協(xié)方差矩陣的對(duì)稱性;利用改進(jìn)的平方根分解方法，改善了濾波器的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，相對(duì)于SRUKF和STF，本文提出的強(qiáng)跟蹤平方根UKF具有更好的穩(wěn)定性、魯棒性和對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力。

四元數(shù);QR分解;衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng);改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤平方根UKF

0 引言

衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)是衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的重要組成部分，其精度直接影響姿態(tài)控制系統(tǒng)的精度，通常采用濾波的方法從概率統(tǒng)計(jì)角度最優(yōu)的估計(jì)出衛(wèi)星姿態(tài)。由于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的非線性，因此采用非線性濾波技術(shù)來估計(jì)衛(wèi)星姿態(tài)的方法在工程上的到了廣泛的應(yīng)用。擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）具有方法簡單，容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，在處理非線性估計(jì)問題中被廣泛應(yīng)用;但是EKF是將非線性方程通過Taylor展開做一階近似處理，忽略其余高階項(xiàng)，從而將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性。當(dāng)系統(tǒng)非線性較強(qiáng)時(shí)，EKF違背局部線性假設(shè)，被忽略的高階項(xiàng)會(huì)帶來大的誤差，導(dǎo)致EKF算法精度下降，甚至造成EKF算法的不穩(wěn)定。另外EKF在線性化處理時(shí)需要計(jì)算雅克比（Jacobian）矩陣，其繁瑣的計(jì)算過程導(dǎo)致該方法有時(shí)候難以實(shí)現(xiàn)［1－3］。

為了解決上述問題，Julier等提出了一種新的非線性濾波器——UKF。相對(duì)于EKF，UKF采用UT變換對(duì)非線性概率密度分布進(jìn)行近似，具有不需要求導(dǎo)、實(shí)現(xiàn)簡單、估計(jì)精度高等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用姿態(tài)估計(jì)問題［4－5］。然而，UKF在數(shù)值計(jì)算中往往會(huì)存在舍入誤差，可能會(huì)破壞系統(tǒng)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性和對(duì)稱性，導(dǎo)致算法的收斂速度慢，甚至造成算法的不穩(wěn)定。文獻(xiàn)［6］針對(duì)該問題提出了一種平方根UKF（SRUKF）濾波算法，該方法借鑒kalman濾波中平方根分解濾波思想，在濾波的過程中采用矩陣的QR分解和Cholesky分解結(jié)果直接傳播并更新協(xié)方差矩陣的平方根，解決了UKF算法中由計(jì)算誤差可能引起的誤差協(xié)方差負(fù)定問題，提高了濾波算法的計(jì)算效率和數(shù)值穩(wěn)定性，文獻(xiàn)［7］將該算法成功的應(yīng)用到衛(wèi)星姿態(tài)和角速度估計(jì)當(dāng)中。

以上這些濾波方法都是針對(duì)精確模型進(jìn)行應(yīng)用，在模型不準(zhǔn)確或發(fā)生突變的情況下，EKF、UKF和SRUKF都不具備較好估計(jì)精度、魯棒性和跟蹤能力。針對(duì)這些問題，周東華等提出了強(qiáng)跟蹤濾波器（STF），STF具有較好關(guān)于模型不確定性的魯棒性和較強(qiáng)的關(guān)于突變狀態(tài)的跟蹤能力［8］。文獻(xiàn)［9］將STF理論思想與UKF相結(jié)合，并成功的應(yīng)用到天文自主導(dǎo)航中，改善了系統(tǒng)的可靠性。然而，這兩種方法都與EKF類似，都存在對(duì)非線性系統(tǒng)的一階近似處理，仍然存在計(jì)算非線性函數(shù)的Jacobian矩陣等缺點(diǎn)，這限制了該方法的應(yīng)用。而且，UKF在數(shù)值計(jì)算的過程中，由于舍入誤差可能破壞誤差協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性，影響UKF的收斂速度和穩(wěn)定性。

為此，本文以衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)為背景，提出了一種基于改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤平方根UKF的濾波算法。在該方法中，推導(dǎo)了基于等價(jià)描述的強(qiáng)跟蹤濾波器框架，采用UT變化方法計(jì)算自適應(yīng)漸消因子，避免Jacobian矩陣的計(jì)算。引入兩個(gè)多重自適應(yīng)漸消因子矩陣，保證了誤差協(xié)方差矩陣的對(duì)稱性，并從理論上證明其仍然滿足正交原理。另外，為了避免數(shù)值計(jì)算的過程中，隨著迭代計(jì)算的累加，積累的舍入誤差可能會(huì)破壞系統(tǒng)估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣的非負(fù)定性和對(duì)稱性，從而導(dǎo)致算法的收斂速度慢，甚至造成算法的不穩(wěn)定的缺陷，采用協(xié)方差矩陣的平方根形式進(jìn)行遞推濾波，通過分析標(biāo)準(zhǔn)平方根UKF存在的缺陷，設(shè)計(jì)一種改進(jìn)的平方根分解步驟，改善了濾波器的穩(wěn)定性。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明，相對(duì)于STUKF和SRUKF，本文提出的強(qiáng)跟蹤平方根UKF具有更好的穩(wěn)定性、魯棒性和對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力。

1 衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

衛(wèi)星姿態(tài)四元數(shù)被定義為［10－11］

式中:q13=nin（θ/2）;q0=cos（θ/2）;和θ分別為單位旋轉(zhuǎn)向量和旋轉(zhuǎn)角。

四元數(shù)滿足如下約束:

用四元數(shù)表示的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

在無陀螺測(cè)量角速度的情況下，為了估計(jì)衛(wèi)星的角速度，引入衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程

式中:ω=［ωxωyωz］T為坐標(biāo)系中衛(wèi)星的三軸角速度;J為系統(tǒng)的慣量矩陣;N（t）為外部控制力矩。

選取x=［q0q1q2q3ωxωyωz］T為系統(tǒng)狀態(tài)變量，則有非線性狀態(tài)方程

1.2 雙向量法測(cè)量方程

雙向量法是指利用安裝在衛(wèi)星中的加速度計(jì)得到的重力向量和磁強(qiáng)計(jì)得到的地磁場向量在載體坐標(biāo)系中通過投影（映射）來計(jì)算衛(wèi)星的姿態(tài)。文獻(xiàn)［12］給出了雙向量法測(cè)量模型下的歐拉角計(jì)算:

式中:g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?gb=［gxgygz］T為加速度計(jì)測(cè)得的重力向量;Hb=［HbxHbyHbz］T為磁強(qiáng)計(jì)測(cè)得的磁場強(qiáng)度向量。

選取歐拉角z=［φθψ］T作為測(cè)量輸出，根據(jù)歐拉角與四元數(shù)之間的關(guān)系，則得測(cè)量方程的映射為:

2 基于衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的STSRUKF算法

2.1 UKF算法

將式（5）和式（7）組成的衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)用4階龍格庫塔法離散，得到如下非線性離散系統(tǒng):

式中，xk=［q0，kq1，kq2，kq3，kωx，kωy，kωz，k］T為系統(tǒng)狀態(tài)矢量，uk為控制輸入向量，zk=［φkθkψk］T為測(cè)量矢量，wk和vk分別為狀態(tài)系統(tǒng)高斯白噪聲和測(cè)量系統(tǒng)高斯白噪聲，它們的協(xié)方差分別為Qk和Rk。

針對(duì)上述衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)的UKF算法如下［13］，在整個(gè)計(jì)算的過程中，四元數(shù)要按照式（9）進(jìn)行歸一化計(jì)算。

式中:λ=α2（n+κ）－n為復(fù)合刻度參數(shù);α是一個(gè)比例因子，調(diào)節(jié)粒子的分布距離，一般取值0.001～1;β是一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)，一般取值為β=2;κ是一個(gè)尺度參數(shù)，一般取κ=3－n。

2.2 強(qiáng)跟蹤UKF算法

在模型精確的情況下，UKF可以得到很高精度的結(jié)果，但是衛(wèi)星運(yùn)行的實(shí)際空間環(huán)境是復(fù)雜多變的，導(dǎo)致衛(wèi)星模型的不確定性，同時(shí)，空間環(huán)境的噪聲統(tǒng)計(jì)特性也時(shí)常發(fā)生變化［14］。這使得UKF的估計(jì)精度下降，魯棒性和跟蹤能力變差。而強(qiáng)跟蹤UKF在系統(tǒng)受到不確定干擾的情況下，仍具有較好估計(jì)精度、魯棒性和跟蹤能力。

強(qiáng)跟蹤UKF和UKF之間的區(qū)別在于將自適應(yīng)漸消因子μk+1引入到誤差協(xié)方差矩陣，具體為:

式中，l是一個(gè)調(diào)節(jié)因子，ρ是一個(gè)遺忘因子，μk+1= diag（μ1，k+1，…，μn，k+1）是一個(gè)多重因子，文獻(xiàn)［15］表明引入多重自適應(yīng)漸消因子的效果要優(yōu)于單個(gè)自適應(yīng)漸消因子。

上述計(jì)算自適應(yīng)漸消因子的過程中存在計(jì)算Jacobian矩陣，而求解Jacobian矩陣有時(shí)候是非常復(fù)雜和困難的。因此本文通過研究STF的等價(jià)描述，給出了一種無需計(jì)算Jacobian矩陣的自適應(yīng)漸消因子的計(jì)算方法。

假設(shè)在未引入自適應(yīng)漸消因子之前，誤差的狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣，互協(xié)方差預(yù)測(cè)矩陣和輸出預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣分別為:

將式（34）變形，得:

從上述描述中可以看出，自適應(yīng)漸消因子計(jì)算按式（27）、（28）、（40）、（41）和式（31）來進(jìn)行計(jì)算，有效的避免了Jacobian矩陣的計(jì)算。計(jì)算出自適應(yīng)漸消因子后，按式（26）計(jì)算Pk+1|k，并用Pk+1|k替換式（35）和（36）當(dāng)中的，得到Pxz，k+1和Pz，k+1。

2.3 強(qiáng)跟蹤平方根UKF算法

在濾波的過程中，由于數(shù)值計(jì)算當(dāng)中存在舍入誤差，隨著計(jì)算過程當(dāng)中舍入誤差的累積，有可能破壞濾波器的穩(wěn)定性。因而，為了避免濾波器的發(fā)散，一般采用平方根分解的形式進(jìn)行濾波。標(biāo)準(zhǔn)的平方根UKF其與UKF不同之處主要在于迭代計(jì)算的過程中采用誤差協(xié)方差矩陣的平方根進(jìn)行迭代計(jì)算，其分解形式如下［16］:

一步狀態(tài)預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的平方根分解:

式中:ξk為系統(tǒng)狀態(tài)的Sigma采樣點(diǎn)經(jīng)過非線性函數(shù)f（·）離散傳播后的點(diǎn)集k+1|k為狀態(tài)一步預(yù)測(cè)值，χk為ξk經(jīng)過非線性函數(shù)h（·）離散傳播后的點(diǎn)k+1|k為輸出預(yù)測(cè)值。

平方根UKF相對(duì)于UKF具有更好的魯棒性、穩(wěn)定性及估計(jì)精度。在平方根UKF的分解過程中，矩陣{S±OUUT}的Cholesky分解是用cholupdate {S，U，±O}表示，它要求矩陣必須是半正定的。但是在標(biāo)準(zhǔn)的平方根UKF中，按式（43）和式（45）更新協(xié)方差矩陣，實(shí)際如下:

在高階系統(tǒng)中，當(dāng)系統(tǒng)噪聲為高斯白噪聲的時(shí)候，為了獲得較好的估計(jì)精度，一般取n+λ=3，因此λ是遠(yuǎn)小于零的。根據(jù)式（23）和（24）可知是負(fù)的，且，這使得按式（43）和（45）更新的矩陣很可能是負(fù)定的［3］。

另外，在平方根UKF中，按照式（47）更新狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣，實(shí)際如式（50）所示:

它要求等式右邊必須是正定的，但是在數(shù)值計(jì)算過程中，等式右邊很容易因?yàn)樯崛胝`差的累積而破壞協(xié)方差矩陣的正定性。

針對(duì)上述問題，為了改善平方根UKF的穩(wěn)定性，同時(shí)又能夠保持平方根UKF的估計(jì)精度和魯棒性，對(duì)平方根UKF作如下改進(jìn)。

1）采用改進(jìn)的狀態(tài)誤差一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣計(jì)算方法，文獻(xiàn)［3］給出了一種改進(jìn)的狀態(tài)誤差一步預(yù)測(cè)協(xié)方差矩陣的計(jì)算方法，如下:

式中:Hk+1按式（39）計(jì)算，采用式（56）更新狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣，避免了數(shù)值計(jì)算過程中因誤差累積而破壞Pk+1正定性的問題。

根據(jù)上述描述，改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤平方根分解UKF迭代計(jì)算過程與改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤UKF的區(qū)別在于協(xié)方差矩陣的更新計(jì)算過程中，是以協(xié)方差矩陣的平方根進(jìn)行迭代更新的。其具體步驟總結(jié)如下，在迭代的過程中四元數(shù)按照式（9）進(jìn)行歸一化:

2）計(jì)算Sigma點(diǎn)采樣;

采用改進(jìn)的強(qiáng)跟蹤平方根分解UKF可以增強(qiáng)了UKF的魯棒性和對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力，同時(shí)還改善了濾波器在數(shù)值計(jì)算過程中的穩(wěn)定性。另外，采用平方根分解可以提高數(shù)值計(jì)算過程中濾波器的估計(jì)精度，縮減計(jì)算量。

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的算法的有效性，本文將SRUKF，STF和STSRUKF算法對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)確定系統(tǒng)（11）進(jìn)行姿態(tài)和角速度估計(jì)，仿真環(huán)境為Matlab R2010a軟件平臺(tái)。仿真參數(shù)設(shè)置為:

初始誤差方差矩

采樣時(shí)間Ts=1 s;仿真時(shí)長t=500 s。

為了比較三種算法和的魯棒性和對(duì)突變狀態(tài)跟蹤性能，在仿真的過程中在200 s的時(shí)候引入突變狀態(tài)量Δx=［00000.010.010.01］T，在300～400 s的時(shí)候引入模型不確定性。模型不確定性為

實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果如圖1～圖6所示，圖1～圖6分別是x軸角方向的速度估計(jì)絕對(duì)誤差、y軸方向的角速度估計(jì)絕對(duì)誤差、z軸方向的角速度估計(jì)絕對(duì)誤差、滾轉(zhuǎn)角的估計(jì)絕對(duì)誤差、俯仰角的估計(jì)絕對(duì)誤差和偏航角的估計(jì)絕對(duì)誤差。

圖1 x軸角速度估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.1Absolute estimation error of angular velocity about x axis

圖2 y軸角速度估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.2Absolute estimation error of angular velocity about y axis

從圖1～圖6可以看出，在系統(tǒng)模型不確定性和外界干擾的時(shí)候，SRUKF、STF和ISTSRUKF的估計(jì)精度差不多。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生狀態(tài)突變的時(shí)候，SRUKF的估計(jì)結(jié)果很容易被影響，其估計(jì)精度是最差的，而且收斂速度最慢。STF算法估計(jì)的姿態(tài)誤差和角速度誤差精度在系統(tǒng)剛受到干擾的時(shí)候也會(huì)變差，但沒有SRUKF算法改變的那么大，而且相對(duì)于SRUKF，STF能夠很快的收斂，說明STF具有較好的對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力。而本文提出的ISTSRUKF算法估計(jì)的角速度誤差精度則幾乎不受狀態(tài)突變量的影響，說明其對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力是最好的。另外，從圖1～圖6還可以看出，在模型具有不確定性的時(shí)候，估計(jì)結(jié)果最差的是SRUKF，其估計(jì)精度大大降低，濾波器不穩(wěn)定，不具有匹配模型不確定性的魯棒性，其次是STF的估計(jì)結(jié)果，相對(duì)于SRUKF來說，STF的估計(jì)結(jié)果變化較小，其估計(jì)精度也較好，具有一定的能夠匹配模型不確定性的魯棒性。而估計(jì)結(jié)果最好的是本文提出的ISTSRUKF，其估計(jì)結(jié)果幾乎把發(fā)生改變，說明具有很好的能夠克服模型不確定性的魯棒性。

圖3 z軸角速度估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.3Absolute estimation error of angular velocity about z axis

圖4 滾轉(zhuǎn)角估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.4Absolute estimation error of roll angle

圖5 俯仰角估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.5Absolute estimation error of pitch angle

圖6 偏航角估計(jì)絕對(duì)誤差Fig.6Absolute estimation error of yaw angle

4 結(jié)論

針對(duì)無陀螺衛(wèi)星姿態(tài)和角速度估計(jì)問題，本文提出了一種ISTSRUKF算法。該方法中，采用基于等價(jià)變化的方法來計(jì)算自適應(yīng)漸消因子，避免了Jacobian矩陣的計(jì)算;引入兩個(gè)多重自適應(yīng)漸消因子矩陣，保證了協(xié)方差矩陣的對(duì)稱性;利用改進(jìn)的平方根分解方法，改善了濾波器的穩(wěn)定性。數(shù)值仿真結(jié)果表明，相對(duì)于SRUKF算法和STF算法，在衛(wèi)星系統(tǒng)模型具有不確定性和受到干擾的時(shí)候，ISTSRUKF算法具有更好的魯棒性、穩(wěn)定性和對(duì)突變狀態(tài)的跟蹤能力。

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（編輯:張?jiān)婇w）

Strong tracking unscented Kalman filter algorithm based-on satellite attitude determination system

WANG Song-yan1，LI Min1，ZHANG Ying-chun1，2，ZHU Bao-long1，LI Hua-yi1
（1.College of Astronautics，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China;
2.Shenzhen Aerospace Dong-Fang-Hong HIT Satellite Company Ltd，Shenzhen 518057，China）

When the satellite attitude determination system is disturbed by uncertain factors，square-root unscented Kalman filter（SRUKF）is featured by low accuracy，bad tracking ability and poor robustness.In order to overcome these defects of SRUKF，an improved strong tracking squared-root Kalman filter （ISTSRUKF）based-on satellite attitude determination system was proposed.To avoid calculating the Jacobian matrices，the fading factors were calculated by using equivalent description of fading factors.To ensure the symmetry of covariance matrix，two multiple fading factors matrices were introduced.To improve the stability of filter，a modified square-root decomposition method was adopted.The simulation results show that improved strong tracking square root UKF has best stability，robustness and mutation status tracking capability than square-root UKF and strong tracking filter.

quaternion;QR decomposition;satellite attitude determination system;improved strong tracking square-root unscented Kalman filter（ISTSRUKF）

10.15938/j.emc.2015.03.017

V 249.32

A

1007－449X（2015）03－0111－08

2013－10－22

國家自然科學(xué)基金（61304237）;國防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室微小型航天器技術(shù)開放基金（20090450126）

王松艷（1976—），女，博士，副教授，研究方向?yàn)轱w行器姿態(tài)估計(jì)與控制;

李敏（1989—），男，碩士，研究方向?yàn)榉蔷€性濾波技術(shù)及其在衛(wèi)星導(dǎo)航、姿態(tài)估計(jì)中的應(yīng)用;

張迎春（1961—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星姿態(tài)估計(jì)與控制，衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)，衛(wèi)星控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)及故障診斷;

祝寶龍（1990—），男，碩士，研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化控制及濾波;

李化義（1978—），男，博士，講師，研究方向?yàn)樾l(wèi)星編隊(duì)及控制。

李敏