彈性力學(xué)平面問(wèn)題的幾種解法

明星 沈強(qiáng)

（鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

彈性力學(xué)作為固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，它是研究彈性固體由于受外力作用，邊界約束或者溫度改變及其他一種或多種外界條件作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。它的研究對(duì)象是板、殼、實(shí)體以及單根桿件?？梢哉f(shuō)彈性力學(xué)是材料力學(xué)問(wèn)題的精確解，是結(jié)構(gòu)力學(xué)，塑性力學(xué)等力學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，其廣泛應(yīng)用于土木工程、航空航天工程及機(jī)械工程等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域。并且隨著科學(xué)技術(shù)手段的進(jìn)步，電子計(jì)算機(jī)得以應(yīng)用到彈性力學(xué)的計(jì)算分析中，這極大地促進(jìn)了彈性力學(xué)問(wèn)題的分析計(jì)算更加深入，促使了有限單元法得以實(shí)現(xiàn)。因此本文從彈性力學(xué)最基本的平面問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)求解平面問(wèn)題的解析法、數(shù)值法和試驗(yàn)方法來(lái)感受彈性力學(xué)研究問(wèn)題的手段、方法，體會(huì)彈性力學(xué)的魅力，并為其它力學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

1 解析法

解析法是根據(jù)研究對(duì)象在結(jié)構(gòu)中的靜力平衡條件，幾何關(guān)系和物理關(guān)系建立邊界條件，平衡微分方程，幾何方程和物理方程，并以此求解應(yīng)力分量，應(yīng)變分量和位移分量的一種平面問(wèn)題的精確解法。按求解時(shí)的基本未知量選取不同可分為按位移求解的位移法和按應(yīng)力求解的應(yīng)力法。

（1）位移法：以位移為基本未知量時(shí)的基本方程如下

位移邊界條件如下

從上面的公式可以看出位移法求解平面問(wèn)題時(shí)的基本未知量只有兩個(gè)，與應(yīng)力法的三個(gè)基本未知量相比求解簡(jiǎn)單很多，并且不但能求解位移邊界條件，還能求解應(yīng)力邊界條件與混合邊界條件。

(2)應(yīng)力法：應(yīng)力法以應(yīng)力分量作為基本未知量，由此平面問(wèn)題的平衡微分方程，幾何方程，物理方程以及邊界條件經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可變?yōu)槿缦滦问剑?/p>

基本方程：

應(yīng)力邊界條件：

值得注意的是按應(yīng)力求解時(shí)邊界條件應(yīng)全部為應(yīng)力邊界條件。對(duì)于位移邊界條件，雖然在局部邊界上可用圣維南定理轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件，但此時(shí)得到的解答已不是精確解，同時(shí)上述推導(dǎo)過(guò)程是基于平面應(yīng)力問(wèn)題的，對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)把彈性常數(shù)作相應(yīng)調(diào)整。

2 數(shù)值解法

彈性力學(xué)平面問(wèn)題的解法雖然針對(duì)某些問(wèn)題來(lái)說(shuō)可以得到精確解，但是其不適合實(shí)際工程中復(fù)雜問(wèn)題的計(jì)算。相反的，數(shù)值分析方法雖然只是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的近似解答，但其求解時(shí)的過(guò)程清晰，步驟明確，便于編程，并且工程上常有安全系數(shù)的保證，因此近似解與不會(huì)對(duì)實(shí)際工程造成太大影響。從而使數(shù)值分析方法在工程問(wèn)題中得到大量應(yīng)用。數(shù)值分析方法有以下三種：

差分法：用差分方程替代平衡微分方程，將求解微分方程變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程，簡(jiǎn)化了計(jì)算。

變分法：變分法其實(shí)是一種能量法，以外力所做的功及彈性體的應(yīng)變勢(shì)能來(lái)建立彈性力學(xué)的求解方程。其中基本未知量為彈性體的虛位移，運(yùn)用的基本原理為虛位移原理和最小勢(shì)能原理。

有限單元法：在力學(xué)模型上進(jìn)行近似將彈性體簡(jiǎn)化為有限個(gè)單元體，且各單元體之間僅在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)處交鉸結(jié)而成的結(jié)構(gòu)物。然后進(jìn)行單元分析，形成單元?jiǎng)偠染仃?，進(jìn)行整體分析，集成整體剛度矩陣，并運(yùn)用矩陣位移法求解。有限單元法便于編程，因此隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展得以廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐的各個(gè)方面。相關(guān)軟件有ANSYS、ADINA、MSC、ABAQUS。

3 實(shí)驗(yàn)的方法

除了解析法和數(shù)值分析方法外，工程上常用的簡(jiǎn)單實(shí)用的方法還有實(shí)驗(yàn)法。將彈性體貼上應(yīng)變片，連接上計(jì)算機(jī)便可以輕松模擬計(jì)算彈性體的內(nèi)力分布情況。

4 結(jié)論

彈性力學(xué)問(wèn)題求解的解析法，數(shù)值分析方法和實(shí)驗(yàn)法各有千秋，應(yīng)結(jié)合具體的工程實(shí)際問(wèn)題選用合適的方法。同時(shí)也應(yīng)認(rèn)識(shí)到目前彈性力學(xué)求解方法并不完善，在工程中中仍有許多問(wèn)題還無(wú)法得到令人滿意的結(jié)果。因此學(xué)習(xí)掌握彈性力學(xué)的現(xiàn)有方法，并結(jié)合科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和認(rèn)識(shí)了解的加深提出新的，更加符合實(shí)際工程要求的彈性力學(xué)求解方法才是彈性力學(xué)研究的根本目的所在。