用APOS理論分析學(xué)生向量線性相關(guān)性概念的學(xué)習(xí)

王 成

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

用APOS理論分析學(xué)生向量線性相關(guān)性概念的學(xué)習(xí)

王 成

(唐山學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河北 唐山 063000)

介紹了APOS學(xué)習(xí)理論，并以APOS理論以及課堂觀察、學(xué)生訪談為基礎(chǔ)，分析了學(xué)生對(duì)向量線性相關(guān)性概念學(xué)習(xí)的發(fā)展過(guò)程。

APOS理論；向量線性相關(guān)性；概念認(rèn)知

1 數(shù)學(xué)概念二重性理論

數(shù)學(xué)的概念性知識(shí)與程序性知識(shí)的區(qū)別曾經(jīng)在個(gè)體知識(shí)形成的討論中得到廣泛的關(guān)注，并且在有關(guān)知識(shí)獲得這個(gè)更一般性問(wèn)題的研究中一度占據(jù)核心地位。在許多學(xué)習(xí)理論中，研究者都強(qiáng)調(diào)了不同類型知識(shí)的區(qū)分，例如，Piaget的概念性理解和成功的動(dòng)作，Tulving的語(yǔ)義記憶(semantic memory)和事件記憶(episodic memory)，Anderson的描述性知識(shí)與程序性知識(shí)。上世紀(jì)80年代，研究者逐漸開(kāi)始關(guān)注程序性知識(shí)與概念性知識(shí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)系及其發(fā)展。其中Sfard， Dubinsky， Tall等研究者都強(qiáng)調(diào)，許多數(shù)學(xué)概念，若將其作為一個(gè)靜態(tài)的實(shí)體，那么它就具備對(duì)象的特點(diǎn)，若是將其作為一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，則體現(xiàn)了過(guò)程的特點(diǎn)[1-4]。一個(gè)概念往往兼有這樣的二重性。處理一個(gè)非常規(guī)問(wèn)題，常常需要在過(guò)程性思維與結(jié)構(gòu)性思維之間靈活轉(zhuǎn)換。因此他們的有關(guān)理論都稱為數(shù)學(xué)概念二重性(過(guò)程-對(duì)象)理論。

2 “動(dòng)作-過(guò)程-對(duì)象-圖式”理論的分析

Piaget認(rèn)為平衡是認(rèn)知發(fā)展的最根本的動(dòng)力，從不平衡狀態(tài)重新達(dá)到平衡狀態(tài)主要通過(guò)反省抽象。Dubinsky以Piaget關(guān)于兒童認(rèn)知發(fā)展的基本觀點(diǎn)[5-6]為基礎(chǔ)，提出數(shù)學(xué)概念發(fā)展的“動(dòng)作-過(guò)程-對(duì)象-圖式”(簡(jiǎn)稱APOS)理論，探索高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知，迄今已經(jīng)在抽象代數(shù)、微積分、離散數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等領(lǐng)域進(jìn)行了多項(xiàng)研究。Dubinsky認(rèn)為，個(gè)體的數(shù)學(xué)知識(shí)是指?jìng)€(gè)體在社會(huì)環(huán)境中通過(guò)建構(gòu)、重構(gòu)或組織已有的各種心智結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境做出的反應(yīng)。數(shù)學(xué)概念的基本建構(gòu)有三種：動(dòng)作、過(guò)程、對(duì)象，并且這些心智結(jié)構(gòu)又以某種方式組織成處理問(wèn)題情境的圖式。

動(dòng)作(action)。既包括實(shí)際動(dòng)作也包括抽象化的在思想上展開(kāi)的動(dòng)作。是指基于物理的或心智的對(duì)象所發(fā)生的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換的特征是數(shù)學(xué)理論逐層抽象、系統(tǒng)建構(gòu)的一種表現(xiàn)。個(gè)體要在明確的或回憶出的分步指導(dǎo)下才能執(zhí)行操作或運(yùn)算。即個(gè)體的思維至少還部分地受控于被轉(zhuǎn)化的對(duì)象，一個(gè)動(dòng)作可能只包含一個(gè)步驟。例如，學(xué)生看到函數(shù)y=3x+2，便認(rèn)為這是一個(gè)含字母的公式。動(dòng)作也可能包含多個(gè)步驟，但下一步只能由上一步引出。例如，要把一個(gè)向量v表示為兩個(gè)向量e，f的組合，有的學(xué)生第一步想到先建立一個(gè)向量方程：v=xe+yf，有了向量方程接著再將其表示成坐標(biāo)形式，然后再表示成一個(gè)二元線性方程組，最后想如何解方程，求出x，y的值。

根據(jù)Von Glasersferd的研究，當(dāng)個(gè)體具有了動(dòng)作圖式就可以：①識(shí)別某個(gè)情境；②完成與這種情境相關(guān)聯(lián)的活動(dòng)；③能預(yù)測(cè)相同或類似活動(dòng)的結(jié)果[7]。研究表明，概念圖式(高級(jí)圖式)形成困難的一個(gè)主要原因是沒(méi)有充分意識(shí)到動(dòng)作圖式，注意的只是動(dòng)作的結(jié)果。

過(guò)程(process)。當(dāng)個(gè)體能夠反思一個(gè)動(dòng)作圖式時(shí)，受外部驅(qū)使的動(dòng)作逐漸轉(zhuǎn)換為受個(gè)體控制的心智運(yùn)算，并伴隨反復(fù)操作最終趨于較少意識(shí)參與的自動(dòng)化水平，這就是過(guò)程轉(zhuǎn)換。從動(dòng)作向過(guò)程的建構(gòu)過(guò)程稱為內(nèi)化(interiorization)，它的特征是借助想象完成心智運(yùn)算，而不需要實(shí)際操作。例如，不需要特殊的向量或向量的坐標(biāo)表示等外部刺激，學(xué)生就可以在思想中完成一系列操作，得出上述向量的線性表示問(wèn)題就是求一個(gè)二元線性方程組的解。不僅如此，還可以在頭腦中檢驗(yàn)許多向量的類似運(yùn)算過(guò)程，得出哪些向量是適合的，哪些向量是不適合的結(jié)論，即過(guò)程水平，個(gè)體逐漸通過(guò)思考所有向量以及所滿足的條件代替對(duì)一個(gè)特殊向量的檢驗(yàn)。

過(guò)程水平的概念理解表現(xiàn)為在相同或類似的問(wèn)題情境與結(jié)果之間初步建立起聯(lián)系。一旦學(xué)生建構(gòu)起一個(gè)過(guò)程，就可能協(xié)調(diào)兩個(gè)或更多的過(guò)程，成為一個(gè)新的過(guò)程或者建構(gòu)過(guò)程的反演。比如，由一個(gè)整數(shù)能被2，3整除，推斷出這個(gè)數(shù)能被6整除。又已知M=33×55×7，能推斷出7可以整除M。再比如對(duì)函數(shù)而言，首先寫出復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，才能計(jì)算復(fù)合函數(shù)的值。

對(duì)象(object)。當(dāng)個(gè)體可以反思應(yīng)用于一個(gè)過(guò)程的所有運(yùn)算，并且能看作是一個(gè)整體，用更高水平的運(yùn)算來(lái)操作時(shí)，一個(gè)過(guò)程就轉(zhuǎn)換為對(duì)象。這個(gè)建構(gòu)過(guò)程稱為凝聚(encapsulation)。例如，要回答對(duì)于群G的某個(gè)子群H的左陪集的個(gè)數(shù)，或判斷兩個(gè)陪集是否相等或比較它們的勢(shì)，就需要把陪集作為對(duì)象。要計(jì)算兩個(gè)函數(shù)的和、差的極限或復(fù)合函數(shù)的極限，就要把極限概念作為對(duì)象。對(duì)象水平的理解是指學(xué)生能抽象出不同數(shù)學(xué)問(wèn)題情境下實(shí)施的過(guò)程與結(jié)果之間的本質(zhì)屬性，脫離具體的問(wèn)題情境預(yù)見(jiàn)活動(dòng)的結(jié)果。在數(shù)學(xué)中，經(jīng)常還要把一個(gè)對(duì)象通過(guò)解凝聚(de-encapsulate)返回到過(guò)程。例如，求兩個(gè)函數(shù)和的極限，通常要返回到先求每個(gè)函數(shù)的極限，然后再求和式的極限。

對(duì)象是認(rèn)知意義上個(gè)體的心智對(duì)象，對(duì)于過(guò)程與對(duì)象的關(guān)系，Davis曾運(yùn)用信息加工的觀點(diǎn)形象地說(shuō)，“當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行一個(gè)程序時(shí)，我們要一步一步的進(jìn)行?！?dāng)反復(fù)執(zhí)行多次后，程序本身成為一個(gè)獨(dú)立存在的事物，可以作為一個(gè)輸入值或者可以詳細(xì)檢查的對(duì)象”[8]，這表明從動(dòng)作向?qū)ο蟮恼J(rèn)知發(fā)展雖然存在于一個(gè)共同的基礎(chǔ)上，但是二者具有質(zhì)的差異。凝聚，是指當(dāng)一個(gè)物理的或心智的動(dòng)作在更高的思維平面上被重構(gòu)或重組，從而能夠達(dá)到理想的心智運(yùn)算。

圖式(schemas)。一個(gè)數(shù)學(xué)主題經(jīng)常涉及許多動(dòng)作、過(guò)程和對(duì)象，這些動(dòng)作、過(guò)程、對(duì)象以及有關(guān)圖式連接在一起就形成一個(gè)新的圖式。群的概念圖式通常由集合圖式、二元運(yùn)算圖式、公理圖式組成，其中集合與二元運(yùn)算的圖式通過(guò)公理圖式協(xié)調(diào)在一起。檢驗(yàn)一個(gè)集合上的二元運(yùn)算是否符合與群有關(guān)的四條公理對(duì)應(yīng)的四個(gè)過(guò)程，可以通過(guò)凝聚這四個(gè)過(guò)程獲得四個(gè)對(duì)象，這也是公理圖式的一個(gè)基本成分。

圖式還可以進(jìn)一步主題化(thematizing)，成為一個(gè)新的對(duì)象。Dubinsky認(rèn)為，如果個(gè)體能把一個(gè)圖式作為一個(gè)整體的對(duì)象來(lái)思考和操作，這個(gè)圖式就已經(jīng)實(shí)現(xiàn)主題化。例如，當(dāng)需要確定某個(gè)集合以及定義在其上的一種二元運(yùn)算是否構(gòu)成一個(gè)群時(shí)，群的圖式就主題化為一個(gè)對(duì)象。類似的，確定一個(gè)群可能具有的各種性質(zhì)，或者考慮兩個(gè)給定的群是否同構(gòu)都需要先激活相應(yīng)的圖式(主題化)，使之成為一個(gè)對(duì)象。對(duì)象又可以經(jīng)解主題化的過(guò)程重新獲得原來(lái)圖式中的關(guān)系及要素。主題化的意義是個(gè)體通過(guò)對(duì)圖式進(jìn)行反思形成一個(gè)程序組塊，從而便于在不同的情境下提取。如果一個(gè)圖式?jīng)]有主題化，認(rèn)知個(gè)體會(huì)表現(xiàn)為雖然掌握相關(guān)知識(shí)，但遇到相應(yīng)的數(shù)學(xué)的或現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題，不能自覺(jué)地應(yīng)用它解決。

3 用APOS理論分析學(xué)生對(duì)向量線性相關(guān)性概念認(rèn)知的發(fā)展過(guò)程

Harel Guershon等提出“線性代數(shù)”教學(xué)的幾何取向，并通過(guò)教學(xué)實(shí)驗(yàn)得出采取這種教學(xué)方式有利于高中生以及大學(xué)生對(duì)相關(guān)性、向量空間等概念的理解的結(jié)論。本文將探討大學(xué)生學(xué)習(xí)向量線性相關(guān)性概念的過(guò)程以及其錯(cuò)誤概念形成的原因，主要依據(jù)是APOS理論以及筆者在“線性代數(shù)”教學(xué)中的課堂觀察和學(xué)生訪談。

3.1 動(dòng)作

3.2 過(guò)程

(1)過(guò)程1——內(nèi)化動(dòng)作。建構(gòu)程序性理解，即認(rèn)為是求齊次線性方程組有無(wú)非零解的過(guò)程決定向量組的相關(guān)性，因而運(yùn)算活動(dòng)有一定目的性。例如，把判定向量a1，a2，…，an是否線性無(wú)關(guān)看作檢驗(yàn)向量方程x1a1+x2a2+…+xnan=0是否有且只有零解的問(wèn)題。

(2)過(guò)程2——用矩陣?yán)碚撝貥?gòu)過(guò)程1。用m維向量a1，a2，…，an的系數(shù)矩陣Am×n的秩與未知元的關(guān)系判定線性方程組AX=0是有唯一一組零解，還是有無(wú)數(shù)組解。即當(dāng)r(A)

3.3 對(duì)象

對(duì)象能把前面的“過(guò)程”凝聚為一個(gè)整體。當(dāng)學(xué)生對(duì)線性相關(guān)性的理解已經(jīng)脫離程序方面而關(guān)注其本質(zhì)屬性，能把相關(guān)性看作一個(gè)向量或向量組的特有屬性，即一個(gè)向量(組)或者線性相關(guān)，或者線性無(wú)關(guān)，建構(gòu)起向量組的行列數(shù)、矩陣的秩、未知元的個(gè)數(shù)以及線性方程的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，就能用其解釋相關(guān)性的若干性質(zhì)。例如，當(dāng)k>n時(shí)，k個(gè)n維向量a1，a2，…，ak必線性相關(guān)。例如，判定向量a1，a2，a3，a4的線性相關(guān)性：a1=(6，2，3)，a2=(2，-3，7)，a3=(3，2，0)，a4=(1，-2，3)，因?yàn)橄蛄康木S數(shù)小于個(gè)數(shù)，因此向量線性相關(guān)。

3.4 圖式

所有的動(dòng)作、過(guò)程、對(duì)象與已有的向量圖式、矩陣圖式、線性方程組的圖式、線性表示的圖式等，可以形成一個(gè)貫通的新圖式，并可以通過(guò)主題化形成一個(gè)更高層級(jí)的對(duì)象。例如，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)到初等變換不改變向量組的線性相關(guān)性之后，通過(guò)同化和順應(yīng)就可以逐步建立與向量空間的維數(shù)、生成集以及生成空間的關(guān)系，形成完整的相關(guān)性概念。例如，維數(shù)的概念使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在有限維向量空間中，一個(gè)無(wú)關(guān)向量集合不能“無(wú)限制的大”。如果無(wú)關(guān)組S={v1，v2，…，vn}生成一個(gè)向量空間V，則對(duì)V中任意集合，如果向量個(gè)數(shù)大于n，則向量集合線性相關(guān)。對(duì)于問(wèn)題“若a1，a2，a3，a4，a5線性相關(guān)，則向量組a1+k1a5，a2+k2a5，a3+k3a5，a4+k4a5，a5是否線性相關(guān)？(ki為任意常數(shù))”，學(xué)生開(kāi)始時(shí)習(xí)慣用定義去證明，但經(jīng)筆者啟發(fā)后，許多學(xué)生可以用初等變換的性質(zhì)給出解釋。

4 幾點(diǎn)分析

第一，“動(dòng)作-過(guò)程-對(duì)象-圖式”勾勒的是一個(gè)分等級(jí)順序發(fā)展的序列，但個(gè)體的數(shù)學(xué)概念的發(fā)展并不總是嚴(yán)格遵循這個(gè)序列，經(jīng)常表現(xiàn)出相互作用、出現(xiàn)暫時(shí)的方向改變、從過(guò)程回到動(dòng)作、從對(duì)象回到過(guò)程等來(lái)來(lái)回回的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

第二，APOS序列主要關(guān)注的是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的認(rèn)知機(jī)制[9]，即各種心智結(jié)構(gòu)的關(guān)系及其發(fā)展，并非某個(gè)數(shù)學(xué)主題內(nèi)容的邏輯分析。一個(gè)數(shù)學(xué)概念發(fā)展的APOS序列通常要經(jīng)歷理論分析，以及來(lái)自學(xué)生的數(shù)據(jù)分析反饋，然后修正理論分析結(jié)果，并在教學(xué)中不斷循環(huán)檢驗(yàn)。

第三，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，一般認(rèn)為有兩種典型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)：豎向等級(jí)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。前者是一種序列動(dòng)作圖式，可以及時(shí)發(fā)生，長(zhǎng)期穩(wěn)定地存在，并不斷加強(qiáng)，與其它的動(dòng)作圖式合并為認(rèn)知聯(lián)結(jié)；后者是多元聯(lián)結(jié)的圖式，這是人類大腦的物理結(jié)構(gòu)所特有的，它以許多認(rèn)知單元為結(jié)點(diǎn)，同時(shí)可以獲得許多可能的聯(lián)結(jié)，從而建立更精細(xì)、靈活的方式。事實(shí)上，APOS序列由這兩種發(fā)展方式組成，即把不同形態(tài)的等級(jí)序列(過(guò)程-對(duì)象)看作不同的認(rèn)知單元，即網(wǎng)絡(luò)上的結(jié)點(diǎn)，等級(jí)序列的與象網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)(圖式-概念)共存在一個(gè)更強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)中。這正是數(shù)學(xué)概念二重性理論的核心。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，教師要引導(dǎo)學(xué)生積極參與其中，不斷激發(fā)他們的智慧，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力，從而真正提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

[1] Tall D， Vinner S. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity[J].Eductional studies in mathematics，1981，12(2)：151-169.

[2] Gray E， Tall D. Relationships between embodied objects and symbolic procepts： an explanatory theory of success and failure in mathematics[J]. Published in Proceedings of PME25，2001(8)：65-72.

[3] Sfard A. On the dual nature of mathematical conception：reflctions on processes and objects as different sides of the same coin[J]. Educational Studies in Mathematics，1991(22)：1-36.

[4] Dubinsky Ed， Elterman F. The student’s construction of quantification[J]. For the Learning of Mathematics，1988，8(2)：44-51.[5] Brown A Devries， Dubinsky D J. Learning binary operations，groups and subgroups[J]. Journal of Mathematical Behavior，1997，16(3)：187-239.

[6] Dubinsky Ed. A reaction to “a critique of the selection of mathematical objects’as a central metaphor for advanced mathematical thinking” by confrey and costa[J]. International Journal of Computers for Mathematical Learning，1997(2)：67-91.

[7] Glasersfeld E Von. Cognition， construction of knowledge and teaching[J]. Synthese，1988，80(1)：121-140.

[8] Davis R B. Learning mathematics：the cognitive science approach to mathematics education[M]. London： Routledge，1984：125-127.

[9] Hiebert J， Lefevre P. Conceptual and procedural knowledge in mathematics： an introductory analysis[M]. Appleton： Lawrence Erlbaum Associates， Inc，1987：1-22.

(責(zé)任編校：夏玉玲)

On Students’ Acquisition of Concepts Concerning Vector Linear Correlation with APOS Theory

WANG Cheng

(Department of Fundamental Science Teaching， Tangshan College， Tangshan 063000， China)

The author of this paper introduces the learning theory of APOS， and then analyzes student’s learning of concepts concerning vector linear correlation through APOS theory， classroom observation， and interviews of students.

learning theory of APOS； vector linear correlation； learning of concepts

O1-0；G642

A

1672-349X(2015)06-0019-03

10.16160/j.cnki.tsxyxb.2015.06.008